（专项突破篇）第四单元·专项3 比例尺、图形的放大和缩小及用比例解决问题-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册(人教版)

2024-2025学年度六年级数学下册专项突破篇 专项3 比例尺、图形的放大和缩小及用比例解决问题 一、仔细想，认真填。 1．一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是( )。 2．下面是小红家附近的平面示意图。 (1)把这幅图的线段比例尺改写成数值比例尺是( )。 (2)小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了( )米。（测量取整厘米数） (3)小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买书，她沿道路先向西走100米，再向北偏西15°方向走约120米，点( )最有可能是文具店的位置。 3．池黄高铁全长约125千米，如果画在比例尺为1∶2500000的地图上，应画( )厘米。 4．把一张长2dm、宽8cm的长方形图纸按1∶4缩小，得到的新图纸面积是( )cm2。 5．A和B是自行车上的两个齿轮。A转2圈，B转5圈。如果A转了150圈，B转( )圈；如果B转了90圈，A转( )圈。 6．将一个长8厘米，宽4厘米的长方形按4∶1放大后，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 7．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A地到B地的距离是6厘米，则A地到B地的实际距离是( )千米。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 8．比例尺是500∶1的图纸上，1厘米表示实际距离5米。( ) 9．一个零件设计图的比例尺是70∶1，表示把实际距离在设计图上扩大到70倍。( ) 10．图纸上的30厘米表示实际的1厘米，这幅图的比例尺是1∶30。( ) 11．比例尺表示实际距离是图上距离的1000000倍。( ) 12．比例尺100∶1表示图上距离是实际距离的。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 13．升入中学，我们将会学习这样的知识：“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。”在小学，我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，下图中（    ）两个三角形相似。 A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④ 14．公园准备新建一个长350米、宽240米地儿童游乐场，现要将游乐场的平面图画在长4分米、宽3分米的图纸上，选择（    ）比例尺比较合适。 A．1∶100 B．1∶1000 C．1∶10000 D．1000∶1 15．一幅比例尺是1∶10的图纸上画出一种玩具配件平面图的一个角是80度，这个角实际是（    ）度。 A．8 B．10 C．80 D．40 16．将图形按1∶2缩小后的图形是（    ）。 A． B． C． 17．下列说法正确的是（    ）。 A．从8个同样大小的小正方体拼成的大正方体中，任意拿走一个小正方体，表面积不变。 B．如果9a＝7b（a≠0，b≠0），那么与成反比例。 C．把一个长方形按照3∶1放大，形状不变，周长和面积都扩大到原来的3倍。 D．把一根木料锯成3段要6分钟，锯成5段要10分钟。（每段所需时间一样） 四、计算小能手。 18．看图按要求计算。 （1）计算圆柱的表面积和体积。（单位：cm） （2）计算下面图形的体积。（得数保留一位小数，单位：dm） （3）求下面图形的实际面积。 19．把图形按比例放大后得到右边的图形，求未知数。 五、我会操作。 20．按要求完成下面各小题。 （1）上图中，如果一个小正方形的对角线长5米，则点（2，1）东偏北45°方向25米处是点（ ， ）；点（8，7）西偏南45°方向15米处是点（ ， ）。 （2）画出轴对称图形A的另一半。 （3）画出把图B绕O点顺时针旋转90°后的图形。 （4）画出把图C向东平移4格后的图形。 （5）画出把图D按1∶2缩小后的图形。 21．操作。 （1）图中的平行四边形沿高分成了两部分。把其中的三角形向（    ）平移（    ）格，平行四边形就变成了长方形。 （2）把小旗子绕点A顺时针旋转°，画出旋转后的图形。 （3）在梯形的右面按2∶1画出梯形放大后的图形。原来梯形面积是放大后梯形面积的（    ）。 六、解决问题。 22．张叔叔加工一批零件，计划每小时加工25个，6小时完成，实际工作效率提高20%，实际多少小时可以完成？（用比例知识解答） 23．在比例尺为1∶400000的地图上，量得常州到南京的图上距离为34厘米，实际距离是多少千米？一列火车以每小时68千米的速度11时从常州出发，几时到达南京？ 24．一间房子要用方砖铺地，用边长3分米的方砖需要96块。如果改用边长是4分米的方砖，需要多少块？ 25．办公室买进一包白纸，计划每天用30张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天少用5张，实际比计划多用多少天？（用比例解） 26．一栋教学楼的平面图上，量得楼长25厘米，宽10.5厘米，已知比例尺是1∶200，这栋教学楼的实际面积是多少平方米？ 27．小明与同学争论学校旗杆有多高，想到科学课用测量树的影子，计算大树高的方法。他拿来一枝10厘米的铅笔，也做起实验，同时测量出旗杆与笔的影子数据如图，你能帮小明算出旗杆有多高吗？ 28．周末，李叔叔准备自驾去640千米外景点旅游。汽车平均每100千米耗油7.5升，照这样的耗油量，出发时加满了55升汽油，中途不加油能到达景点吗？ 29．《中华人民共和国国旗法》规定：国旗的长与宽的比是3∶2，国旗的通用尺度规定为五种，各界酌情选用。如果实验小学选用的国旗长是288厘米，那么宽应该是多少厘米？（用比例知识解答） 参考答案 1．1∶3000000 分析：观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际30千米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，转化成数值比例尺即可。要注意把30千米转化为以厘米为单位。 详解：1厘米∶30千米＝1厘米∶3000000厘米＝1∶3000000 一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是1∶3000000。 2．(1)1∶10000 (2)400 (3)B 分析：（1）图中的线段比例尺的意义是图上1厘米表示实际的100米，根据1米＝100厘米，把100米化成10000厘米，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，计算得出数值比例尺； （2）首先量出图上虚线的长度是4厘米，然后根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际的路程，最后把单位厘米转化为米； （3）根据地图上的方向：上北下南，左西右东，以及描述的路线，找出文具店的大体位置，从而解决问题。 详解：（1）100米＝10000厘米 1厘米∶10000厘米＝1∶10000 把这幅图的线段比例尺改写成数值比例尺是1∶10000。 （2）量得虚线的长度一共是4厘米 （厘米）＝400（米） 小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了400米。 （3）如图，小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买书，她沿道路先向西走100米，再向北偏西15°方向走约120米，点B最有可能是文具店的位置。 3．5 分析：分析题目，先根据1千米＝100000厘米把125千米换算成以厘米为单位，再根据图上距离＝实际距离×比例尺列式计算即可。 详解：125千米＝12500000厘米 12500000×＝5（厘米） 池黄高铁全长约125千米，如果画在比例尺为1∶2500000的地图上，应画5厘米。 4．10 分析：一个长2dm，宽8cm的长方形按1∶4缩小，就是把这个长方形的长和宽都缩小到原来的，求出缩小后的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出缩小后的图形面积。 详解：2dm＝20cm （20×）×（8×） ＝5×2 ＝10（cm2） 所以，把一张长2dm、宽8cm的长方形图纸按1∶4缩小，得到的新图纸面积是10 cm2。 5． 375 36 分析：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，A转2圈，B转5圈，A和B转的圈数比2∶5是一定的，那么A转的圈数和B转的圈数成正比例，据此解答。 详解：解：设如果A转了150圈，B转x圈。 150∶x＝2∶5 2x＝150×5 2x＝750 x＝750÷2 x＝375 所以，如果A转了150圈，B转375圈。 解：设如果B转了90圈，A转y圈。 y∶90＝2∶5 5y＝90×2 5y＝180 y＝180÷5 y＝36 所以，如果B转了90圈，A转36圈。 6． 96 512 分析：把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。据此确定放大后的长和宽，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，列式计算即可。 详解：8×4＝32（厘米） 4×4＝16（厘米） （32＋16）×2 ＝48×2 ＝96（厘米） 32×16＝512（平方厘米） 周长是96厘米，面积是512平方厘米。 7．180 分析：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，那么实际距离＝图上距离÷比例尺，最后把单位转化为“千米”，据此解答。 详解：6÷ ＝6×3000000 ＝18000000（厘米） 18000000厘米＝180千米 所以，A地到B地的实际距离是180千米。 8．× 分析：已知图纸的比例尺是500∶1，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出图上1厘米表示实际距离多少厘米，再根据进率“1米＝100厘米”换算成以“米”作单位的数，据此判断。 详解：1÷ ＝1× ＝0.002（厘米） 0.002厘米＝0.00002米 比例尺是500∶1的图纸上，1厘米表示实际距离0.00002米。 原题说法错误。 故答案为：× 9．√ 分析：根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”可得：一个零件设计图的比例尺是70∶1，它表示图上距离是实际距离的70倍，据此解答即可。 详解：一个零件设计图的比例尺是70：1，它表示图上距离是实际距离的70倍。 故答案为：√ 10．× 分析：图上距离∶实际距离＝比例尺，据此写出图上距离与实际距离的比，化简即可。 详解：30厘米∶1厘米＝30∶1 图纸上的30厘米表示实际的1厘米，这幅图的比例尺是30∶1，所以原题说法错误。 故答案为：× 11．√ 分析：观察线段比例尺可知，图上1厘米表示10千米，统一单位后，用实际距离÷图上距离即可。 详解：10千米＝1000000厘米 1000000÷1＝1000000 比例尺表示实际距离是图上距离的1000000倍，说法正确。 故答案为：√ 12．× 分析：图上距离与实际距离的比叫比例尺，因此比例尺的前项表示图上距离，后项表示实际距离，据此分析。 详解：比例尺100∶1表示图上距离是实际距离的100倍，所以原题说法错误。 故答案为：× 13．C 分析：把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1；把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。 详解：①和④ 高：2∶4＝1∶2；底：1∶2，所以①和④两个三角形相似。 升入中学，我们将会学习这样的知识：“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。”在小学，我们可以看作是“图形的放大和缩小”。根据你的理解，①和④两个三角形相似。 故答案为：C 14．B 分析：根据图上距离＝实际距离×比例尺，分别求出儿童游乐园长和宽在各选项中的图上距离，再和图纸的长和宽大小比较，即可解答。 详解：350米＝3500分米；240米＝2400分米 A．3500×＝35（分米） 2400×＝24（分米） 35分米＞4分米；24分米＞3分米；1∶100不合适。 B．3500×＝3.5（分米） 2400×＝2.4（分米） 3.5分米＜4分米；2.4分米＜3分米；1∶1000合适。 C．3500×＝0.35（分米） 2400×＝0.24（分米） 0.35分米＜4分米；0.24＜3分米，小得多，1∶10000不合适。 D．1000∶1是放大的比例尺，不合适。 公园准备新建一个长350米、宽240米地儿童游乐场，现要将游乐场的平面图画在长4分米、宽3分米的图纸上，选择1∶1000比例尺比较合适。 故答案为：B 15．C 分析：图上距离与实际距离的比是比例尺，因此比例尺是指长度尺寸按比例放大或缩小，不能改变角度。 详解：一幅比例尺是1∶10的图纸上画出一种玩具配件平面图的一个角是80度，角的大小与边的长度无关，只与两边叉开的程度有关，所以角度是不会变的，这个角实际是80度。 故答案为：C 16．C 分析：放大或缩小图形，只改变图形的大小，不改变图形的形状。 原图形的圆的半径是2格，按1∶2缩小后的圆的半径应该是1格；据此解答。 详解：A．图形不是圆，形状发生变化，不是原图形按1∶2缩小后的图形； B．图形不是圆，形状发生变化，不是原图形按1∶2缩小后的图形； C．图形是圆，半径是1格，形状不变，是原图形按1∶2缩小后的图形。 故答案为：C 17．A 分析：将几个正方体拼成一个长方体或者正方体，将角落的正方体拿掉，拼成的长方体的表面积不变。 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 将一个图形按照n∶1放大，对应的边和对应的周长都扩大到原来的n倍，面积扩大到原来的n2倍。 锯成3段要6分钟，则锯一次就是3分钟。锯成5段需要4次，根据锯木头的时间＝锯的次数×每次花的时间可知，需要12分钟。 详解：A．8个同样大小的小正方体拼成的大正方体中，将八个顶点的小正方体拿掉表面积不变。故选项正确。 B．根据比例的基本性质：内项积＝外项积。a∶b＝7∶9＝，则a和b的比值是一个定值，则a与b成正比例。故选项错误。 C．一个长方形按照3∶1放大，形状不变，周长扩大原来的3倍，面积扩大原来的9倍。故选项错误。 D．将一根木头锯成3段需要2次，为6分钟，锯一次就是3分钟。锯成5段需要4次，需要12分钟。故选项错误。 故答案为：A 18．（1）401.92cm2；602.88cm3 （2）468.9dm3 （3）80m2 分析：（1）圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh；圆柱的体积V＝πr2h； （2）分别求出圆柱和圆锥的体积，让圆柱体积减去圆锥体积即可解答。 （3）根据比例尺的意义，求出实际距离，在根据三角形面积公式S＝底×高÷2，即可求得。 详解：（1）3.14×42×2＋3.14×4×2×12 ＝100.48＋301.44 ＝401.92（cm2） 3.14×42×12＝602.88（cm3）。 （2）8÷2＝4（dm） 3.14×42×12－×3.14×42×8 ＝602.88－×401.92 ≈468.9（dm3） （3）5÷＝1000（cm）＝10（m）8÷＝1600（cm）＝16（m） 10×16÷2＝80（m2） 点睛：本题为综合试题，考查了圆柱的表面积和体积，以及圆锥体积的求法，最后考查了比例尺在生活中的实际应用，牢记公式，认真计算。 19． 分析：根据可知：，据此关系式列出比例，再根据比例的基本性质解比例求出未知数x的值。 详解： 解： 20．（1）（7，6）；（5，4） （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 （5）见详解 分析：（1）用数对表示点时，第一个数是列，第二个数是行。以点（2，1）的正东方向为一条边向北作一个45°的角，画出这个角的另一条边，25米是小正方形的对角线长度的5倍，最后再写出新点的数对。同样的做法作出点（8，7）对应的新点； （2）根据轴对称图形两边的点互相对称，两个对称点到对称轴的距离相等的特点，找到图A右边的对称点，然后依次连线画出图形； （3）把图B上的关键点对准旋转中心按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的对应点，再把各个对应点依次连线画出图形； （4）平移后图形的画法，第一步确定平移方向，第二步数移动的格数，第三步将平移后的各点连线，据此画出图C平移后的图形； （5）图D是半径等于两个小正方形边长的圆，按1∶2缩小后的图是半径等于一个小正方形边长的圆，据此作图。 详解：（1）25÷5＝5，15÷5＝3 点（2，1）东偏北45°方向25米处是点（7，6）；点（8，7）西偏南45°方向15米处是点（5，4）； （2）如图A'； （3）如图B'； （4）如图C'； （5）如图D'。 21．（1）右；4 （2）见详解 （3）作图见详解； 分析：（1）根据平行四边形面积公式推导过程，平行四边形沿高分成两部分，通过平移可以拼成一个长方形，确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。 （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （3）根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别计算出放大前后的面积，将放大后的面积看作单位“1”，原来面积÷放大后梯形的面积＝原来梯形面积是放大后梯形面积的几分之几或百分之几。 详解：（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分。把其中的三角形向右平移4格，平行四边形就变成了长方形。 （2）作图如下： （3）（1＋3）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝4 （2＋6）×4÷2 ＝8×4÷2 ＝16 4÷16＝＝ 原来梯形面积是放大后梯形面积的或25%。 22．5小时 分析：已知计划每小时加工25个，实际工作效率提高20%，把计划工作效率看作单位“1”，则实际工作效率是计划的（1＋20%），单位“1”已知，用计划工作效率乘（1＋20%），即是实际工作效率； 根据题意可知，加工这批零件的工作总量不变，即工作效率×工作时间＝工作总量（一定），乘积一定，则工作效率与工作时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 详解：解：实际x小时可以完成。 25×（1＋20%）×x＝25×6 25×1.2×x＝150 30x＝150 x＝150÷30 x＝5 答：实际5小时可以完成。 23．136千米；1时或13时 分析：根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出常州到南京的实际距离；根据路程÷速度＝时间，求出所用时间，再加上11时即可。 详解：34÷ ＝34×400000 ＝13600000（厘米） 13600000厘米＝136千米 136÷68＝2（小时） 11时＋2时＝13时 13时即下午1时 答：下午1时到达（或13时到达）。 24．54块 分析：根据题意可知，房间地面的面积不变，即每块方砖的面积×方砖块数＝房间地面的面积（一定），积一定，则每块方砖的面积与方砖块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 详解：解：设如果改用边长是4分米的方砖，需要块。 （4×4）＝3×3×96 16＝864 ＝864÷16 ＝54 答：如果改用边长是4分米的方砖，需要54块。 25．4天 分析：根据题意可知，这包白纸的总张数不变，即每天用纸的张数×用的天数＝这包白纸的总张数（一定），乘积一定，则每天用纸的张数与用的天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求出实际用的天数；最后用计划用的天数减去实际用的天数，即是实际比计划多用的天数。 详解：解：设实际可以用x天。 （30－5）x＝30×20 25x＝600 x＝600÷25 x＝24 24－20＝4（天） 答：实际比计划多用4天。 26．1050平方米 分析：实际距离＝图上距离÷比例尺，分别求出实际的长和宽，相乘即可求出实际面积；注意单位的统一，1米＝100厘米。 详解：25÷ ＝25×200 ＝5000（厘米） ＝50（米） 10.5÷ ＝10.5×200 ＝2100（厘米） ＝21（米） 50×21＝1050（平方米） 答：这栋教学楼的实际面积是1050平方米。 27．15米 分析：用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，设旗杆有x米高，根据旗杆高度∶旗杆影长＝铅笔长度∶铅笔影长，列出比例解答即可。注意统一单位。 详解：18分米＝180厘米 解：设旗杆有x厘米高。 x∶180＝10∶1.2 1.2x＝180×10 1.2x÷1.2＝1800÷1.2 x＝1500 1500厘米＝15米 答：旗杆有15厘米高。 28．能 分析：根据题意可知，耗油量∶行驶的路程＝行驶1千米的耗油量（一定），比值一定，那么耗油量和行驶的路程成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解；最后用行驶全程需要的耗油量与55升进行比较，得出结论。 详解：解：设行驶640千米耗油升。 ∶640＝7.5∶100 100＝640×7.5 100＝4800 ＝4800÷100 ＝48 48＜55 答：中途不加油能到达景点。 29．192厘米 分析：设宽应该是x厘米，根据题意，国旗的长与宽的比是3∶2，列比例：288∶x＝3∶2，解比例，即可解答。 详解：解：设宽应该是x厘米。 288∶x＝3∶2 3x＝288×2 3x＝576 x＝576÷3 x＝192 答：宽应该是192厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$