2025年九年级中考数学一轮复习考点梳理课件：锐角三角函数

锐角三角函数 课前热身 考点一　三角函数的概念 1． 锐角α的正弦、余弦和正切统称∠α的三角函数. 2． 锐角三角函数值与边的长短无关，只与锐角的大小有关. 3． 如果∠A是Rt△ABC的一个锐角，那么有 sin A＝ ， cos A＝ ，tanA＝ . 考点二　特殊角的三角函数值 1． sin 30°＝ 　 　 ， cos 30°＝ 　 　 ，tan30°＝ 　 　 .  2． sin 45°＝ 　 　 ， cos 45°＝ 　 　 ，tan45°＝ 　1　 .  3． sin 60°＝ 　 　 ， cos 60°＝ 　 　 ，tan60°＝ 　 　 .  4． tan15°＝ 　2－ 　，tan22.5°＝ 　 －1　 .  1 2－ －1 考点三　三角函数之间的关系 1． 如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，则 sin B＝ 　 　 (填边之比)＝ cos  C　 ， cos B＝ 　 　 (填边之比)＝ sin  C　 ， ＝ 　 　 (填边之比)＝tan  C　 .  2． 当α＋β＝90°时， sin α＝ cos β， ＝tanβ. 3． sin 2α＋ cos 2α＝1. C C C 考点四　三角函数增减性 1． 当∠A为锐角时，0＜ sin A＜1， sin A随着∠A度数的增大而 　 ；0＜ cos A＜1， cos A随着∠A度数的增大而 　减小　 ；tanA＞0，tanA随着∠A度数的增大而 　增大　 .  2． 若0°＜α＜β＜90°，则 sin α 　＜　 sin β， cos α 　＞　 cos β，tanα 　＜　 tanβ.  增大 减小 增大 ＜ ＞ ＜ 考点五　特殊三角形三边的比例关系 1． 如果直角三角形中有一个角等于30°，那么三边之比(由小到大)＝ 　1∶ ∶2　 .  2． 等腰直角三角形的三边之比(由小到大)＝ 　1∶1∶ 　 .  3． 顶角为120°的等腰三角形的三边之比(由小到大)＝ 　1∶1∶ 　 .  1∶ ∶2 1∶1∶ 1∶1∶ 1． cos 60°的值是(　A　) A． B． 1 C． 　 2． 已知∠α为锐角，且 sin α＝ ，则∠α的度数为(　A　) A． 30° B． 45° C． 60° D． 90° A A 3． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则tanB＝(　D　) A． C． D 4． 如图所示，格点△ABC放置在5×4的正方形网格中，则 sin ∠ABC的值为(　D　) A． C． D 5． 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ， cos B＝ ，则AB＝ 　6　 .  6 分类达标 ◆达标一　锐角三角函数的概念 例1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列选项正确的是(　D　) A． sin A＝ B． cos B＝ C． tanA＝ D． tanB＝ D 变式1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则 cos A的值是(　D　) A． B． 2 C． 　 D . 变式2　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15， sin B＝ ，则BC等于(　B　) A． 25 B． 12 C． 9 D． 16 B ◆达标二　三角函数的基础计算 例2　(2024内蒙古)计算:－ ＋tan60°＋| －2|＋(π－2024)0. 解:原式＝－(－8)＋ ＋2－ ＋1＝11. 变式3　(2024北京)计算:(π－5)0＋ －2 sin 30°＋|－ |. 解:原式＝1＋2 －2× ＝3 . 变式4　计算:2 sin 30°＋tan45°＋ cos 230°－ sin 245°. 解:原式＝2× ＋1＋ ＝1＋1＋ . ◆达标三　三角函数求值 例3　在Rt△ABC中，∠C＝90°， cos A＝ ，则tanB的值为(　B　) A． C． B 变式5　如图所示，在菱形ABCD中，AB＝10，DE⊥AB于点E， cos A＝ ，则tan∠BDE的值是(　A　) A． B． 2 C． 　 A . 变式6　在△ABC中，∠A，∠B为锐角，满足|tanB－ |＋(2 sin A－ )2＝0，则∠C等于(　A　) A． 105° B． 75° C． 60° D． 45° A ◆达标四　分类讨论 例4　在Rt△ABC中，若2AB＝AC，则 cos C＝ 　 或 　 .  变式7　在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，则tanB＝ 　 或 　 .  变式8　若等腰三角形的腰长为5，一条腰上高为3，则底角的正切值为 　3或 　 .  或 或 3 或 例5　如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格图中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是(　B　) A． C． 2 D． B ◆达标五　网格中的三角函数 变式9　如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么 sin ∠BAC的值为(　C　) 变式9图 A． C． C 变式10　如图所示，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上.若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为(　B　) 变式10图 A． C． D． 2 B ◆达标六　三角函数新定义题 例6　我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝ ，容易知道，一个角的大小与这个角的正对值是相互唯一确定的.根据上述角的正对的定义，解下列问题: (1)sad60°＝ 　　　　，sad120°＝ 　　　　；  解:当顶角为60°时，则三角形为等边三角形，∴sad60°＝1；当顶角为120°时，作底边上的高AD交BC于点D，如图1，∴∠B＝∠C＝ ＝30°.设AD＝a，则AB＝2a，BD＝ a，∴BC＝2BD＝2 a，∴sad120°＝ .故填1， . 图1 图1 (2)如图2所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知 sin A＝ ，试求sadA的值. 解:如图2，延长AC至点D，使AD＝AB， ∵∠ACB＝90°，∴ sin A＝ .设BC＝3x，AB＝5x，则AC＝4x，∴DC＝5x－4x＝x.在Rt△BDC中，BD＝ x，∴sadA＝ . 图2 当堂巩固 变式11　规定: sin (x＋y)＝ sin x· cos y＋ cos x· sin y，则 sin 75°的值为 　 　 .  1． 在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°， cos C的值是(　C　) A． C． C 2． 已知∠A是锐角， sin A＝ ，则tanA的值是(　B　) A． C． B 3． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan∠DCB的值是(　D　) A． C． D 4． 在△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ，BC＝6，则AC的长为 　2 　 .  5． 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA－ |＋ ＝0，则△ABC是 　等边　 三角形.  2 等边 6． (2024浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. (1)求BC的长； 解:∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝ ＝8. ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. (2)求 sin ∠DAE的值. 解:∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝ BC＝7， ∴DE＝CE－CD＝7－6＝1. ∵AD⊥BC， ∴AE＝ ， ∴ sin ∠DAE＝ . $$