2025年中考数学一轮复习考点梳理课件：二次函数的图象与性质

　二次函数的图象与性质 课前热身 考点一　二次函数 形如y＝ax2＋bx＋c (其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数为 　a　 ，一次项系数为 　b　 ，常数项为 　c　 .  a b c 考点二　二次函数的顶点式 1． 抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)可以由y＝ax2(a≠0)的图象先向右(当m＞0)或向左(当m＜0)平移 个单位，再向上(当k＞0)或向下(当k＜0)平移 个单位.其平移规律是:左加右减，上加下减. 2． 抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的顶点是 　(m，k)　 ，对称轴是直线 　x＝m　 .  (m，k) x＝m 考点三　二次函数的一般式 1． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－ ，顶点坐标是 .当a＞0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a＜0时，抛物线的开口向下，函数有最大值. 2． 若b2－4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；若b2－4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；若b2－4ac＜0，抛物线与x轴没有交点. 3． 若a＞0，当x≤－ 时，y随x的增大而减小；当x≥－ 时，y随x的增大而增大.当x＝－ 时，y达到最小值 . 4． 若a＜0，当x≤－ 时，y随x的增大而增大；当x≥－ 时，y随x的增大而减小.当x＝－ 时，y达到最大值 . 考点四　二次函数的交点式 抛物线y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)与x轴的交点坐标是 　(m，0)　 和 　(n，0)　 ，对称轴是直线 　x＝　 .  (m，0) (n，0) x＝ 考点五　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c的关系 1． a＞0，开口向上；a＜0，开口向下. 2． b＝0，对称轴为直线x＝0；ab＞0，对称轴在y轴左侧；ab＜0，对称轴在y轴右侧.其规律是:同左异右. 3． c＝0，图象经过原点；c＞0，图象与y轴的交点在y轴正半轴；c＜0，图象与y轴的交点在y轴负半轴. 考点六　二次函数表达式的求法 1． 已知图象上三点或三对x，y值，通常选择一般式 　y＝ax2＋bx＋c(a≠0)　 .  2． 已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式 　y＝a(x－m)2＋k(a≠0)　 .  3． 已知图象与x轴的交点坐标，通常选择交点式 　y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)　 .  y＝ax2＋bx＋ c(a≠0) y＝a(x－m)2＋ k(a≠0) y＝a(x－m)(x－ n)(a≠0) 1． 二次函数y＝x2＋2x＋2图象的对称轴是(　A　) A． 直线x＝－1 B． 直线x＝－2 C． 直线x＝1 D． 直线x＝2 2． 二次函数y＝－(x＋1)2＋2图象的顶点所在的象限是(　B　) A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 A B 3． 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为(　B　) A． y＝(x＋3)2＋2 B． y＝(x－1)2＋2 C． y＝(x－1)2＋4 D． y＝(x＋3)2＋4 4． (2023大连)已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(　D　) A． －2 B． －1 C． 0 D． 2 B D 5． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中正确的是(　B　) A． b2＜4ac B． abc＞0 C． 2a－b＜0 D． 4a＋2b＋c＞0 B 分类达标 ◆达标一　抛物线的平移 例1　将抛物线y＝(x－1)2＋5平移后，得到抛物线的表达式为y＝x2＋2x＋3，则平移的方向和距离是(　D　) A． 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B． 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C． 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D． 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 D 变式1　(2024牡丹江)将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝ 　2　 .  2 ◆达标二　求抛物线的顶点坐标 例2　下列二次函数中，其图象的顶点坐标是(2，－1)的是(　C　) A． y＝(x－2)2＋1 B． y＝(x＋2)2＋1 C． y＝(x－2)2－1 D． y＝(x＋2)2－1 C 变式2　抛物线y＝－x2＋2x－5的顶点坐标是(　A　) A． (1，－4) B． (－1，4) C． (－1，－4) D． (1，4) A ◆达标三　抛物线的对称性及增减性 例3　(2024凉山州)抛物线y＝ (x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)， 三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　D　) A． y1＞y2＞y3 B． y2＞y3＞y1 C． y3＞y1＞y2 D． y1＞y3＞y2 D 变式3　已知关于x的二次函数y＝(x＋m)2－3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是(　B　) A． m≤2 B． m≥－2 C． m＜－2 D． m≤－2 B ◆达标四　二次函数的表达式求法 例4　(2024浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－ . (1)求二次函数的表达式； 解:∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－ ，∴ 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3. (2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值； 解:∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度(m＞0)，∴平移后的点为(1－m，9). 将点(1－m，9)代入y＝x2＋x＋3，得9＝(1－m)2＋(1－m)＋3， ∴m＝4或m＝－1(舍去)，∴m＝4. (3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围. 解:y＝x2＋x＋3＝ ， ∵5－ ，∴当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值为5，最小值为 ， 由图象可得，n的取值范围为－ ≤n≤1. 变式4　(2023杭州)设二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b是实数)，已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示: x … －1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若m＝4， ①求二次函数的表达式； 解:根据题意，得 解得 ∴二次函数的表达式是y＝x2－2x＋1. ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小. 解:答案不唯一，如x＜1. (2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围. 解:∵x＝0和x＝2时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝1，即b＝－2a， ∴(1，n)是顶点，(－1，m)和(3，p)关于对称轴对称， ∴m＝p＝a－b＋1＝3a＋1，n＝a＋b＋1＝－a＋1. ∵在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数， ∴n＞0，m＝p≤0， ∴ ∴a≤－ . ◆达标五　二次函数图象的特征与a，b，c的关系 例5　(2024眉山)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论:①bc＜0；②3a＋2c＜0；③ax2＋bx≥a＋b；④若－2＜c＜－1，则－ ＜a＋b＋c＜－ ，其中正确结论的个数为(　C　) C A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 变式5　(2023河南)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过(　D　) A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 D 当堂巩固 1． 将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是(　A　) A． y＝(x－3)2＋4 B． y＝(x＋3)2＋4 C． y＝(x－3)2－4 D． y＝(x＋3)2－4 2． (2023兰州)已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　C　) A． 对称轴为直线x＝－2 B． 顶点坐标为(2，3) C． 函数的最大值是－3 D． 函数的最小值是－3 A C 3． (2024广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　A　) A． y3＞y2＞y1 B． y2＞y1＞y3 C． y1＞y3＞y2 D． y3＞y1＞y2 A 4． 在函数y＝(x－1)2中，当x＞1时，y随x的增大而 　增大　 .(填“增大”或“减小”)  5． (2024长春)若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是 　c＞ 　.  增大 c＞ 6． 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3(a＜0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线y＝ x2于点B，C，则线段BC的长为 　2　 .  2 7． (2023宁波)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象经过点A(1，－2)和B(0，－5). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； 解:把点(1，－2)和(0，－5)代入二次函数表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴函数图象的顶点坐标为(－1，－6). (2)当y≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围. 解:－3≤x≤1. 8． 已知抛物线y＝ax2＋bx＋1(a≠0)经过点(1，－2)，(－2，19). (1)求抛物线的表达式； 解:由题意，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝2x2－5x＋1. (2)若A(m，p)和B(n，p)是抛物线上不同的两点，且m－n＝ ，求m，n的值. 解:∵若A(m，p)和B(n，p)是抛物线上不同的两点， ∴ ，即m＋n＝ . ∵m－n＝ ， 解得m＝ ，n＝1. $$