2025年九年级中考数学一轮复习考点梳理课件：等腰三角形

　等腰三角形 课前热身 考点一　等腰三角形的概念和性质 1． 有 　两条边　 相等的三角形叫做等腰三角形.  2． 等腰三角形的两个底角 　相等　 (简写为“等边对等角”).  3． 一个等腰三角形的顶角的 　角平分线　 ，底边上的 　中线　 ，底边上的 　高线　 互相重合(简称“三线合一”).  4． 等腰三角形(底和腰不相等)是轴对称图形，有 　1　 条对称轴.  两条边 相等 角平分线 中线 高线 1 考点二　等腰三角形的判定 1． 有两条边相等的三角形为等腰三角形. 2． 如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形(简称在同一个三角形中，等角对等边). 考点三　等边三角形 1． 等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边都相等. (2)等边三角形的每个内角都等于60°. (3)等边三角形是轴对称图形，有 　3　 条对称轴.  2． 等边三角形的判定 (1)三条边相等的三角形叫做等边三角形. (2)三个角相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角等于60°的 　等腰　 三角形是等边三角形.  3 等腰 考点四　线段的垂直平分线 1． 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离 　相等　 .  2． 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 　垂直平分线　 上.  相等 垂直平分线 考点五　角平分线 1． 角平分线上的点到角两边的距离 　相等　 .  2． 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的 　平分线　 上.  相等 平分线 考点六　等腰三角形的分类讨论 1． 已知等腰三角形ABC，则常需要分类讨论，即分以下三种情况: (1)以点A为顶点，BC为底边，两条腰AB＝AC. (2)以点B为顶点，AC为底边，两条腰BA＝BC. (3)以点C为顶点，AB为底边，两条腰CB＝CA. 2． 已知等腰三角形的高，则有以下两种情况: (1) 底边的高:一定在三角形的内部，且是顶角的 　分线　 与底边的 　 .  (2)腰上的高:锐角三角形腰上的高在三角形的内部，钝角三角形腰上的高在三角形的外部，直角三角形腰上的高是三角形的直角边. 平分线 中线 1． 若等腰三角形两边长分别是2和4，则它的第三条边长是(　B　) A． 2 B． 4 C． 2或4 D． 6 B 2． 如图所示，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD＝4，则点P到BA的距离为(　B　) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 第2题图 B 3． 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若∠A＝42°，则∠DCB的度数为(　A　) A． 21° B． 31° C． 42° D． 48° 第3题图 A 4． (2024凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　C　) A． 25 cm B． 45 cm C． 50 cm D． 55 cm 第4题图 C 5． 如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC＝14°，延长AC到点D，使得CD＝CB，连结BD，则∠D的度数为(　C　) A． 48° B． 54° C． 59° D． 62° 第5题图 C 分类达标 ◆达标一　等腰三角形的性质 例1　(2023内蒙古)如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB. 若∠1＝32°，则∠2的度数为(　C　) 例1图 C A． 32° B． 58° C． 74° D． 75° 变式1　已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足(a－3)2＋ ＝0，则此三角形的周长为(　C　) A． 9 B． 12 C． 15 D． 12或15 C 变式2　(2024内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 　100°　 .  变式2图 100° ◆达标二　等腰三角形的判定 例2　如图所示，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B， 求证:△CDE是等腰三角形. 证明:∵∠ADE＋∠CDE＋∠BDC＝180°，∠BCD＋∠B＋∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B，∴∠ADE＝∠BCD. ∵AC＝BC，∴∠A＝∠B. 在△ADE和△BCD中， ∴△ADE≌△BCD(ASA)， ∴DE＝CD，∴△CDE是等腰三角形. 变式3　(2024重庆)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC＝2，则AD的长度为 　2　 .  变式3图 2 变式4　如图所示，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形(AB是其中一腰)，则图中符合条件的格点有(　D　) 变式4图 D A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 ◆达标三　等边三角形的性质与判定 例3　如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵点D为AC的中点，∴AD＝DC. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC. ∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形. 变式5　(2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C所对应的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为 　2　 cm.  变式5图 2 变式6　(2024泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　B　) 变式6图 A． 45° B． 39° C． 29° D． 21° B 当堂巩固 1． 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(　C　) A． 9 B． 7 C． 12 D． 9或12 2． 等腰三角形的一个角等于50°，则它的底角的度数是(　C　) A． 70°或40° B． 65°或70° C． 50°或65° D． 50° C C 3． (2023金昌)如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝(　C　) A． 20° B． 25° C． 30° D． 35° C 4． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是(　B　) A． 24 B． 12 C． 15 D． 10 第4题图 B 5． (2023河北)四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为(　B　) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 第5题图 B 6． (2024绥化)如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE，则∠A＝ 　　 °.  第6题图 66 7． 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若BD＝5，△ABC的周长为38，则△BCE的周长为 　28　 .  第7题图 28 8． 如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E. (1)求证:BE＝DE； 证明:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE. (2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠EDB的度数. 解:∵∠A＝80°，∠C＝40°，∴∠ABC＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝ ∠ABC＝30°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°. 9． 已知△ABC，AB＝AC，点D为直线BC上一点，点E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β. (1) 如图所示，若点D在线段BC上，点E在线段AC上. ①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°， 那么α＝ 　　　　°，β＝ 　　　　°；  解:∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°.∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD＋∠ABD＝20°＋60°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°.故答案为:20，10. ②求α，β之间的关系式； 解:设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠ADE＝y.在△DEC中，y＝β＋x.在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，∴α＝2β. (2) 是否存在不同于②中的α，β之间的关系式，若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由. 解:当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠E＝y.在△ABD中，x＋α＝β－y.在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°. 图1 ②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°－2β. 图2 10． 如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. (1)求证:∠EAD＝∠EDA； 证明:∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED. 在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD(AAS)，∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA. (2)若∠C＝60°，求证:△AED是等边三角形. 证明:∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED， ∴△AED为等边三角形. $$