2025年中考数学一轮复习考点梳理课件：相似三角形

相似三角形 课前热身 考点一　比例概念及性质 1． 如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数 　成 .通常，我们把a，b，c，d四个实数成比例表示成a∶b＝c∶d，或 ，其中b，c称为 　内项　 ，a，d称为 　外项　 .  2． 比例的基本性质: ⇔ad＝bc(a，b，c，d都不为0). 成比例 内项 外项 3． 如果三个数a，b，c满足比例式 (或a∶b＝b∶c)，那么b叫做a，c的比例中项， ⇔b2＝ac. 4． 一般地，四条线段a，b，c，d中，有 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 5． 黄金分割:如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP＞PB，且 ，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比， 黄金比为 ，即AP＝ AB. 考点二　平行线截线段成比例 定理:两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例. 考点三　相似三角形的概念 对应角 　相等　 ，对应边 　成比例　 的两个三角形，叫做相似三角形.相似三角形的 　对应边　 之比叫做相似比.  相等 成比例 对应边 考点四　相似三角形的判定 1． 平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 　相似　 .  2． 有 　两个　 角对应相等的两个三角形相似.  3． 两边对应成比例，且 　夹角　 相等的两个三角形相似.  4． 　三边　 对应成比例的两个三角形相似.  相似 两个 夹角 三边 考点五　相似三角形的性质及应用 1． 相似三角形的对应角 　相等　 ，对应边 　成比例　 .  2． 相似三角形的周长之比等于 　相似比　 ，相似三角形的面积之比等于 　相似比的平方　 .  3． 三角形的三条 　中线　 的交点，叫做三角形的重心.三角形的重心分每一条中线成 　1∶2　 的两条线段.  4． 相似多边形的周长之比等于 　相似比　 ，相似多边形的面积之比等于 　相似比的平方　 .  相等 成比例 相似比 相似比的平方 中线 1∶2 相似比 相似比的平方 考点六　图形的位似 1． 一般地，如果两个图形满足以下两个条件:所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心.位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比. 2． 当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)， 位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上对应点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky). 1． 已知c是a和b的比例中项，a＝2，b＝18，则c＝(　A　) A． ±6 B． 6 C． 4 D． ±3 2． 已知3x－4y＝0(xy≠0)，那么下列比例式中成立的是(　B　) A． C． A B 3． 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC， ，若AC＝6，则EC＝(　C　) A． C． C 4． 如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是线段AC的中点，点E在线段AB上，且∠ADE＝∠B，则AE＝ 　 　 .  第4题图 5． 如图所示，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，则△ADE与△ABC的周长之比为 　2∶3　 ，面积之比为 　4∶9　 .  第5题图 2∶3 4∶9 分类达标 ◆达标一　比例性质 例1　已知 ≠0，则 的值为(　A　) A． C． D． 1 A 变式1　如果 ，那么 ＝(　D　) A． C． D 变式2　已知xy＝mn≠0，则把它改写成比例式后，正确的是(　A　) A． C． A ◆达标二　平行线截线段成比例 例2　如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF依次交l1，l2，l3于点D，E，F，若AC＝8， ，则AB的长为(　B　) B 例2图 A． 4 B． C． 3 D． 变式3　(2023北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值为 　 　 .  变式3图 变式4　如图所示，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，DE∥AB，且 ＝2，则 的值为(　B　) A． C． 2 D． 3 B ◆达标三　相似三角形的判定 例3　如图所示，网格中相似的两个三角形是(　B　) A． ①与② B． ①与③ C． ③与④ D． ②与③ B 变式5　(2024青海)如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件 　∠A＝∠C(答案不唯一)　 ，使得△AOB∽△COD.   变式5图 ∠A＝∠C(答案不唯一) 变式6　如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有(　B　) 变式6图 B A． 6对 B． 5对 C． 4对 D． 3对 ◆达标四　相似三角形的性质及应用 例4　(2023温州)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H. 当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为(　C　) C A． C． 变式7　(2024河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F. 若AB＝4，则EF的长为(　B　) 变式7图 A． B． 1 C． D． 2 B 例5　(2023武汉)如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点.若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　 　 .  例5图 变式8　如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF与DE相交于点G，则DG：EG＝ 　2∶3　 .  2∶3 当堂巩固 1． (2024重庆)若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是(　D　) A． 1：2 B． 1：4 C． 1：8 D． 1：16 D 2． (2024浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O. 若点A(－3，1)的对应点为A'(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B'的坐标为(　A　) A． (－4，8) B． (8，－4) C． (－8，4) D． (4，－8) 第2题图 A 3． 如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F， ，BF＝8，则DE的长为(　A　) 第3题图 A． C． 2 D． 3 A 4． 如图所示，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(　B　) A． 15 B． 20 C． 25 D． 30 第4题图 B 5． (2023乐山)如图，在平行四边形ABCD中，点E是线段AB上一点，连结AC，DE交于点F. 若 ，则 ＝ 　 　 .  第5题图 6． 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6 cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 　3　 cm.  3 7． (2023邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE. 已知AB＝8，AC＝6，DE＝4. (1)求证:△ABC∽△DEB； 证明:∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°， ∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°， ∴∠C＝∠DBE， ∴△ABC∽△DEB. (2)求线段BD的长. 证明:∵△ABC∽△DEB， ∴ ， ∴ ， ∴BD＝3. $$