2025年九年级中考数学一轮复习考点梳理课件：二次函数的实际应用

二次函数的实际应用 课前热身 考点一　用二次函数解决实际问题的一般步骤 1． 理解问题，分析问题中的自变量和因变量，以及它们之间的关系，从而建立函数模型. 2． 用函数表达式表示它们之间的关系. 3． 自变量的取值范围要符合实际情况. 4． 利用二次函数的图象及性质去分析，解决实际问题. 5． 检验结果的合理性. 考点二　二次函数的最值 二次函数解决实际问题中的最值问题时，一般有以下五种情况(其中m≤x≤n): 条件 图象 最值 t＜m 当x＝ 　m　 时，y取最小值； 当x＝ 　n　 时，y取最大值 m n 条件 图象 最值 m≤t≤n 当x＝ 　t　 时，y取最小值； 当x＝ 　m　 时，y取最大值 当x＝ 　t　 时，y取最小值； 当x＝ 　m或n　 时，y取最大值 当x＝ 　t　 时，y取最小值； 当x＝ 　n　 时，y取最大值 t m t m或n t n t＞n 当x＝ 　n　 时，y取最小值； 当x＝ 　m　 时，y取最大值 (a＜0的情况与上述相仿，请读者自行尝试) n m 考点三　函数、方程与不等式 1． 若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有交点，则交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解.若交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 　x＜x1或x＞　 ，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 　x1＜x＜x2　 .  x＜x1或x＞ x2 x1＜x＜x2 2． 若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与直线y＝kx＋m(k，m为常数)有交点，则交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解.若交点坐标为(x1，kx1＋m)，(x2，kx2＋m)，其中x1＜x2，则不等式ax2＋bx＋c＞kx＋m的解集为 　x＜x1或x＞x2　 ，不等式ax2＋bx＋c＜kx＋m的解集为 　x1＜x＜x2　 .  x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2 1． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　C　) A． x＜1 B． x＞－3 C． －3＜x＜1 D． x＜－3或x＞1 C 2． 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的表达式是h＝－5t2＋30t(0≤t≤6)，则小球到达最高高度时，运动的时间是(　C　) A． 1秒 B． 2秒 C． 3秒 D． 4秒 C 3． 如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y＝－ x2，当水面离桥顶的高度为 m时，水面的宽度为(　C　) A． 8 m B． 9 m C． 10 m D． 11 m C 4． 如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线y＝－ (x－5)2＋3.6，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA＝ 　11　 米.  11 5． 如图，王叔叔想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝ 　15　 m时，羊圈的面积最大.  15 分类达标 ◆达标一　二次函数在代数最值问题中的应用 例1　若a≥0，b≥0，且2a＋b＝2，2a2－4b的最小值为m，最大值为n，则m＋n＝(　B　) A． －14 B． －6 C． －8 D． 2 B 变式1　已知y＝2x－8，S＝xy，当－1≤x≤3时，S的最大值为 　10　 .  10 ◆达标二　二次函数在几何最值问题中的应用 例2　如图所示，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm，有两个动点P，Q分别同时从点A，B出发向点C运动，当其中有一个点到达点C时，两个点同时结束运动.若点P的运动速度为1 cm/s，点Q的运动速度为2 cm/s，则整个运动过程中△BPQ面积的最大值为(　C　) C 例2图 A． 3 cm2 B． 2.5 cm2 C． 2.4 cm2 D． 2 cm2 变式2　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.点M沿线段CA从C向A运动，同时，点N从B出发沿BC运动，且BN＝2CM，P是线段MN的中点，运动过程中，CP的最小值为 　 　 .  变式2图 ◆达标三　用二次函数解决抛物线型实际问题 例3　(2023温州)一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线.当足球飞行的水平距离为6 m时，足球达到最高点，此时足球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以点O为原点建立如图所示平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断足球能否射进球门(忽略其他因素)； 解:由题意，得抛物线的顶点坐标为(2，3)，设抛物线为y＝a(x－2)2＋3， 把点A(8，0)代入，得36a＋3＝0，解得a＝－ ∴抛物线的函数表达式为y＝－ (x－2)2＋3. 当x＝0时，y＝ ＞2.44，∴球不能射进球门. (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带足球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处? 解:如图，设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝－ (x－2－m)2＋3， 把点(0，2.25)代入得2.25＝－ (－2－m)2＋3， 解得m1＝－5(舍去)，m2＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门. 变式3　(2024广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m.若实心球落地点为M，则OM＝ 　 　 m.  ◆达标四　二次函数在生产、生活中的应用 例4　(2024遂宁)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7 200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元. (1)求A，B两种客房每间定价分别是多少元? 解:设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元， 根据题意，得 解得 答:A种客房每间定价是200元，B种客房每间定价是120元. (2)酒店对A种客房调研发现:如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元? 解:设A种客房每间定价为m元， 则W＝m ＝－ (m－220)2＋4 840， ∵－ ＜0， ∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4 840. 答:当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4 840元. 变式4　某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现:当销售价格为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价格每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为(　B　) A． 21元 B． 22元 C． 23元 D． 24元 B 当堂巩固 1． 某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售该品牌童装每天获得的利润y(元)与童装的销售价格x(元/件)之间的函数表达式为y＝－x2＋160x－4 800.若想每天获得的利润最大，则销售价格应定为(　D　) A． 110元/件 B． 100元/件 C． 90元/件 D． 80元/件 D 2． 向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第5秒与第10秒时的高度相等，则高度达到最高时为(　C　) A． 第6秒 B． 第7秒 C． 第7.5秒 D． 第8.5秒 C 3． 如图，一位篮球运动员投篮，篮球沿抛物线y＝－0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮圈内，已知篮圈的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮圈中心的水平距离OH是(　D　) A． 1 m B． 2 m C． 3 m D． 4 m D 4． 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝ x2＋6的一部分，则杯口的口径AC长为 　7　 .  7 5． (2024湖北)学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42米，篱笆长80米.设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S平方米. (1)求y与x，S与x的关系式； 解:由题意，得2x＋y＝80， ∴y＝－2x＋80.由0＜－2x＋80≤42，且x＞0， ∴19≤x＜40.由题意，得S＝x(－2x＋80)， ∴S＝－2x2＋80x(19≤x＜40). (2)围成的矩形花圃面积能否为750平方米?若能，求出x的值； 解:由题意，令S＝－2x2＋80x＝750， ∴x＝25或x＝15(舍去). ∴x的值为25. (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值. 解:∵S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800，19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值为800. 答:当x＝20时，围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2. $$