2025年九年级中考数学一轮复习考点梳理课件：特殊平行四边形

特殊平行四边形 课前热身 考点一　矩形 1． 有一个角是 　直角　 的平行四边形叫做矩形.  2． 矩形的 　四　 个角都是直角.  3． 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴. 4． 有 　三　 个角是直角的四边形是矩形.  5． 对角线相等的 　平行四边形　 是矩形.  直角 四 三 平行四边形 考点二　菱形 1． 一组 　邻边　 相等的平行四边形叫做菱形.  2． 菱形的 　四　 条边都相等.  3． 菱形的 　对角线　 互相垂直，并且每条对角线平分 　一组对角　 .  4． 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴. 5． 四条边相等的四边形是 　菱形　 .  6． 对角线 　互相垂直　 的平行四边形是菱形.  邻边 四 对角线 一组对角 菱形 互相垂直 考点三　矩形和菱形共有的性质 1． 矩形和菱形画出两条对角线后，都会出现4个等腰三角形和4个直角三角形. 2． 矩形和菱形常常转化为等腰三角形或直角三角形来解决. 考点四　正方形 1． 有一组 　邻边　 相等，并且有一个角是 　直角　 的平行四边形叫做正方形.  2． 正方形的对角线 等且互相垂直平分　 ，每条对角线平分一组 　 .正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴.  3． 有一组邻边相等的 　矩形　 是正方形.  4． 有一个角是直角的 　菱形　 是正方形.  邻边 直角 相等且互相垂直平分 对角 矩形 菱形 1． 菱形具有而矩形不具有的性质是(　A　) A． 四边相等 B． 对角线相等 C． 对角相等 D． 邻角互补 A 2． 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是AC的中点，则DE长为(　C　) A． 1 B． C． D． 2 第2题图 C 3． (2023湘潭)如图，在菱形ABCD中，连结AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　C　) A． 20° B． 60° C． 70° D． 80° 第3题图 C 4． 如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连结AE，CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为(　C　) A． 10° B． 15° C． 20° D． 30° 第4题图 C 5． 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(　B　) A． 当AD＝CD时，它是菱形 B． 当AC＝BD时，它是正方形 C． 当∠BCD＝90°时，它是矩形 D． 当BD⊥AC时，它是菱形 第5题图 B 分类达标 ◆达标一　特殊平行四边形基本题 例1　(2024泸州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是(　D　) A． ∠A＝90° B． ∠B＝∠C C． AC＝BD D． AC⊥BD D 变式1　如图所示，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是(　D　) 变式1图 D A． AC＝BD B． AC⊥BD C． AB＝DC D． AB⊥DC 例2　(2024通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是(　D　) 例2图 A． ∠BAC＝∠BCA B． ∠ABD＝∠CBD C． OA2＋OB2＝AD2 D． AD2＋OA2＝OD2 D 变式2　如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO＝CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是 　AB＝AD(答案不唯一)　 .  变式2图 AB＝AD(答案不唯一) 例3　在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是(　A　) 变式3图 A． AB＝BC B． AB＝CD C． AC＝BD D． ∠D＝90° A 变式3　(2024黑龙江)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 　AC＝BD(答案不唯一)　 ，使得菱形ABCD为正方形.  AC＝BD(答案不唯一) ◆达标二　矩形创新题 例4　如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连结EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连结GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为(　C　) C A． C． D． 2 例4图 变式4　(2023台州)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　2 　 .  变式4图 2 ◆达标三　菱形创新题 例5　(2023嘉兴)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF. (1)求证:AE＝AF； 证明:∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°. 在△ABE与△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AE＝AF. (2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数. 解:∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°. 变式5　(2023十堰)如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝ 　6　 .  6 ◆达标四　正方形创新题 例6　(2024天津)如图，正方形ABCD的边长为3 ，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连结DE. 例6图 (1)线段AE的长为 　2　 ；  (2)若F为DE的中点，则线段AF的长为 　 　 .  2 变式6　(2021泸州)如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 　 　 .  变式6图 当堂巩固 1． 菱形与矩形都具有的性质是(　C　) A． 四条边都相等 B． 对角线互相垂直 C． 对角线互相平分 D． 对角线相等 C 2． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥CD于点E. 若AC＝6，BD＝8，则OE的长为(　A　) A． C． 6 D． 8 A 3． 如图，矩形ABCD中，连结AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连结DE. 若∠E＝70°，则∠ACB的度数是(　A　) A． 40° B． 45° C． 50° D． 60° A 4． (2023临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　24　 .  5． (2024上海)在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝ 　57　 °.  6． 如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为对角线AC上任意一点，作PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是点E，F，则PE＋PF＝ 　1　 .  第6题图 24 57 1 7． 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝4，OC＝3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点A1的坐标为 　(，3)　 .  第7题图 (，3) 8． 如图所示，点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是线段AO上一点.若AB＝1，∠BED＝135°，则AE的长为 　 －1　 .  －1 9． (2024广西)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　8 　 cm.  8 10． (2023怀化)如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F. (1)求证:△BOF≌△DOE； 证明:∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO. ∵点O是BD的中点，∴DO＝BO. 又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE(ASA). (2)连结BE，DF，求证:四边形EBFD是菱形. 证明:∵△BOF≌△DOE，∴BF＝DE. ∵四边形ABCD是矩形， ∴DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形. ∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形. $$