2025年中考数学一轮复习考点梳理课件：一次函数的图象与性质

一次函数的图象与性质 课前热身 考点一　函数有关的概念 1． 在一个过程中，固定 　不变　 的量称为常量，可以取 　不同　 数值的量称为变量.  2． 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 3． 　解析法　 、 　列表法　 和 　图象法　 是函数的三种常用表示方法.  不变 不同 解析法 列表法 图象法 考点二　一次函数与正比例函数的概念 一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数.当b＝0时，一次函数y＝kx＋b变为y＝kx(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数，常数k叫做比例系数. 考点三　一次函数的图象 1． 把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有点组成的图形叫做这个函数的图象. 2． 描点法画函数图象的一般步骤: (1) 　列表　 .(2) 　描点　 .(3) 　连线　 .  列表 描点 连线 考点四　一次函数的性质 函数 常数取值 大致图象 经过的象限 y＝kx＋b (k≠0) k＞0，b＞0 一、二、三 y＝kx＋b (k≠0) k＞0，b＜0 一、三、四 一、二、三 一、三、四 考点四　一次函数的性质 函数 常数取值 大致图象 经过的象限 y＝kx＋b (k≠0) k＜0，b＞0 一、二、四 k＜0，b＜0 二、三、四 一、二、四 二、三、四 1． 对于一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小. 2． 一次函数y＝kx＋b的增减性只跟k的取值有关，与b的取值无关. 3． 函数y＝kx＋b的图象与y轴的交点是 　(0，b)　 ，函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点是 　 　 .  4． 两个一次函数图象的交点坐标由两个函数表达式组成的二元一次方程组确定，方程组的解即为两个函数图象交点的坐标. (0，b) 考点五　待定系数法 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式中有两个待定系数k和b，要确定其关系，一般需要两对已知的自变量与函数的对应值，将其分别代入表达式，组成关于k，b的二元一次方程组，求解即可.这种求表达式的方法叫做 　待定系数法　 .  待定系数法 考点六　一次函数与一次方程、一次不等式的关系 1． 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值为0时，相应的自变量的值为方程kx＋b＝0的解. 2． 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值大于(或小于)0时，相应的自变量的值为不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解. 1． 一本笔记本5元，买x本共付y元，则变量是(　D　) A． 5 B． 5和x C． x D． x和y 2． 函数y＝ 中自变量x的取值范围是(　B　) A． x＞－1 B． x≥－1 C． x≠－1 D． x≤－1 D B 3． 已知正比例函数y＝2x的图象经过点(1，m)，则m的值为(　B　) A． B． 2 C． － D． －2 4． (2024山西)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　B　) A． y1＞y2 B． y1＜y2 C． y1＝y2 D． y1≥y2 B B 5． (2022永州)学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动.师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后师生队伍按原路匀速步行45分钟返校.设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是(　A　) A 分类达标 ◆达标一　函数的概念及其图象 例1　(2024凉山州)匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满.在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是(　C　) C 变式1　(2023郴州)第11届中国(湖南)国际矿物宝石博览会在郴州国际会展中心举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间.车修好后，他们继续开车赶往会展中心，如图是他们出发后离家的距离s(m)与时间t的函数图象.分析图中信息，说法正确的是(　D　) D A． 途中修车花了30 min B． 修车之前的平均速度是500 m/min C． 车修好后的平均速度是800 m/min D． 车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍 ◆达标二　一次函数的图象与性质 例2　(2024南充)当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为(　A　) A． －3或0 B． 0或1 C． －5或－3 D． －5或1 A 变式2　(2024通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是(　A　) A A． b1＋b2＞0 B． b1b2＞0 C． k1＋k2＜0 D． k1k2＜0 ◆达标三　一次函数与一次方程、一次不等式的关系 例3　如图所示，已知直线y＝mx过点A(－2，－4)，过点A的直线y＝nx＋b交x轴于点B(－4，0)，则关于x的不等式组nx＋b≤mx＜0的解集为(　D　) 例3图 D A． x≤－2 B． －4＜x≤－2 C． x≥－2 D． －2≤x＜0 变式3　如图，一次函数y＝ax＋2与y＝2x－1的图象相交于点P，则关于x的方程ax＋2＝2x－1的解是(　D　) 变式3图 A． x＝1 B． x＝2 C． x＝3 D． x＝4 D ◆达标四　几何与一次函数组合 例4　如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3 cm，点D为AC边上一点(不与点A，C重合)，以CD为边，在三角形内作矩形CDEF，在三角形外作正方形CDNM，且顶点E，F分别在边AB，BC上，连结CE. 设AD的长为x(cm)，矩形EFMN的面积为y1 (cm2)，△ACE的面积为y2 (cm2). (1)y1与x的函数关系式是 　y1＝－3x＋9　 ，y2与x的函数关系式是 　y2＝ x　 ，自变量x的取值范围是 　0＜x＜3　 ；  y1＝－3x＋9 y2 ＝ x 0＜x＜3 (2)在平面直角坐标系中，画出函数y1和y2的图象； 解:函数y1＝－3x＋9，y2＝ x的图象如图所示: (3)结合画出的函数图象，当矩形EFMN的面积小于△ACE的面积时，x的取值范围是 　2＜x＜3　 .  2＜x＜3 变式4　如图所示，已知直线y＝ x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第二象限. (1) 画出图形； 解:函数图象如图1. 图1 (2) 求点C的坐标； 解:令y＝0，则 x＋1＝0，解得x＝－ ，即A(－ ，0)； 令x＝0，则y＝1，即B(0，1). ∵tan∠BAO＝ ，∴∠BAO＝30°，∠OAC＝90°. ∴点C的横坐标为－ .在Rt△ABO中，AB＝ ＝2. ∴AC＝AB＝2，∴点C的坐标为(－ ，2). (3) 点D在直线y＝－ x－ 上，△ABD和△ABC面积相等，求点D的坐标. 解:如图2，∵S△ABC＝S△ABD，∴点C，D到直线AB的距离相等. ①过点C作l1∥AB. ∴yCD＝ x＋3，联立 解得 ∴ D. ②作点C关于AB的对称点C'， 图2 图2 ∵ ∴ ∴C'(0，－1).过点C'作l2∥AB. ∴y＝ x－1，联立 解得 ∴D' .∴综上可知，点D的坐标为 或 . 图2 当堂巩固 1． 在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是(　B　) A． x≠3 B． x＞3 C． x＜3 D． x≥3 2． (2023乐山)下列各点在函数y＝2x－1图象上的是(　D　) A． (－1，3) B． (0，1) C． (1，－1) D． (2，3) B D 3． (2024新疆)若一次函数y＝kx＋3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是(　D　) A． －2 B． －1 C． 0 D． 1 4． 如图，直线y＝2x＋6与直线y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)相交于点A(m，4)，则关于x的不等式2x＋6＜kx＋b的解集为(　C　) A． x＞－1 B． x＜－2 C． x＜－1 D． x＞－2 D C 5． (2023无锡)请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点(2，0): 　y＝x－2(答案不唯一)　 .  6． (2023苏州)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k2－b2＝ 　－6　 .  y ＝x－2(答案不唯一) －6 (1)若点(2，－3)在一次函数y＝ax－a＋1的图象上，求a的值； 解:把(2，－3)代入y＝ax－a＋1，得 2a－a＋1＝－3，解得a＝－4. (2)当－1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值. 解:∵a＜0时，∴y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，y有最大值2，把x＝－1代入函数关系式，得2＝－a－a＋1，解得a＝－ . 7． 一次函数y＝ax－a＋1(a为常数，且a＜0). $$