专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结（8大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

高考二轮数学讲练测 专题16 直线与圆几何问题 题型深度剖析与总结 目录 01 03 05 02 04 考情透视·目标导航 知识导图·思维引航 知识梳理·方法技巧 真题研析·精准预测 核心精讲·题型突破（7大题型，1个重难点） 2 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 直线与方程 掌握直线方程，运用数形结合解题 2024年北京卷第3题，4分 2023年I卷第6题，5分 2025年高考数学可能会涉及直线与圆的方程，包括直线方程的一般形式、圆方程的标准形式等。同时，可能会考察直线与圆的位置关系，如相交、相切、相离等，以及相关的计算和应用。   直线与圆的位置关系 理解位置关系，渗透数学思想方法 2024年甲卷（理）第12题，5分 2023年甲卷（理）第8题，5分 2023年II卷第15题，5分 2022年II卷第15题，5分 圆与圆的圆的位置关系 掌握判定方法及应用 2022年II卷第14题，5分 考情透视·目标导航 知识导图·思维引航 1.直线与圆的位置关系 (1)几何法(圆心到直线的距离和半径关系) 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 知识梳理·方法技巧 5 (2)代数方法(几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数) 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离. 知识梳理·方法技巧 6 2.圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，(不妨设)，且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含(时两圆为同心圆) 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 知识梳理·方法技巧 7 3.关于圆的切线的几个重要结论 (1)过圆上一点的圆的切线方程为 (2)过圆上一点的圆的切线方程为 (3)过圆上一点的圆的切线方程为 知识梳理·方法技巧 8 (4)求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为 ，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值.若 求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则 说明斜率不存在的情形符合题意. 知识梳理·方法技巧 9 1.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)已知直线与圆 交于两点，则的最小值为( ) C A.2 B.3 C.4 D.6 ∵直线，即，令， 则，∴直线过定点，设， 将圆化为标准式为， ∴圆心，半径， 当时，的最小， 此时 故选：C 真题研析·精准预测 真题研析 10 3.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知是的等差中项，直线与 圆交于两点，则的最小值为( ) C A.1 B.2 C.4 D. ∵成等差数列，∴，，代入直线方程得 ，即，令 得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时故选：C 真题研析·精准预测 真题研析 11 5.(2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题)已知直线与 交于A，B两点，写出满足“面积为”的的一个值__________________________ _____. 2(中任意一个皆可以) 设点到直线的距离为，由弦长公式得， ∴，解得：或， 由，∴或，解得：或 故答案为：(中任意一个皆可以). 真题研析·精准预测 真题研析 12 核心精讲·题型突破 直线的方程 题型1 阿氏圆 题型5 圆的方程 题型2 题型6 米勒定理与角度问题 直线、圆的位置关系 题型3 圆的数形结合 题型7 圆的动点与距离问题 题型4 与距离问题有关的最值 重难点突破 题型一：直线的方程 【典例1-1】已知，，若的平分线方程为，则所在直 线的一般方程为______________. 直线的斜率，其方程为，， 由正弦定理得，整理得，则，设，则， 整理得，解得， 则，， 直线的方程为，即 核心精讲·题型突破 题型突破 14 1.已知直线，直线，则 ，且(或)， 2.点到直线不同时为零)的距离 3.两条平行直线，不同时为零)间 的距离 核心精讲·题型突破 15 【变式1-1】已知过原点的直线与圆相交于两点，若 ，则直线的方程为___________. 圆的圆心，半径 直线截圆所得弦长，则弦心距 当过原点的直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，不符合题意要求； 当过原点的直线斜率存在时，的方程可设为， 由，可得，此时的方程为 综上，直线的方程为 核心精讲·题型突破 16 1.过定点A的直线与圆交于B，C两点，点B恰好为 AC的中点，写出满足条件的一条直线的方程_____________________________. 或 由直线，整理可得，当时， 故直线过定点，设，则， 由在圆，可得，， 解得或，当点的坐标为，由两点式方程，可得，整理可得，当点的坐标为，由两点式方程，可得，整理可得，故答案为：或 核心精讲·题型突破 命题预测 17 题型二：圆的方程 【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到 地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系中， 以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为( ) A A. B. C. D. 设该圆的半径为，如图由题意知：，，，由勾股定理得：，即，解得：，，即圆的圆心为，则圆的方程为 核心精讲·题型突破 题型突破 18 1.圆的方程 (1)圆的定义 在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 (2)圆的标准方程 设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为： (3)圆的一般方程 圆方程为，圆心坐标：，半径： 核心精讲·题型突破 19 【变式2-1】已知直线与抛物线交于A，B两点在第一象限是抛物线 的准线与直线的交点，F是抛物线G的焦点，若，则以AB为直径的圆的方 程为( ) A. B. C. D. D 由题意得焦点为，焦准距，设准线与轴交与点D， 设，设的中点为， 过点作准线的垂线，垂足为，设，，故，则,则直线AB的倾斜角为，故，故，设，则，则，故，则，，故方程为，故圆的方程为 核心精讲·题型突破 20 1.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C 的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为( ) C A. B. C. D. 由题可知，，半径，圆心，∴，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当 点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为 ，∴，∵ 是直角三角形，∴斜边的中点坐标为，而，∴的外接圆圆心为，半径为，∴的外接圆的方程为 故选： 核心精讲·题型突破 命题预测 21 题型三：直线、圆的位置关系 【典例3-1】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取 值范围是( ) B A. B. C. D. 由知直线过定点，由曲线，则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆(包含轴上的两点)， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得，当直线与曲线相切时， 直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离， 解得，要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此，即实数的取值范围为 故选： 核心精讲·题型突破 题型突破 22 1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离. 2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离. 核心精讲·题型突破 23 【变式3-1】设圆和不过第三象限的直线， 若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则实数 ( ) D A. B.1 C.21 D.31 的圆心为，半径为 若圆上恰有三点到直线的距离均为2， 则圆心到直线的距离为 解得或， 由于直线不经过第三象限，则直线与轴的交点， 故， 故选：D 核心精讲·题型突破 24 1.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1， 则的取值范围是( ) B A. B. C. D. 圆，其圆心为，半径为 ∵圆上恰有两点到原点的距离为1，∴圆与圆有两个交点. ∵圆心距为，∴，解得 故选：B 核心精讲·题型突破 命题预测 25 题型四：圆的动点与距离问题 【典例4-1】若实数、满足条件，则的范围是( ) B A. B. C. D. 令，可得， 则直线与圆有公共点， ∴，，解得， 即的取值范围是 故选： 解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几 何定义，借助圆的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。 核心精讲·题型突破 题型突破 26 【变式4-1】已知点是圆上一点，则的 范围是______. 由，得， ∴圆心，半径为1，表示圆上的点到直线的距离的2倍， ∵圆心到直线的距离为 ， ∴圆上的点到直线的距离的最小值为1，最大值为3， ∴的最小值为2，最大值为6， ∴的范围为 ， 故答案为： 核心精讲·题型突破 27 1.已知实数满足，则的最小值为___. 1 联想数量积公式，得， 记，，则为向量，的夹角余弦值的倍， 且由题意点B在以为圆心，1为半径的圆上， 如图所示，若与的夹角余弦值要取得最小值， 则与的夹角需取得最大值， 由图像可知，当时，与的夹角最大， 代入上式可得，此时 故答案为：1. 核心精讲·题型突破 命题预测 28 题型五：阿氏圆 【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面 内与两定点距离的比为常数且 的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的 名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点 ，，则的最小值为( )A.1 B. C. D. C 设，不妨取，使得，整理得，此方程与相同， ∴，∴，当且仅当在线段上时，取等号.∵，∴在圆内；，∴在圆外； ∴线段与圆必有交点(记为)，当重合时，，为其最小值，故选： 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫 做“阿波罗尼斯圆”.特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线. 核心精讲·题型突破 题型突破 29 【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比 为常数(，)，则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称 为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且， 则点M的轨迹方程为_________________________.若点在圆上， 则的最小值是______. 设，则， 整理得(或). 设，则， 故 令，则 故答案为：； 核心精讲·题型突破 30 1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称亚历山大时期数学 三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.” 人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中， ，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方 程为_______________________________________________；若Q为抛物线上的 动点，Q在轴上的射影为M，则 的最小值为__________. 或() 设，由得， 抛物线的焦点为，， ， 易知当四点共线时，取得最小值为， ∴的最小值是 核心精讲·题型突破 命题预测 31 题型六：米勒定理与角度问题 【典例6-1】(多选题)已知点在圆：上，点，， 则下列说法中正确的是( ) A.点到直线的距离小于6 B.点到直线的距离大于2 C.的最大值为 D.的最大值为 BCD ，，∴线段的中点为，， ∴线段的垂直平分线为，即， ∵圆：，圆心，半径， 又点恰在直线上， ∴点到直线的距离最小值为， 最大值为，故A错误 米勒定理：已知点，是的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形的外接圆与边相切于点时，最大. 核心精讲·题型突破 题型突破 32 【变式6-1】已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的 一动点，则的最小值为_____. 圆的标准方程为， 圆心为，半径为 (如图). 由图可知，当与圆相切，且位于第一象限时最小， 此时，即， ∴， 故的最小值为 故答案为： 核心精讲·题型突破 33 1.已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为 _______. 设，则，其中 ∵，，∴ 由余弦定理得：，因为，∴ ∴ 记则 ∴令，解得：，函数递增；令，解得：，函 数递减；∴故答案为： 核心精讲·题型突破 命题预测 34 题型七：圆的数形结合 【典例7-1】过直线上一点作圆的两条切线，当直 线关于直线对称时，点的坐标为( ) B A. B. C. D. 由圆的圆心为， 由图知，当直线关于直线对称时，与直线 垂直. 故直线的方程为，即， 由解得：，即点的坐标为 故选： 利用几何意义转化 核心精讲·题型突破 题型突破 35 【变式7-1】已知是圆上一个动点，且直线与 直线相交于点，则的取值范围 是( )A. B. C. D. B 直线的方程可化为，直线过定点， 直线的方程可化为，直线过定点，对于直线、， ∵，则，即，设线段的中点为，设点， 由直角三角形的几何性质可得， 可得， ∴点的轨迹为圆， ∵，∴圆与圆外离， ∴，， 因此，的取值范围是 故选： 核心精讲·题型突破 36 1.在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点P， 则对任意实数，的最小值为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 由题意知直线与直线，满足，故两直线垂直，直线过定点，直线过定点， 故两直线的交点P在以AB为直径的圆上(不含点)， 该圆方程为，设其圆心为，半径为3， 则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立， 故的最小值为，故选：C 核心精讲·题型突破 命题预测 37 重难点突破：与距离问题有关的最值 【典例8-1】已知则的最小值为( ) C A. B. C. D. 设点为直线上的动点，由题目对应的几何意义为与的距离和与的距离之和，设点，则点关于直线的对称点为点，故，且， ∴ ， 当且仅当三点共线时取等号， ∴的最小值为 故选： 利用几何意义转化 核心精讲·题型突破 题型突破 38 【变式8-1】已知，则 的最小值为_____. 由，得，解得 ， 表示点与点的距离之和. 如图，点关于轴的对称点为，连接， 则， 当且仅当三点共线时等号成立， ∴的最小值为 故答案为： 核心精讲·题型突破 39 1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离 分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决.已知 ，则 的最小值为_____. 原式 相当于动点到的距离之和，∵四边形为矩形， ∴，∴当为矩形对角线交点时， ， 此时最小， 最小为， 核心精讲·题型突破 命题预测 40 感 谢 观 看 THANK YOU $$