6.4.3.2 正弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4.3.2 正弦定理 复习导入 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 复习导入 思考：在上节课中，若已知两边及一角或三边，可以利用余弦定理解三角形。那么，若已知三角形两角及一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们有三角形中等边对等角的理论 实际上，三角形中还有大边对大角的边角关系 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中，设的对边为，的对边为，求之间的定量关系. 可以解决“在中，已知，求”的问题. 新知探究 问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系. A B C c b a 根据锐角三角函数，在中，有: 则： 又因为所以 新知探究 问题2：对锐角三角形和钝角三角形，关系式是否仍成立？ A C a b B D 锐角三角形 钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： c 新知探究 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： （为外接圆半径）. 问题3：你能用其他方法证明关系式成立吗？ 新知探究 外接圆法 D 如图，的外接圆为圆，其半径为， 连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接， 易知， °,，且 在中，，且 同理可得， ， 综上， 新知探究 (1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．　 (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (5) 正弦定理的变形 边化角 角化边 新知探究 三角形面积公式 A C a b B D c 新知探究 思考：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？ 1．已知三角形的任意两个角与一边，解三角形． 2．已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形． 例题精讲 例7：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： 考点一：已知两角及一边解三角形 已知ASA 练习巩固 练习1：在中，已知，求边. 解：因为，所以 因为根据正弦定理， 得 已知ASA 考点一：已知两角及一边解三角形 练习巩固 变式1-1：在中，已知，，则 【答案】： 考点一：已知两角及一边解三角形 已知AAS 练习巩固 考点一：已知两角及一边解三角形 先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边. 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如)，再根据上述思路求解. 已知两角及一边解三角形的策略 例题精讲 例8：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 ①当时， 此时， 考点二：已知两边及其中一边的对角解三角形 已知SSA ②当时， 此时， 练习巩固 练习2：在中，已知求. 解：∵ ，∴，解得. 又∵，，∴. ∴， ， ∴. 已知SSA 考点二：已知两边及其中一边的对角解三角形 练习巩固 变式2-1：在中，已知，，求边的长. 解：由，得. ∵，∴，∴或. ①当时，. 此时，. ②当时，. 此时，. 综上知或. 已知SSA 考点二：已知两边及其中一边的对角解三角形 练习巩固 考点二：已知两边及其中一边的对角解三角形 思考：在前面的题目中我们可以发现，有一些三角形有一个解，有一些有两个解，为什么会出现这一情况？ 由三角函数的性质可知， 在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解； 正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. 练习巩固 考点二：已知两边及其中一边的对角解三角形 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断出另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论. 已知两边及一边的对角解三角形的方法 练习巩固 考点三：判断三角形的形状 练习3：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 √ 练习巩固 变式3-1：在中，若且试判断的形状. 解：(法一)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角，， ∴ ∴.∵，∴ ∴是等腰直角三角形. 考点三：判断三角形的形状 练习巩固 变式3-1：在中，若且试判断的形状. 解：(法二)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角， ∵ ∴ ∴.又，∴ ∴是等腰直角三角形. 考点三：判断三角形的形状 练习巩固 变式3-2：在中，若且那么一定是（ ） ．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 【答案】： 变式3-3：在中，若且那么一定是（ ） ．等腰直角三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 【答案】： 考点三：判断三角形的形状 练习巩固 (1)化边为角，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；② (2)化角为边，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；② 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等. 利用正弦定理判断三角形形状的方法 考点三：判断三角形的形状 小结 $$