第1章 整式的乘除 综合素质测试 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第1章 整式的乘除 综合素质测试 考试范围：第1章 整式的乘除；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．计算：m2•m，结果正确的是（　　） A．2m2 B．m3 C．2m3 D．m2 2．下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2） C．（a+b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a6÷a3＝a2 3．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克＝1000毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（　　） A．3.7×10﹣5克 B．3.7×10﹣6克 C．37×10﹣7克 D．3.7×10﹣8克 4．计算（﹣2xy2）3，其中第①步运算的依据是（　　） A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 5．若x2﹣2x﹣m＝（x+n）（x﹣3），则m+n的值为（　　） A．4 B．8 C．﹣4 D．6 6．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 7．我们知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释些代数恒等式，例如图1可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 8．若m＝275，n＝345，则m、n的大小关系正确的是（　　） A．m＞n B．m＜n C．相等 D．大小关系无法确定 9．我们知道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n．设5m＝3，5n＝15，5p＝75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为y﹣15；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣y+5； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x＝15时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③④ B．②④ C．①③ D．①④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．计算（x3y）2的结果等于 　 　． 12．计算：﹣3﹣2+（）0﹣（﹣1）﹣4＝　 　． 13．“先看到闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光的传播速度比声音快．科学家发现，光在空气里的传播速度约为3×108米/秒，而声音在空气里的传播速度大约为3×102米/秒．在空气中光的速度是声速的 　 　倍． 14．设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a*b＝0，则a＝0或b＝0；②不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④若a*b＝8，则（10ab3）÷（5b2）＝4．其中正确的是　 　．（填写序号） 15．若（x﹣3）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，则a+b的值为　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）计算． （1）82022×（﹣0.125）2023； （2）12342﹣1234×268+1342； （3）． 17．（8分）计算： （1）3a2•2a4+（3a3）2﹣14a6； （2）2x（x﹣3y）﹣（5xy2﹣2x2y）÷y． 18．（9分）已知关于x的二次三项式A满足A﹣（x﹣1）（x+1）＝（x+1）2． （1）求整式A； （2）若B＝3x2+4x+2，当x时，求B﹣A的值． 19．（9分）位于太原市三给片区的天美杉杉超级奥特莱斯是一座集现代化商业、中式文化与绿色园林三位一体的大型综合商业体，值得期待的是将于2023年9月开始正式营业．如图，在园区内有一块长为（a+4b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，现规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为（a﹣b）米的正方形． （1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； （2）若a＝3，b＝2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 20．（9分）用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式（a+b）2，a2+b2，2ab之间的数量关系：　 　． （2）根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知m+n＝5，mn＝4，求m2+n2的值． ②已知（x﹣98）2+（100﹣x）2＝34，求（x﹣98）（100﹣x）的值． 21．（10分）观察下列各式： （x﹣1）÷（x﹣1）＝1； （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1； （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1； （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1； （1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝　 　； （2）利用（1）的结论求22023+22022+…+2+1的值； （3）若1+x+x2+…+x2023＝0，求x2024的值． 22．（10分）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　，D（16）＝　 　． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 23．（11分）在学习多项式乘以多项式时，我们知道（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为x•2x•3x＝3x3，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：5×（﹣6）+4×2×（﹣6）+4×5×3＝﹣3，即一次项为﹣3x． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： （1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数； （2）如果计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式不含一次项，求a的值． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：m2•m＝m3． 选：B． 2．解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，不符合题意； B、a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），计算正确，符合题意； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，计算不正确，不符合题意； D、a6÷a3＝a3，计算不正确，不符合题意． 选：B． 3．解：0.000037毫克＝0.000000037克 0.000000037＝3.7×10﹣8， 选：D． 4．解：（﹣2xy2）3＝（﹣2）3x3（y2）3， 其运算依据是积的乘方法则， 选：C． 5．解：已知等式整理得：x2﹣2x﹣m＝（x+n）（x﹣3）＝x2+（n﹣3）x﹣3n， 可得n﹣3＝﹣2，﹣3n＝﹣m， 解得：m＝3，n＝1， 则m+n＝3+1＝4． 选：A． 6．解：根据已知得，8×2a＝28b， 即2a+3＝28b， ∴a+3＝8b． 选：A． 7．解： 空白部分的面积：（a﹣b）2， 还可以表示为：a2﹣2ab+b2， ∴此等式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 选：D． 8．解：∵m＝275＝（25）15＝3215， n＝345＝（33）15＝2715， 又∵32＞27， ∴3215＞2715， 即m＞n． 选：A． 9．解：∵5m＝3， ∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m， ∴n＝1+m， ∵5p＝75＝52×3＝52+m， ∴p＝2+m， ∴p＝n+1， ①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，此结论正确； ②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，此结论错误； ③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m） ＝1+m2+2m﹣2m﹣m2 ＝1，此结论正确； 正确的是：①③． 选：B． 10．解：①∵大长方形的长为y cm，小长方形的宽为5cm， ∴小长方形的长为y﹣3×5＝（y﹣15）cm，说法①正确； ②∵大长方形的宽为x cm，小长方形的长为（y﹣15）cm，小长方形的宽为5cm， ∴阴影A的较短边为x﹣2×5＝（x﹣10）cm，阴影B的较短边为x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x﹣10+x﹣y+15＝（2x+5﹣y）cm，说法②错误； ③∵阴影A的较长边为（y﹣15）cm，较短边为（x﹣10）cm，阴影B的较长边为3×5＝15cm，较短边为（x﹣y+15）cm， ∴阴影A的周长为2（y﹣15+x﹣10）＝2（x+y﹣25），阴影B的周长为2（15+x﹣y+15）＝2（x﹣y+30）， ∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y﹣25）+2（x﹣y+30）＝2（2x+5）， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ④∵阴影A的较长边为（y﹣15）cm，较短边为（x﹣10）cm，阴影B的较长边为3×5＝15cm，较短边为（x﹣y+15）cm， ∴阴影A的面积为（y﹣15）（x﹣10）＝（xy﹣15x﹣10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x﹣y+15）＝（15x﹣15y+225）cm2， ∴阴影A和阴影B的面积之和为xy﹣15x﹣10y+150+15x﹣15y+225＝（xy﹣25y+375）cm2， 当x＝15时，xy﹣25y+375＝（375﹣10y）cm2，说法④错误． 综上所述，正确的说法有①③． 选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：原式＝（x3）2•y2 ＝x6y2， 答案为：x6y2． 12．解：原式1﹣1． 答案为：， 13．解：3×108米/秒÷3×102米/秒＝106， 答案为：106 14．解：根据题中的新定义得： ①若a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝0，则a＝0或b＝0，符合题意； ②若满足a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝a2+4b2，即a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝0， 则当a＝2b时，a*b＝a2+4b2，不符合题意； ③a*（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4a（b+c）＝4ab+4ac， a*b+a*c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac， 则a*（b+c）＝a*b+a*c，符合题意； ④若a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝8，即ab＝2， 则（10ab3）÷（5b2）＝2ab＝4，符合题意． 其中正确的是①③④． 答案为：①③④． 15．解：原式＝x3+ax2+bx﹣3x2﹣3ax﹣3b ＝x3+（a﹣3）x2+（b﹣3a）x﹣3b， 由积中不含x的二次项和一次项， 得到a﹣3＝0，b﹣3a＝0， 解得：a＝3，b＝9， 则a+b＝3+9＝12． 答案为：12． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：（1）82022×（﹣0.125）2023 ＝82022×（﹣0.125）2022×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×8）2022×（﹣0.125） ＝（﹣1）2022×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125； （2）12342﹣1234×268+1342 ＝12342﹣2×1234×134+1342 ＝（1234﹣134）2 ＝11002 ＝1210000； （3） ＝（100）×（﹣100） ＝（）2﹣1002 10000 ． 17．解：（1）原式＝6a6+9a6﹣14a6 ＝a6； （2）原式＝2x2﹣6xy﹣5xy+2x2 ＝4x2﹣11xy． 18．解：（1）∵A﹣（x﹣1）（x+1）＝（x+1）2， ∴A＝（x+1）2+（x﹣1）（x+1） ＝x2+2x+1+x2﹣1 ＝2x2+2x； （2）∵B＝3x2+4x+2，A＝2x2+2x， ∴B﹣A＝3x2+4x+2﹣（2x2+2x） ＝3x2+4x+2﹣2x2﹣2x ＝x2+2x+2 当x时， B﹣A＝（）2+2×（）+2 1+2 ． 19．解：（1）由题意得， 阴影部分的面积为（a+4b）（a+b）﹣（a﹣b）2 ＝a2+5ab+4b2，﹣a2+2ab﹣b2 ＝（7ab+3b2）平方米， （2）当a＝3，b＝2时，7ab+3b2＝7×3×2+3×22＝54（平方米）， 所需费用为100×54＝5400（元）， 答：完成绿化共需要5400元． 20．解：（1）根据图形面积可知，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）①根据题意可知， m2+n2＝（m+n）2﹣2mn ＝25﹣2×4 ＝17； ②∵x﹣98+100﹣x＝2，（x﹣98）2+（100﹣x）2＝34， ∴原式＝（x﹣98）2+（100﹣x）2+2（x﹣98）（100﹣x） ＝34+2（x﹣98）（100﹣x）， 即4＝34+2（x﹣98）（100﹣x）， 解得：（x﹣98）（100﹣x）＝﹣15． 21．解：（1）根据题意得：结果的规律：按x进行降幂排列，各项系数为1，最高次项的次数为等式前面的最高次数减1， ∴（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+•••+x+1， 答案为：xn+xn﹣1+•••+x+1； （2）22023+22022+•••+2+1＝（22024﹣1）÷（2﹣1）＝22024﹣1 （3）由1+x+x2+•••+x2023＝0可得， （x2024﹣1）÷（x﹣1）＝0， ∴x2024﹣1＝0，且x﹣1≠0， ∴x2024＝1． 22．解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 23．解：（1）（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为： 1×1×（﹣3）+2×3×（﹣3）+2×1×5 ＝﹣3﹣18+10 ＝﹣11； （2）（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式一次项系数为： 1×a×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×a×2 ＝﹣a+3+2a ＝a+3， ∵多项式不含一次项， ∴a+3＝0， 解得：a＝﹣3． 第2页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$