（同步讲练篇）第三单元 （圆锥的认识、体积、等积变形及切拼·7大考点+易错点）-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册（人教版）

2025学年六年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度六年级数学下册同步讲练篇 第三单元 圆柱与圆锥 （圆锥的认识、体积、等积变形及切拼） 【考点1】圆锥的认识及特征 3 【考点2】圆锥的体积计算 5 【考点3】圆柱与圆锥体积的关系 7 【考点4】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 10 【考点5】立体图形的切拼（圆锥） 12 【考点6】组合体的体积（圆柱、圆锥） 15 【考点7】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 19 体积比较之争 有一天，圆柱、圆锥和长方体在草地上玩耍，长方体问：“你们觉得在数学王国里，什么图形的体积最大？” 圆柱马上说：“肯定是我！” 圆锥听了很不高兴：“凭什么你体积比我大？” 圆柱嘲笑圆锥瘦。二者吵得不可开交，便去找 “九章算术” 评理 。九章算术说：“等底等高时，圆柱体积比圆锥大，但不等底等高就难判断。” 并拿出一个大圆锥和一个小圆柱让它们观察，明显圆锥体积更大。最后算术爷爷教育它们，它们底面都是圆形，侧面都是曲面，应团结友爱，圆柱和圆锥听后羞愧地低下了头。 【考点1】圆锥的认识及特征 掌握圆锥的底面（圆形）、侧面（曲面）、高（顶点到底面圆心的距离，仅有一条）等特征。 易错点：混淆圆锥与圆柱高的数量，误认为圆锥有无数条高；对圆锥侧面展开图（扇形）的理解不清晰，无法关联底面周长与扇形弧长的关系。 ： 如图，以直角三角形的a边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个( )，a是它的( )，b是它的( )。 答案： 圆锥 高 底面半径 分析：根据圆锥的定义，以一条直角边所在直线旋转一周得到的图形是圆锥。为轴的那条直角边是旋转后的圆锥的高，另一条直角边是旋转后的圆锥的底面半径；进而得出结论。 详解：根据分析可知，以直角三角形的a边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，a是它的高，b是它的底面半径。 1．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 答案： ① ③ 分析：圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；据此判断。 详解：以直线为轴旋转一周，①是个圆柱，②是个球，③是个圆锥，④是个圆台。 因此以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是①，形成圆锥的是③。 2．把一个底面周长是9.42厘米，高是8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 答案：24 分析：根据题意，把一个圆锥从它的顶点沿高切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 已知圆锥的底面周长是9.42厘米，先根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 详解：圆锥的底面直径：（厘米） 表面积增加了：（平方厘米） 表面积增加了24平方厘米。 3．量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是13cm，从顶点到底面圆心的距离是12cm，底面的直径是10cm，这个圆锥的高是( )cm。 答案：12 分析：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此分析。 详解：因为从顶点到底面圆心的距离是12cm，所以这个圆锥的高是12cm。 【考点2】圆锥的体积计算 运用公式 （ 为底面积， 为高）计算体积。 易错点：忘记乘 ，直接套用圆柱体积公式；已知直径或半径时，未正确计算底面积 。 ： 求下图圆锥体的体积。 答案：84.78dm3 分析：已知圆锥的底面直径是6dm，高是9dm，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出圆锥的体积。 详解：×3.14×（6÷2）2×9 ＝×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝84.78（dm3） 圆锥体的体积是84.78dm3。 1．求出下面圆锥的体积。 答案：47.1cm3 分析：已知圆锥的底面直径是6cm，高是5cm，根据圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出圆锥的体积。 详解：×（6÷2）2×3.14×5 ＝×32×3.14×5 ＝×9×3.14×5 ＝47.1（cm3） 圆锥的体积是47.1cm3。 2．计算下面各图形的体积。（单位：cm） 答案：314cm3；113.04cm3 分析：（1）图形是一个底面直径为10cm、高为12cm的圆锥，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 （2）图形是一个底面直径为6cm、高为8cm的半圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积，再除以2即可。 详解：（1）×3.14×（10÷2）2×12 ＝×3.14×52×12 ＝×3.14×25×12 ＝314（cm3） 圆锥的体积是314cm3。 （2）3.14×（6÷2）2×8÷2 ＝3.14×32×8÷2 ＝3.14×9×8÷2 ＝113.04（cm3） 圆柱的体积是113.04cm3。 3．求组合图形的体积。（单位：cm） 答案：43.96cm3 分析：观察图形可知，该组合图形的体积＝中间圆柱的体积＋两边的两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 详解：3.14×（2÷2）2×（18－3×2）＋×3.14×（2÷2）2×3×2 ＝3.14×12×（18－6）＋×3.14×12×3×2 ＝3.14×12×12＋×3.14×12×3×2 ＝3.14×1×12＋×3.14×1×3×2 ＝37.68＋6.28 ＝43.96（cm3） 【考点3】圆柱与圆锥体积的关系 理解等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的 ，反之圆柱体积是圆锥的 3 倍。 易错点：忽略“等底等高”前提，直接使用体积倍数关系；已知体积和底（高）的关系，求另一量时逻辑混乱。 ： 等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的( )，圆柱体积是圆锥体积的( )，圆锥体积的公式是( )或( )。 答案： /三分之一 3倍 分析：由圆柱与圆锥体积的关系可知，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱的体积公式为或，则，据此解答。 详解： 分析可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积的公式是或。 1．一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多18立方米，圆锥的体积是( )立方米。 答案：9 分析：根据根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份； 已知圆柱的体积比圆锥多18立方米，用两者的体积差除以份数差，求出一份数，也就是圆锥的体积。 详解：18÷（3－1） ＝18÷2 ＝9（立方米） 圆锥的体积是9立方米。 2．一个圆锥体，底面周长是12.56厘米，高2.4厘米，它的体积是( )立方厘米。与它等底等高的圆柱体积是( )。 答案： 10.048 30.144立方厘米/30.144cm3 分析：已知底面周长是12.56厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数据求出底面半径；然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出圆锥的体积；已知圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍，所以用圆锥的体积乘3即可求出与它等底等高的圆柱体积。 详解：12.56÷3.14÷2＝2（厘米） 3.14×22×2.4× ＝3.14×4×2.4× ＝10.048（立方厘米） 10.048×3＝30.144（立方厘米） 一个圆锥体，底面周长是12.56厘米，高2.4厘米，它的体积是10.048立方厘米。与它等底等高的圆柱体积是30.144立方厘米。 3．用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的( )。 答案： 37.68 分析：分析题目，削成的最大的圆锥和圆柱是等底等高的，即圆锥的底面直径就等于圆柱的底面直径，圆锥的高就等于圆柱的高，据此结合圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据求出圆锥的体积即可；圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的木块的体积是圆柱体积的（1－），据此用除法求出削成最大圆锥的体积是削去木块体积几分之几即可。 详解：3.14×（4÷2）2×9× ＝3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68（cm3） ÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是37.68cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的。 【考点4】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 物体形状改变但体积不变，如圆锥熔铸成圆柱，利用体积相等列方程求解。 易错点：未统一单位；变形后圆柱或圆锥的底面积、高分析错误，导致等式列错。 ： 一个底面半径是6厘米的铁圆锥完全浸没在底面直径是1.8分米圆柱形容器水中。拿出铁圆锥，水面下降了2厘米。这个铁圆锥的高是多少？ 答案：13.5厘米 分析：水面下降的体积就是这个铁圆锥的体积，圆柱形容器底面半径×水面下降的高度＝圆锥的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。注意统一单位。 详解：1.8分米＝18厘米 3.14×（18÷2）2×2 ＝3.14×92×2 ＝3.14×81×2 ＝508.68（立方厘米） 508.68×3÷（3.14×62） ＝1526.04÷（3.14×36） ＝1526.04÷113.04 ＝13.5（厘米） 答：这个铁圆锥的高是13.5厘米。 1．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 答案：18.84平方厘米 分析：水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 详解：圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 2．如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 答案：7.5厘米 分析：根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，求出甲容器注满水的体积，再根据这些水的体积不变，代入数据即可求出倒入圆柱中的水的高度。 详解： 圆锥的体积为： （立方厘米） 圆柱中水的高为： （厘米） 答：乙容器的水深7.5厘米。 点睛： 本题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法以及等积变形，关键是明确水的体积不变。 3．把一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留整厘米） 答案：5厘米 分析：首先要理解把正方体铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状改变了，但体积不变。因此根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据，即可求出高。由此列式解答。 详解：（5×5×5）÷（×3.14×52） ＝（5×5×5）÷（×3.14×25） ≈125÷26.17 ≈5（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高约是5厘米。 点睛：此题主要考查正方体和圆锥的体积计算方法，理解体积没有发生变化是解答本题的关键。 【考点5】立体图形的切拼（圆锥） 圆锥切割或拼合后的体积、表面积变化分析。 易错点：切割后忽略新增面的面积；拼合时误算重叠部分对体积的影响，或混淆切拼前后的高、底面积关系。 ： 一个底面半径是6厘米的圆锥形木块，把它沿高分成完全相同的两个木块，表面积比原来增加了120平方厘米，原来这个圆锥形木块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 答案：376.8立方厘米 分析：从“沿高分成完全相同的两个木块”可知，切面是两个完全一样的等腰三角形。这个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高。从“表面积比原来增加了120平方厘米”可得一个三角形的面积是：120÷2＝60（平方厘米）。再根据三角形的高：h＝2S÷a，求出圆锥的高，根据圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，求出圆锥的体积即可。 详解：圆锥的高： 120÷2×2÷（6×2） ＝120÷12 ＝10（厘米） 圆锥的体积： （立方厘米） 答：原来这个圆锥形木块的体积是376.8立方厘米。 1．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 答案：25.12立方厘米 分析：把一个圆锥沿着高切开，增加两个等腰三角形，等腰三角形的底＝圆锥底面半径，等腰三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝一个等腰三角形的面积，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出圆锥底面半径，再根据圆锥体积＝底面积×高×，列式解答即可。 详解：24÷2＝12（平方厘米） 12×2÷6＝4（厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是25.12立方厘米。 2．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 答案：130平方厘米 分析：要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 详解：26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 3．把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 答案：1570立方厘米 分析：由于圆锥体是由三角形旋转得到的，把一个圆锥沿底面直径和高切开，剖面是三角形，表面积比原来增加了300平方厘米，即是两个三角形的面积之和；由此可以求出剖面三角形的面积，这个三角形的底就是圆锥底面直径，根据已知三角形的面积和高求底的方法，即可求出圆锥的底面直径，再利用圆锥的体积公式解答。 详解：一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米） 圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米） ×3.14×（20÷2）2×15 ＝314×5 ＝1570（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是1570立方厘米。 点睛：本题考查圆锥的体积，明确沿着底面直径垂直切开，表面积增加即增加了两个三角形的面积是解题的关键。 【考点6】组合体的体积（圆柱、圆锥） 将组合体分解为圆柱、圆锥，分别计算体积后求和或求差。 易错点：分解图形时遗漏部分几何体；计算某部分体积时，错用公式（如圆锥漏乘 ）。 ： 学校科技社团小组的同学们在研究陀螺的稳定性，他们用圆柱形的木头和圆锥形的金属制作了一个陀螺（如图），你能帮助他们计算出这个陀螺的体积吗？ 答案：471立方厘米 分析：分析题目，陀螺是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可得到陀螺的体积。 详解：3.14×（10÷2）2×4 ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 3.14×（10÷2）2×6× ＝3.14×52×6× ＝3.14×25×6× ＝78.5×6× ＝471× ＝157（立方厘米） 314＋157＝471（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是471立方厘米。 1．航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图），它的上部是圆锥形状的，下部是圆柱形状的。圆柱和圆锥的底面半径都是3厘米，圆锥的高和圆柱的高都是6厘米。火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？ 答案：226.08立方厘米 分析：火箭助推器模型的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积。根据圆锥的体积，圆柱的体积两个公式将数据代入计算即可。 详解： （立方厘米） 答：火箭助推器模型的体积是226.08立方厘米。 2．（如下图）圆柱和圆锥黏合而成的，如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米。求原来这个物体的体积是多少立方厘米？ 答案：200.96立方厘米 分析：根据题意可知，圆柱和圆锥分开后增加的表面积是圆锥的底面积和圆柱的一个底面积之和，且圆锥的底面积和圆柱的一个底面积相等，可由此求出底面积。由图形可得，圆柱的高为6厘米，圆锥的高为12－6＝6厘米。再根据圆柱和圆锥的体积公式，分别求出两部分的体积，最后相加即可。 详解：50.24÷2＝25.12（平方厘米） 12－6＝6（厘米） 25.12×6＋×25.12×6 ＝150.72＋50.24 ＝200.96（立方厘米） 答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米。 3．如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 答案：197.82立方厘米 分析：如下图：分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC，将三角形EBC以EB所在的直线为轴旋转一周，可以形成一个大圆锥，这个圆锥比题中要求的圆台多了一个小圆锥（圆台上虚线部分）。 因为∠B＝90°，∠C＝45°，所以三角形EBC为等腰直角三角形，则EB＝BC＝6厘米，EA为6－3＝3（厘米），直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，则∠EAD＝90°，在三角形EAD中，∠EAD＝90°，∠E＝45°，所以三角形EAD也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，将数据代入分别求出大圆锥和小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的体积。 详解：由分析可得： 分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC， 在三角形BCE中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，则三角形BCE是等腰直角三角形，EB＝BC＝6厘米； 大圆锥体积：×3.14×62×6 ＝×3.14×36×6 ＝（×36）×3.14×6 ＝12×3.14×6 ＝37.68×6 ＝226.08（立方厘米） 6－3＝3（厘米） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝（×9）×3.14×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（立方厘米） 226.08－28.26＝197.82（立方厘米） 答：这个圆台的体积是197.82立方厘米。 点睛：本题考查了巧妙的将未知立体图形的体积求法转化到已知立体图形的体积求法上来，熟悉的掌握圆锥体是通过什么图形的旋转得来是解题的关键。 【考点7】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 利用排水法，借助圆柱或圆锥容器计算不规则物体体积。 易错点：未正确分析水上升（或下降）的体积与不规则物体体积的关系；代入数据时弄错高度、底面积等参数。 ： 一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆锥形铝块浸没在一个圆柱形杯子中（如下图所示），如果把铝块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 答案：1.2厘米 分析：圆锥形铝块的放入使得杯子中水面上升，那么把铝块从水中取出，相当于与铝块同等体积的水排除，所以水面下降。先根据求出圆锥的体积，它等于下降那部分水的体积，变化圆柱体积，得到下降水面的高度，据此解答。 详解： （立方厘米） （厘米） 答：容器中的水面高度将下降1.2厘米。 1．一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 答案：1.2厘米 分析：杯里的水面下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，根据圆锥体积＝底面积×高，求出杯里的水面下降部分的体积，再用杯里的水面下降部分的体积除以圆柱的底面积，求出杯里的水面下降多少厘米即可。 详解：下降水的体积：×3.14×（12÷2）2×10 ＝×3.14×36×10 ＝×36×3.14×10 ＝12×3.14×10 ＝12×31.4 ＝376.8（立方厘米） 下降高度：376.8÷（3.14×102） ＝376.8÷（3.14×100） ＝376.8÷314 ＝1.2（厘米） 答：杯里的水面下降1.2厘米。 2．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 答案：15厘米 分析：首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 详解：玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 3．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 答案：314立方厘米 分析：通过观察可知，物体的体积＝上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的底面积×上升部分的高度，根据圆柱的体积公式：S＝πr2h，代入数据即可求出上升部分水的体积，即两个铁块的体积，根据等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，圆柱体积看作3份，圆锥体积看作1份，用上升部分水的体积除以（3＋1）即可求出圆锥形铁块的体积。 详解：3.14×102×（9－5） ＝3.14×102×4 ＝3.14×100×4 ＝1256（立方厘米） 1256÷（3＋1） ＝1256÷4 ＝314（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年六年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度六年级数学下册同步讲练篇 第三单元 圆柱与圆锥 （圆锥的认识、体积、等积变形及切拼） 【考点1】圆锥的认识及特征 3 【考点2】圆锥的体积计算 4 【考点3】圆柱与圆锥体积的关系 5 【考点4】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 6 【考点5】立体图形的切拼（圆锥） 7 【考点6】组合体的体积（圆柱、圆锥） 9 【考点7】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 10 体积比较之争 有一天，圆柱、圆锥和长方体在草地上玩耍，长方体问：“你们觉得在数学王国里，什么图形的体积最大？” 圆柱马上说：“肯定是我！” 圆锥听了很不高兴：“凭什么你体积比我大？” 圆柱嘲笑圆锥瘦。二者吵得不可开交，便去找 “九章算术” 评理 。九章算术说：“等底等高时，圆柱体积比圆锥大，但不等底等高就难判断。” 并拿出一个大圆锥和一个小圆柱让它们观察，明显圆锥体积更大。最后算术爷爷教育它们，它们底面都是圆形，侧面都是曲面，应团结友爱，圆柱和圆锥听后羞愧地低下了头。 【考点1】圆锥的认识及特征 掌握圆锥的底面（圆形）、侧面（曲面）、高（顶点到底面圆心的距离，仅有一条）等特征。 易错点：混淆圆锥与圆柱高的数量，误认为圆锥有无数条高；对圆锥侧面展开图（扇形）的理解不清晰，无法关联底面周长与扇形弧长的关系。 ： 如图，以直角三角形的a边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个( )，a是它的( )，b是它的( )。 1．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 2．把一个底面周长是9.42厘米，高是8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 3．量得一个圆锥从顶点到底面圆周的距离是13cm，从顶点到底面圆心的距离是12cm，底面的直径是10cm，这个圆锥的高是( )cm。 【考点2】圆锥的体积计算 运用公式 （ 为底面积， 为高）计算体积。 易错点：忘记乘 ，直接套用圆柱体积公式；已知直径或半径时，未正确计算底面积 。 ： 求下图圆锥体的体积。 1．求出下面圆锥的体积。 2．计算下面各图形的体积。（单位：cm） 3．求组合图形的体积。（单位：cm） 【考点3】圆柱与圆锥体积的关系 理解等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的 ，反之圆柱体积是圆锥的 3 倍。 易错点：忽略“等底等高”前提，直接使用体积倍数关系；已知体积和底（高）的关系，求另一量时逻辑混乱。 ： 等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的( )，圆柱体积是圆锥体积的( )，圆锥体积的公式是( )或( )。 1．一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多18立方米，圆锥的体积是( )立方米。 2．一个圆锥体，底面周长是12.56厘米，高2.4厘米，它的体积是( )立方厘米。与它等底等高的圆柱体积是( )。 3．用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的( )。 【考点4】体积的等积变形（圆柱、圆锥） 物体形状改变但体积不变，如圆锥熔铸成圆柱，利用体积相等列方程求解。 易错点：未统一单位；变形后圆柱或圆锥的底面积、高分析错误，导致等式列错。 ： 一个底面半径是6厘米的铁圆锥完全浸没在底面直径是1.8分米圆柱形容器水中。拿出铁圆锥，水面下降了2厘米。这个铁圆锥的高是多少？ 1．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 2．如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 3．把一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留整厘米） 【考点5】立体图形的切拼（圆锥） 圆锥切割或拼合后的体积、表面积变化分析。 易错点：切割后忽略新增面的面积；拼合时误算重叠部分对体积的影响，或混淆切拼前后的高、底面积关系。 ： 一个底面半径是6厘米的圆锥形木块，把它沿高分成完全相同的两个木块，表面积比原来增加了120平方厘米，原来这个圆锥形木块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 1．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 2．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 3．把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？ 【考点6】组合体的体积（圆柱、圆锥） 将组合体分解为圆柱、圆锥，分别计算体积后求和或求差。 易错点：分解图形时遗漏部分几何体；计算某部分体积时，错用公式（如圆锥漏乘 ）。 ： 学校科技社团小组的同学们在研究陀螺的稳定性，他们用圆柱形的木头和圆锥形的金属制作了一个陀螺（如图），你能帮助他们计算出这个陀螺的体积吗？ 1．航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图），它的上部是圆锥形状的，下部是圆柱形状的。圆柱和圆锥的底面半径都是3厘米，圆锥的高和圆柱的高都是6厘米。火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？ 2．（如下图）圆柱和圆锥黏合而成的，如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米。求原来这个物体的体积是多少立方厘米？ 3．如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 【考点7】不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 利用排水法，借助圆柱或圆锥容器计算不规则物体体积。 易错点：未正确分析水上升（或下降）的体积与不规则物体体积的关系；代入数据时弄错高度、底面积等参数。 ： 一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆锥形铝块浸没在一个圆柱形杯子中（如下图所示），如果把铝块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 1．一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 2．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 3．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水。将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）。这个圆锥形铁块的体积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$