2025年浙江省九年级中考数学二轮复习题型突破课件：中点问题四大模型

中点问题四大模型 　中点 中位线 【数学建模】 如图，在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理:DE∥BC，且DE＝ BC，△ADE∽△ABC解决问题. 【模型运用】 1． 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为(　A　) A． 1 B． C． 2 D． 第1题图 A 2． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，AD＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若AD＝2，则EF的长为(　B　) A． 1 B． C． 　 第2题图 B 　直角三角形斜边中点 斜边上的中线 【数学建模】 如图，在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝ AB＝AD＝BD来证明线段或角之间的数量关系. 【模型运用】 3． 如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为(　B　) A． 10 B． 12 C． 13 D． 14 第3题图 B 4． 已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，延长AC到F，使得CF＝ AC，连结EF. 若EF＝4，则AB的长为(　A　) A． 8 B． 4 C． 4 D． 2 第4题图 A 5． 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边的中线，DG垂直平分CE，求证:∠B＝2∠BCE. 第5题图 证明:如图，连结DE，∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC＋∠DCE＝2∠BCE. ∵CE是AB边的中线，∴点E是AB的中点.∵AD⊥BC， ∴DE＝ AB＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE. 　等腰三角形底边中点 三线合一 【数学建模】 如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边上中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到:∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD. 【模型运用】 6． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为(　B　) 第6题图 A． 2 B． C． D． 4 B 7． 如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D在BC上，且AB＝AD，点E和点F分别是AC和BD的中点，则EF的长是(　B　) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 第7题图 B 8． 【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要.如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为 　32°　 .  32° 【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD，AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数. 解:∵AB＝AC，AE＝AF，AD，AG分别为△ABC和△AEF的中线， ∴∠DAC＝ ∠BAC，∠EAG＝ ∠EAF， ∴∠DAG＝∠DAC＋∠CAE＋∠EAG＝ ∠BAC＋∠CAE＋ ∠EAF＝ ∠BAF＋ ∠CAE. ∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°， ∴∠DAG＝55°＋12°＝67°. 【拓展提升】如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD，AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，求∠CAE的度数. 解:∵AB＝AC，AB＝AE，AD，AF分别为△ABC和△ABE的中线， ∴AF⊥BE，∠BAD＝ ∠BAC，∠BAF＝ ∠BAE， ∴∠AOF＋∠OAF＝90°. ∵∠AOF＝69°，∴∠OAF＝21°， ∴∠BAF－∠BAD＝ ∠BAE－ ∠BAC＝21°， ∴∠BAE－∠BAC＝42°， ∴∠CAE＝∠BAE－∠BAC＝42°. 　三角形中点 全等三角形(倍长中线) 【数学建模】 如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系. 【模型运用】 9． 如图，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AB＝12，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，则AE的长为(　A　) A． 6.5 B． 6 C． 5.5 D． 5 第9题图 A 10． 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝3，AB＝5，AD＝6.若点M是线段BD的中点，则CM的长为(　C　) A． B． 2 C． D． 3 第10题图 C 11． 已知:如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点，F是CD的中点，且AE＝DC＋CE. 求证:AF平分∠DAE. 第11题图 证明:如图，延长BC，交AF的延长线于G， ∵F是CD的中点，∴CF＝DF. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，DA＝DC，∠FCE＝∠D＝90°，∴∠DAF＝∠G，∠FCG＝90°，∴∠FCG＝∠D. 在△FCG和△FDA中， ∴△FCG≌△FDA(ASA)，∴CG＝DA. ∵AE＝DC＋CE，∴AE＝CG＋CE＝GE，∴∠EAF＝∠G，∴∠EAF＝∠DAF，∴AF平分∠DAE. 12． 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题: 如图1，△ABC中，若AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围.小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE. 请根据小红的方法思考: (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是(　B　) A． SSS B． SAS C． AAS D． HL (2)求得AD的取值范围是(　C　) A． 5<AD<9 B． 5≤AD≤9 C． 2<AD<7 D. 2≤AD≤7 B C 归纳总结:题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答. (3)如图2，在△ABC中，AB＞AC，点D，E在BC上，点E是CD的中点，DF∥AB交AE于点F，DF＝AC. 求证:AE平分∠BAC. 解:如图，延长AE至点G，使得AE＝EG，连结DG. ∵点E是CD的中点，∴DE＝CE. 在△DEG和△CEA中， ∴△DEG≌△CEA(SAS)， ∴GD＝AC，∠G＝∠CAE. ∵DF＝AC，∴GD＝DF，∴∠G＝∠DFG，∴∠CAE＝∠DFG. ∵DF∥AB，∴∠BAE＝∠DFG， ∴∠CAE＝∠BAE，∴AE平分∠BAC. $$