2025年中考数学一轮复习考点梳理课件：解直角三角形

　解直角三角形 课前热身 考点一　解直角三角形 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出其他的边和角的过程叫做解直角三角形. 考点二　解直角三角形的类型 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1) 已知c，a，则b＝ 　 　 ， sin A＝ 　 　， cos B＝ 　​ 　 .  (2) 已知a，b，则c＝ 　 　 ，tanA＝ 　 　 ，tanB＝ 　 　 .  ​ (3) 已知c，∠A，则∠B＝ 　90°－∠A　 ，a＝ 　c sin A　 ， b＝ 　c cos A　 .  (4)已知a，∠A，则∠B＝ 　90°－∠A　 ，b＝ 　 　 ， c＝ 　 　 .  90°－∠A c sin A c cos A 90°－∠A 考点三　解直角三角形的有关概念 1． 如图所示，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度(也称坡比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫做坡角，i＝ 　 　 ＝ 　tanα　 ，坡度越大，夹角α 　越大　 ，坡面越陡.  第1题图 tanα 越大 2． 如图所示，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角α叫做 　仰角　 ，视线在水平线下方的角β叫做 　俯角　 .  第2题图 仰角 俯角 3． 方向角:如图所示，向北或向南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.OA的方向角是 　北偏西70°　 ，OB的方向角是 　西南方向　 ，OC的方向角是 　南偏东40°　 .  北偏西70° 西南 方向 南偏东40° 1． 如图，为了测量河两岸A，B两点间的距离，在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C，测得AC＝200米，∠ACB＝α，则AB＝(　A　) A． 200·tanα米 B． 200· sin α米 C． 200· cos α米 D． 米 第1题图 A 2． 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，若坡比i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为(　A　) A． 75 m B． 50 m C． 45 m D． 30 m 第2题图 A 3． 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里，那么该渔船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行(　B　) A． 50海里 B． 50 海里 C． 65海里 D． 75海里 第3题图 B 4． 如图所示，一艘轮船在B处测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，轮船沿正西方向航行30海里到达A处后，测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，此时轮船与灯塔的距离是 　30 　 海里.  第4题图 30 5． 如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝(8 ＋8)米，则这棵树CD的高度是 　8 　 米.   8 分类达标 ◆达标一　解直角三角形 例1　如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上的一点，CD＝6， cos ∠ADC＝ ，tanB＝ ，求BD的长. 解:在Rt△ACD中， cos ∠ADC＝ ，CD＝6， ∴AD＝10，AC＝8. 在Rt△ABC中，BC＝ ＝20， ∴BD＝BC－CD＝20－6＝14. 变式1　如图，在△ABC中，AB＝3 ，tan∠ABC＝ ，∠ACB＝45°，则BC的长为(　A　) A． 9 B． 12 C． 6 D． 9 A 变式2　如图，在△ABC中，AB＝10， cos ∠ABC＝ ，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的长为(　C　) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 C ◆达标二　解直角三角形的应用 例2　(2024广州)2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米. (1)求CD的长； 解:如图，由题意，得AC⊥CD，BE∥CD，∴∠BDC＝∠EBD＝36.87°.在Rt△BCD中，BD＝10，∴CD＝BD· cos 36.87°≈10×0.80＝8，∴CD的长约为8米. (2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间. 参考数据: sin 36.87°≈0.60， cos 36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75. 解:在Rt△BCD中，BD＝10，∴BC＝ ＝6.在Rt△ACD中，AD＝17，CD＝8，∴AC＝ ＝15，∴AB＝AC－BC＝15－6＝9.∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2＝4.5秒. 变式3　(2024陕西)如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度.他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α＝45°，AB＝10 m.求山顶C点处的海拔高度.(小明身高忽略不计，参考数据: sin 42°≈0.67， cos 42°≈0.74，tan42°≈0.90) 解:如图，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D， 设CD＝x m，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x.∵AB＝10，∠A＝42°，tan42°＝ ，∴0.9≈ ，解得x＝90.∵小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，∴山顶C点处的海拔高度约为1 600＋90＝1 690 m.答:山顶C点处的海拔高度约为1 690 m. 变式4　(2023绍兴)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮圈直径EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°. (1)求∠GAC的度数； 解:∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°. ∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°－32°＝58°. (2)某运动员准备给篮圈挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能顺利挂上篮网吗?请通过计算说明理由.(参考数据: sin 32°≈0.53， cos 32°≈0.85，tan32°≈0.62) 解:该运动员能挂上篮网，理由如下.如图，延长 OA，ED交于点M，∵OA⊥OB，DE∥OB，∴∠DMA ＝90°.又∵∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝32°.在Rt△ADM中，AM＝AD sin 32°≈0.8×0.53＝0.424， ∴OM＝OA＋AM＝2.5＋0.424＝2.924＜3， ∴该运动员能挂上篮网. ◆达标三　解直角三角形创新题 例3　已知港口B位于观测点A北偏东45°方向，且其到观测点A正北方向的距离BM的长为10 km.一艘货轮从港口B沿直线航行4 km到达C处，测得C处位于观测点A北偏东75°方向，则此时货轮与观测点A之间的距离AC为 　8 或12 　 km.  8 或12 变式5　如图所示，在△ABC中，AB＝14，AC＝10，点D是BC上一点，点M是BA延长线上一点，已知tan∠CAM＝ ，∠DAB＝45°，则AD的长为 　4 　 .  4 当堂巩固 1． (2023南充)如图，小兵同学从A处出发先向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　B　) A． 米 B． 米 C． x· sin α米 D． x· cos α米 B 2． 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC＝6 m，则坡面AB的长度是(　D　) A． 8 m B． 18 m C． 2 m D． 6 m 第2题图 D 3． (2024雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(　A　) A． 25 米 B． 25 米 C． 25 米 D． 50米 第3题图 A 4． 如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10 m，在B处放置1 m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 　 　 m.(结果保留根号)  第4题图 5． 如图，从楼顶A处看楼下荷塘D处的俯角为60°，看荷塘另一端B处的俯角为30°，点D，C，B在同一直线上，已知楼AC高为24米，则荷塘宽BD为 　16 　 米.(结果保留根号)  第5题图 16 6． (2023武汉)如图，将45°的∠AOB放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B对应的刻度为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C对应的刻度是 　2.7　 cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据 sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75)  2.7 7． (2024甘孜州)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A处有多远?(参考数据: sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75)　z 解:如图，过点P作PC⊥AB于点C， 在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100，∴PC＝AP· sin A＝100× sin 37°≈100×0.6＝60， AC＝AP· cos 37°≈100×0.8＝80.在Rt△PBC中， ∠B＝45°，∴BC＝PC＝60， ∴AB＝AC＋BC＝80＋60＝140.答:B处距离A处有140海里. $$