微专题01 规律探究与定义新运算（11大题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第一章 数与式 微专题01 规律探究与定义新运算 （思维导图+11种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 单项式的规律 ►题型02 分式的规率 ►题型03 算术平方根的规律 ►题型04 代数式的规律 ►题型05 杨辉三角类问题 ►题型06 二次根式运算的规律 ►题型07 图形的规律 ►题型08 裂项相加法 ►题型09 错位相减法 ►题型10 倒序求和法 ►题型11 新定义运算 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 单项式的规律 1．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）找规律：，则第个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律，解题的关键是要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律． 根据题意找出相应规律求解即可． 【详解】解：由分析得： 系数的绝对值依次为2，4，8，16，…，， 奇数项的系数为正，偶数项的系数为负， 指数为从1开始的正整数， ∴第个式子是． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 【答案】 【分析】本题考查单项式规律的探究．观察可得：每一个式子都是分数形式，其中第奇数个式子为负，第偶数个式子为正；分母为，分子为，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，，，、……， 第n个式子是， ∴第6个式子是， 故答案为：；． 3．（2023·四川成都·一模）探索规律：观察下面的一列单项式：，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式系数的规律是，x的次数依次增加1即可求解． 【详解】解：第n个单项式为： ∴第9个单项式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查单项式的规律，找出其中规律是解题的关键． 4．（2022七年级上·全国·专题练习）按一定规律排列的单项式：，…，第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意得：单项式的系数是从3起连续的奇数， 单项式中a的指数是连续的偶数，b的指数不变， 所以第8个单项式是：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． ►题型02分式的规律 1．（2022·重庆·三模）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为； （即，） 第二次操作：将，作和，结果记为：作差，结果记为； （即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：． ①；②当时，；③若，则； ④在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值： ⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】通过计算确定第2n个式子的变化规律和第2n-1个式子的变化规律，然后确定一般形式，进行判定即可． 【详解】解： ， ， ，， ， ， ，， …… 当2n-1为奇数时（1除外）， ，， 当2n为偶数时， ，， ∵，故①正确； 当x=1时，M2+M4+M6+M8==30 ，故②错误； ，解得x=1或-2（不合题意，舍去），故③正确； 当n=2k-2时，=x，x不是定值，故④错误； 由规律知，⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的化简以及探究式子的规律，解决问题的关键是确定式子的变化规律． 2．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）已知（且），，，……，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则a2021等于a2的值． 【详解】解：由于a1=x+1（x≠0或x≠-1）， 所以， ， 因为2021÷3=673， 所以a2021=． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 4．（2023·安徽淮北·一模）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 请根据上述规律，解答下列问题： (1)请直接写出第5个等式； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察式子，即可写出第五个等式； （2）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母是序数，第二个分母是第一个分母与比第一个分母大1的数的积，等式的右边分母是序数．然后直接通分计算即可得证； 【详解】（1）第5个等式为； （2）第n个等式是； 证明：等式左边等式右边，所以猜想成立． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键． ►题型03算术平方根的规律 1．（22-23八年级上·辽宁锦州·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，则（   ） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系，先根据表格得到规律，再根据规律确定结果，根据表格得到规律，是解决本题的关键． 【详解】由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故选：B． 2．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． ►题型04代数式的规律 1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）请仔细观察下列各等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律； (2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）写出第4个等式：，第5个等式：，进而可得出答案； （2）先写出第2023个等式为：，第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：变形即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：第4个等式：， 第5个等式：， ……. 第n个等式：； （2）解：第2023个等式为：， 第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为： ． 【点睛】本题考查找规律，并通过规律解决问题，正确理解找出规律是解题的关键． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ，； ，； ，； ，； …… 从以上左右两组式子中，你能发现什么规律？用含有字母的代数式表示出来，并证明你发现的规律是否正确． 【答案】规律是（是正整数），证明见解析 【分析】第一个式子等式左边分数中分子比分母大1，乘数与分母相同，等式右边的分数，分母与等式左边的分数分母相同，分子为等式左边分子的平方，第二个式子等式左边的分数是第一个式子左边的分数，加数是第一个式子等式左边的乘数，第二个式子右边的分数与第一个式子等式右边的分数相同，由此求解即可． 【详解】解：规律是（是正整数）． 证明：右边， ∴左边右边， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的加法计算，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 3．（2019·安徽宿州·一模）观察下列关于自然数的等式： 根据上述规律解决下列问题： 写出第四个等式， 请用含的代数式表达上述规律． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可． （2）由（1）的规律进行解答，即可得到答案． 【详解】解：解：（1）32-4×12=5 ① 52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③ … ∴第四个等式：924×42=17； 故答案为：4；17； （2）由（1）的规律可知， 第n个等式为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，解题的关键是找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． ►题型05杨辉三角类问题 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（    ） A．21 B．1 C．35 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第八行的数得出的各项系数，即可求解． 【详解】解：依题意，第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 即的各项系数为： 其中第四项为：， ∴的展开式中的系数是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； … 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，将变形为，利用“杨辉三角”展开，得出的余数，即可求解． 【详解】解：， 可有， 的余数为1，即的余数为1， 若今天是星期四，则经过天后是星期五． 故选D． 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式： 根据规律，的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解答此题的关键． 观察图表寻找规律∶三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的数之和． 【详解】解：由杨辉三角形可得， ， 即的展开式中含项的系数为， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·四川达州·期中）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将下图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】210 【分析】本题考查图形变化的规律，根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由题知， 含的项是展开式中的第三项， 观察每行中的第3个数，如图所示， 该列数中的第19个数为：， 所以展开式中含项的系数是210． 故答案为：210． ►题型06二次根式运算的规律 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）小强根据学习“数与式”积累的经验，对下面二次根式的运算规律进行探究，并写出了一些相应的等式如下：；；；若（均为正整数），则的值为（    ） A．2024 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，求代数式的值，根据题中呈现的规律得出，，代入计算即可得出答案，找出题目呈现的规律是解此题的关键． 【详解】解：∵；；；， ∴若（均为正整数），则，， ∴， 故选：D． 3．（22-23八年级上·北京昌平·期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：____________（填写运算结果）； (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________； (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律： ①化简：____________； ②若（a，b均为正整数），则的值为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)①；② 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题； （4）①②根据（2）中的规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案是：； （2）， 故答案是：； （3）证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立； （4）①， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 4．（20-21八年级上·山西·期中）小敏在学习了二次根式后发现了一些有趣的规律： 当，时，； 当，时，； 当，时，； 仿照小敏的方法探索下列问题： （1）当，时，_______； （2）_______（且为整数）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算ab的值，再把要求的式子化简求解即可； （2）先分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）由题意得：ab==1， ∴(ab)²a+(ab)²b=a+b==2； （2）原式=2 =2(-1+-+…+-) =2(-1+) =． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是注意寻找规律． ►题型07图形的规律 1．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（   ）块 A．28 B．30 C．34 D．36 【答案】D 【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键． 【详解】由所给图形可知， 第 1 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 第 2 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块， 当时，（舍负）， 则（块）， 即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块． 故选：D． 2．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形，按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（    ） A．2024 B．6072 C．6075 D．6078 【答案】D 【分析】本题考查了规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒； ∵第2024个图案中木棒的根数为： 故选：D． 3．（22-23七年级上·浙江台州·期中）观察下列图形规律，当图形中的“•”的个数和“〇”个数和4，当图形中的“•”的个数和“〇”个数和9，那么当图形中的“•”的个数和“〇”个数和为85时，n的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查图形变化的规律，根据所给图形用含n的代数式表示出第n个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中“•”的个数和“〇”的个数之和并发现规律即可，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和为：； 第2个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和为：； 第3个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和为：； ……， 依次类推，第n个图形中“•”的个数和“〇”的个数之和为：． 当时，解得：或10（舍弃负值），即． 故答案为：10． 4．（2024·重庆大渡口·二模）如图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有4张黑色正方形纸片，第②个图中有7张黑色正方形纸片，第③个图中有10张黑色正方形纸片……按此规律排列下去第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为（　　） A．25 B．28 C．31 D．34 【答案】B 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从题目中找出其中的变化规律是解题的关键． 根据题目中的规律可得：第个图中的黑色正方形纸片张数为：，再计算，即可得出答案． 【详解】解：由题目可知： 第①个图中有4张黑色正方形纸片，即； 第②个图中有7张黑色正方形纸片，即； 第③个图中有10张黑色正方形纸片，即； ， 按此规律排列下去，第个图中的黑色正方形纸片张数为：， 第⑨个图中黑色正方形纸片张数为：， 故选：B． ►题型08裂项相加法 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【答案】（1），验证见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：猜想： ； 验证：， ∴猜想正确． （2）解：第n个式子为：； （3）解： ． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）先观察下列的计算，再完成练习． ； ； ． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，数字类的规律探索： （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）根据题意得到规律，再把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； ； ， ……， 以此类推，可知， ∴ ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解： ． ►题型09错位相减法 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1），， （2）①，；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键． (1)根据题目所给方法，可得，从而求得，根据上面得到的公式进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得(n为正整数) ，据此即可得答案；②根据推理进行计算即可求得的值． 【详解】解：（1）如果欲求的值，可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②式+①式，得， ， 由结论求， 故答案为：，，． （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2． 根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么，； 故答案为：，． ②为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 2．（22-23七年级上·广东深圳·期中）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么__________，_________； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此，所以，即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2；；；（2）；（3） 【分析】（1）根据给出的数字，抽象概括出数字规律，进行解答即可； （2）利用（1）中的数字规律和运算方法，进行计算即可； （3）利用（1）中②的方法，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵ ∴，； 故答案为： 2；；； （2）令 则 ②-①得：，； （3）令 则 ①-②： ∴ ． 【点睛】本题考查数字类探究问题．根据题意抽象概括出数字规律，熟练掌握给出的运算方法是解题的关键． ►题型10倒序求和法 1．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）阅读材料： 德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答过程如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)10000 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解材料内容并能运用解决问题． （1）把原式化为，再计算即可； （2）直接利用高斯公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（2023·山西晋城·模拟预测）请仔细阅读，并完成相应的任务． 倒序求和法在计算时， 令，① 则．② ①+②，得． ∴______． ∴______． 这样的求和方法称为倒序求和法． 任务： (1)请将上面的计算过程补充完整． (2)如图，第个图形共有______个圆点．    (3)利用倒序求和法计算：． (4)若，则______． 【答案】(1)， (2) (3)10000 (4)13 【分析】（1）先将括号内的每一项合并同类项，之后即可得到答案； （2）首先根据前面3个找到规律之后根据倒序相加法即可计算； （3）根据倒序相加法即可得到答案； （4）根据倒序相加法即可得到答案； 【详解】（1）解：， （2）解：第1个图形中圆点的个数为， 第2个图形中圆点的个数为， 第3个图形中圆点的个数为…… 第个图形中圆点的个数为 ； （3）解：令，① 则，② ①+②，得， ∴．∴， ∴． （4）解：令， 则， ∴， ∴， ∴． 解得（舍去）或． 【点睛】本题主要考查规律型-图形变化类问题，解题的关键是理解题意，学会用倒序求和的方法解决问题． ►题型11定义新运算 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由结合题意得出，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（19-20九年级上·浙江·周测）对于任意实数，有序实数对与之间的运算“*”定义为：．如果对于任意实数都有，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出关于的一元二次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，根据新定义列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2022·浙江金华·一模）对于实数a，b定义一种新运算“”为，这里等式右边是实数运算．例如，则方程的解是 ． 【答案】x=10 【分析】根据新定义的运算求出，即得出关于x的分式方程，再解方程即可． 【详解】解：， ∴， 等式两边同时乘，得：， 解得：． 经检验是原分式方程的解． ∴方程的解是． 故答案为：x=10． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解分式方程．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． 4．（19-20九年级下·浙江台州·期中）定义一种新运算：a※b＝，则2※3﹣4※3的值 ． 【答案】8 【分析】根据新定义规定的运算法则列式计算可得． 【详解】解：2※3﹣4※3 ＝3×3﹣（4﹣3） ＝9﹣1 ＝8， 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混合运算顺序和运算法则． 5．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 05分层训练·巩固提 基础巩固 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化类，算术平方根，准确找出代数式的排列规律是解题的关键． 根据代数式的系数、字母的指数的规律即可得出第个代数式． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 3．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） 第一行……………………1 第二行…………………1   1 第三行………………1   2  1 第四行……………1  3    3  1 第五行…………1  4    6   4   1 A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出及从开始，以为底数的乘方运算结果的末位数字按循环是解题的关键． 根据题意，依次求出每行的数字之和，发现规律，再结合从开始，以为底数的乘方运算结果的末位数字按循环，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知： 第行的数字之和为， 即； 第行的数字之和为， 即； 第行的数字之和为， 即； 第行的数字之和为， 即； ， 当时，． 又因为从开始，以为底数的乘方运算结果的末位数字按循环，且， 所以的末位数字为， 即的末位数字为． 故选：D． 4．公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图1所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位．然后是十位、百位，根据符号记数的方法，图2所示的符号表示一个两位数，则这个两位数是（   ） A．25 B．15 C．11 D．52 【答案】A 【分析】本题考查了用符号表示数，图形的规律探索，理清题目中的符号表示的意义是解答本题的关键，一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，这个两位数是由2个10，5个1组成的，是25． 【详解】解：根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是25． 故选：A． 5．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数． 【详解】解：一组数为 ∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， ∴第个数为：， 故选：C． 6．按照一定规律排列的单项式：，，，，，按照上述规律，第2024个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，先观察指数规律与符号规律，再进行解答即可．如果单项式的符号是正、负相间隔出现，则需要用解决． 【详解】解： ，，，，， 第个单项式为， 第个单项式为． 故选：A． 7．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 8．数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 9．对于实数a，b定义一种新运算“★”如下：，若，则实数m等于（    ） A．6 B．2 C．2或 D．2或或6 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元二次方程解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：当时，则，解得：，不符合题意，舍去； 当时，则， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，， 故选：B． 10．观察下面一组单项式：，，，，…根据其中的规律，得出第n个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式的规律探究，从符号规律可得以，循环，可以用表示，系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示，的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示，从而可得答案． 【详解】解：一组单项式：，，，，… 根据其中的规律，得出第n个单项式是； 故答案为： 11．下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字的变化规律，从被开方数考虑求解是解题的关键，难点在于二次根式的变形． 【详解】解：根据题意可知所给数列为， 则第 n 项为 ，因此第 10 项为． 故答案为： 12．我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… 请用含a（a为正整数）的式子表示上述的规律： ． 【答案】 【分析】首先观察上面的运算，得到一般的规律，即个位数是5的两个两位数相乘，所得的积等于把十位数乘以比它大1的数扩大100倍后加上25，进而求解即可．本题考查了数的运算规律的探究，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键． 【详解】依题意，把十位上的数字记， 则， 故答案为：； 13．在如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为36，我们发现第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，仔细计算，观察出从第4次开始，偶数次输出的结果是6，奇数次输出的结果是3是解题的关键．根据运算程序依次进行计算，从而不难发现，从第4次开始，偶数次输出的结果是6，奇数次输出的结果是3，然后解答即可． 【详解】解：第1次输出的结果为18， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， …，如此循环， 从第4次开始第偶次输出的是6，第奇次输出的是3． 第2025次输出的结果为3． 故答案为：3． 14．围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用扁圆形体的黑、白两色棋子在方形格的棋盘上对弈．现用黑、白两色棋子拼成下列图案，按此规律，第个图案中黑棋和白棋共有 颗． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中黑色和白色棋子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中，黑色棋子的个数为：，白色棋子的个数为：； 第2个图案中，黑色棋子的个数为：，白色棋子的个数为：； 第3个图案中，黑色棋子的个数为：，白色棋子的个数为：； …， 所以第n个图案中，黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为． 第个图案中黑棋和白棋共有． 故答案为：． 15．观察下列排列的单项式的规律： ，，，，⋯ (1)请按照此规律写出第10个单项式； (2)试猜想写出第个单项式，并写出其系数和次数． 【答案】(1) (2)第个单项式为：，系数为：，次数为： 【分析】本题考查了单项式规律探究，解题的关键是根据已知单项式得出规律． （1）根据已知单项式可得符号的规律：为奇数时，单项式为正号，为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．字母都是，的指数都是2，的指数是从1开始的连续的整数，据此即可得出第10个单项式； （2）根据解析（1）得出的规律，写出第个单项式即可． 【详解】（1）解：第10个单项式为：； （2）解：第个单项式为：，系数为：，次数为：． 16．按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)0.02，0.2，2，20 (2)24.08，68 (3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，它的算术平方根扩大或缩小10倍，说明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）由表格可以发现被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，根据规律即可得到答案； （3）根据解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：，，，， 填表如下： a 4 400 0.02 0.2 2 20 故答案为：0.02，0.2，2，20； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24.08，68； （3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）． 17．—观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到式子的规律，利用有理数的运算法则进行计算是解题的关键． （1）观察等式，找到规律即可求解； （2）将（1）中的式子两边分别相加即可求解； （3）根据，，，……将以上式子两边分别相加，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵=1−， =−， =−， …… ∴； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， …… ∴ ． 18．观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律； 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，整式的加减； （1）仿照所给的等式，写出符合条件的等式即可； （2）总结以上式子的规律求解即可． 【详解】（1）解：；（答案不唯一） （2）解： ． 能力提升 19．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则值是（    ） A．17 B．45 C．27 D．55 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 根据题意可得；；；；…，第n个数记为，进而可得结果． 【详解】解：根据题意可知： ； ； ； ； …， 第n个数记为， ∴， ∴． 故选：C． 20．观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 21．定义一种对正整数的“”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示；若，则第“”的运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 【答案】A 【分析】据提供的“”运算，对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于为奇数应先进行运算，再按照新定义进行计算即可求解．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键． 【详解】解：：， ：，，即， ：， ：，即，计算结果为1， 故选：A． 22．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可得分裂中的第一个数是，据此解答即可求解，由题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， 分裂中的第一个数是， ， ∴分裂中的第一个数是， ∴分裂中的第一个数是， ∴“分裂”出的奇数中，最大的奇数为， 故选：． 23．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为．已知，并规定： ，，． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题中规定发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据题中规定，分别算出，，，，，，，，，发现并总结出一般规律，即可判断说法①；根据题中规定，分别算出，，，，，，，，，发现并总结出一般规律，即可判断说法②；根据题中规定，分别算出，，，利用所得规律，即可判断说法③；综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】解：由题意可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 每个数为一个循环， ， ， ， 故说法①正确； 由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 每个数为一个循环， ， ， ， 故说法②正确； 由题意可知：， ， ， ， ，，，，，，，，，，每个数为一个循环， ，，， ， ， 故说法③正确； 综上，正确的说法有：，共个， 故选：． 24．按顺序排列的若干个数：，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，下列说法正确的个数有（    ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④当时，代数式的值恒为负 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①将代入式子依次计算即可；②从开始依次计算出，即可找到周期性规律；然后利用规律计算即可；③利用规律找到之间的规律，将分别用表示，解方程即可；④利用规律将化简得二次函数，利用二次函数求最值即可． 【详解】解：将代入得：， 然后依次求得：故①正确； 当时，则， ， ， ……， ∴这一列数每3个数为一个循环，三个数交替出现，且每个周期的和为， ∵中共有个数据， ∴周期个数为：个， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， ……， ∴这一列数每3个数为一个循环，三个数交替出现， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴ ， 对于二次函数，其函数图象开口向下，最大值为， 对于二次函数的对称轴为，且开口向上， ， ∴当或时，有最大值0（取不到） ， ， 的值恒为负，故④正确 故选B. 【点睛】本题主要考查了分式的化简、二次根式的化简、二次函数求最值、有理数的运算，数字类的规律探索等，找到这一列数的规律是解题的关键． 25．已知，，，，…，按此规律， ． 【答案】 【分析】由题意得从1开始个连续的奇数的和等于，求出连续奇数的个数即可解决问题． 【详解】解：，从1开始连续2个奇数相加； ，从1开始连续3个奇数相加； ，从1开始连续4个奇数相加； 连续整数的个数为：4045个，其中奇数的个数比偶数的个数多1个， 中，奇数有2023个，偶数有2022个， ， 故答案为：． 【点睛】本题是规律型的，从1开始连续2个奇数和等于，连续3个奇数的和为，连续4个奇数的和为，可以得出连续个奇数的和为的规律，解题的关键是求出连续奇数的个数． 26．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧． 分别求得的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可． 【详解】解：由题意得：， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ． 分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束． ， 故答案为：2024． 27．我们把分子为1的分数叫理想分数，如，，…任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数，那么 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律问题，解题的关键在于能够根据题意找到数字间的规律．观察题目可得，得；，得；，得；由此得出规律进行求解即可． 【详解】解：根据题意，，得； ，得； ，得； … ∴，得 故答案为：． 28．对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为 ；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“差3倍数”的定义表示出，由，结合为偶数，即可解答；同理表示出，且被3除余2，可得是3的倍数，根据“差3倍数”的定义结合数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：根据题意：， 则， ∴， ∵为偶数，且（为整数）， ∴为偶数， ∴为偶 数， ∴为， 当最大，则有最大值， 此时，，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴的最大值为； ∵被3除余2， ∴是3的倍数， ∵， ∴是3的倍数， ∵（为整数），， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴符合条件的代数式的值为：， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 或，即，此时，，则的值为，符合题意； ∴满足条件的“差3倍数”为； 故答案为：，． 29．定义两种新运算：，其中为实数且． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 30．二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 31．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 32．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)结论：，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，数学常识．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出念 n的等式证明成立即可． 【详解】（1）根据材料中等式反映的规律知， （2）．理由： ∵右边， 左边 ， ∴左边＝右边， ∴成立． $$第一章 数与式 微专题01 规律探究与定义新运算 （思维导图+11种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 单项式的规律 ►题型02 分式的规率 ►题型03 算术平方根的规律 ►题型04 代数式的规律 ►题型05 杨辉三角类问题 ►题型06 二次根式运算的规律 ►题型07 图形的规律 ►题型08 裂项相加法 ►题型09 错位相减法 ►题型10 倒序求和法 ►题型11 新定义运算 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 04题型精研·考向洞悉 ►题型01 单项式的规律 1．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）找规律：，则第个式子是 ． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 3．（2023·四川成都·一模）探索规律：观察下面的一列单项式：，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 4．（2022七年级上·全国·专题练习）按一定规律排列的单项式：，…，第8个单项式是（    ） A． B． C． D． ►题型02分式的规律 1．（2022·重庆·三模）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为； （即，） 第二次操作：将，作和，结果记为：作差，结果记为； （即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：． ①；②当时，；③若，则； ④在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值： ⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，； 以上结论正确的个数有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 2．（20-21七年级下·浙江湖州·期末）已知（且），，，……，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 4．（2023·安徽淮北·一模）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 请根据上述规律，解答下列问题： (1)请直接写出第5个等式； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． ►题型03算术平方根的规律 1．（22-23八年级上·辽宁锦州·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，则（   ） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 2．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中），则 ． 3．（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 ►题型04代数式的规律 1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）请仔细观察下列各等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律； (2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？ 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ，； ，； ，； ，； …… 从以上左右两组式子中，你能发现什么规律？用含有字母的代数式表示出来，并证明你发现的规律是否正确． 3．（2019·安徽宿州·一模）观察下列关于自然数的等式： 根据上述规律解决下列问题： 写出第四个等式， 请用含的代数式表达上述规律． ►题型05杨辉三角类问题 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（    ） A．21 B．1 C．35 D．7 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； … 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式： 根据规律，的展开式中含项的系数为 ． 4．（22-23七年级下·四川达州·期中）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将下图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． ►题型06二次根式运算的规律 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）小强根据学习“数与式”积累的经验，对下面二次根式的运算规律进行探究，并写出了一些相应的等式如下：；；；若（均为正整数），则的值为（    ） A．2024 B． C． D．1 3．（22-23八年级上·北京昌平·期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：____________（填写运算结果）； (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________； (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律： ①化简：____________； ②若（a，b均为正整数），则的值为____________． 4．（20-21八年级上·山西·期中）小敏在学习了二次根式后发现了一些有趣的规律： 当，时，； 当，时，； 当，时，； 仿照小敏的方法探索下列问题： （1）当，时，_______； （2）_______（且为整数）． ►题型07图形的规律 1．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（   ）块 A．28 B．30 C．34 D．36 2．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形，按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（    ） A．2024 B．6072 C．6075 D．6078 3．（22-23七年级上·浙江台州·期中）观察下列图形规律，当图形中的“•”的个数和“〇”个数和4，当图形中的“•”的个数和“〇”个数和9，那么当图形中的“•”的个数和“〇”个数和为85时，n的值为 ． 4．（2024·重庆大渡口·二模）如图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有4张黑色正方形纸片，第②个图中有7张黑色正方形纸片，第③个图中有10张黑色正方形纸片……按此规律排列下去第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为（　　） A．25 B．28 C．31 D．34 ►题型08裂项相加法 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）先观察下列的计算，再完成练习． ； ； ． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： ►题型09错位相减法 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 2．（22-23七年级上·广东深圳·期中）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么__________，_________； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此，所以，即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． ►题型10倒序求和法 1．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）阅读材料： 德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答过程如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 2．（2023·山西晋城·模拟预测）请仔细阅读，并完成相应的任务． 倒序求和法在计算时， 令，① 则．② ①+②，得． ∴______． ∴______． 这样的求和方法称为倒序求和法． 任务： (1)请将上面的计算过程补充完整． (2)如图，第个图形共有______个圆点．    (3)利用倒序求和法计算：． (4)若，则______． ►题型11定义新运算 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 2．（19-20九年级上·浙江·周测）对于任意实数，有序实数对与之间的运算“*”定义为：．如果对于任意实数都有，那么为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江金华·一模）对于实数a，b定义一种新运算“”为，这里等式右边是实数运算．例如，则方程的解是 ． 4．（19-20九年级下·浙江台州·期中）定义一种新运算：a※b＝，则2※3﹣4※3的值 ． 5．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 05分层训练·巩固提 基础巩固 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 故选：． 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） 第一行……………………1 第二行…………………1   1 第三行………………1   2  1 第四行……………1  3    3  1 第五行…………1  4    6   4   1 A．2 B．4 C．8 D．6 4．公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图1所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位．然后是十位、百位，根据符号记数的方法，图2所示的符号表示一个两位数，则这个两位数是（   ） A．25 B．15 C．11 D．52 5．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 6．按照一定规律排列的单项式：，，，，，按照上述规律，第2024个单项式是（    ） A． B． C． D． 7．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 8．数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 9．对于实数a，b定义一种新运算“★”如下：，若，则实数m等于（    ） A．6 B．2 C．2或 D．2或或6 10．观察下面一组单项式：，，，，…根据其中的规律，得出第n个单项式是 ． 11．下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ． 12．我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… 请用含a（a为正整数）的式子表示上述的规律： ． 13．在如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为36，我们发现第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……，则第2025次输出的结果为 ． 14．围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用扁圆形体的黑、白两色棋子在方形格的棋盘上对弈．现用黑、白两色棋子拼成下列图案，按此规律，第个图案中黑棋和白棋共有 颗． 15．观察下列排列的单项式的规律： ，，，，⋯ (1)请按照此规律写出第10个单项式； (2)试猜想写出第个单项式，并写出其系数和次数． 16．按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 17．—观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 18．观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， …… (1)请另外写出一个符合上述规律的算式； (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律； 能力提升 19．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则值是（    ） A．17 B．45 C．27 D．55 20．观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 21．定义一种对正整数的“”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示；若，则第“”的运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 22．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和，即；；；；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是（   ） A． B． C． D． 23．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为．已知，并规定： ，，． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．按顺序排列的若干个数：，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，下列说法正确的个数有（    ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④当时，代数式的值恒为负 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．已知，，，，…，按此规律， ． 26．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ． 27．我们把分子为1的分数叫理想分数，如，，…任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数，那么 28．对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为 ；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为 ． 29．定义两种新运算：，其中为实数且． (1)求的值； (2)化简：． 30．二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 31．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 32．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． $$