数列和概率 训练-2025届高三数学二轮复习

高三数学专题练——数列和概率（文字版|含答案） 一、单选题 1．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 2．在等差数列中，，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 4．设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．男女生共8人，从中任选3人，出现2名男生，1名女生的概率为，则其中女生人数是（   ） A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人 7．已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（    ） A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B．若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C．若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 11．甲上学有时坐公交车，有时骑自行车.他分别记录了30次坐公交车和30次骑自行车上学所花的时间，经统计数据分析得到：坐公交车上学平均用时，方差为16；骑自行车上学平均用时，方差为4.假设坐公交车上学用时和骑自行车上学用时都服从正态分布，则（    ） A． B． C．如果某天上学出发前有可用，那么甲应选择坐公交车上学 D．如果某天上学出发前有可用，那么甲应选择骑自行车上学 三、填空题 12．已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 13．已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 . 14．如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则 ． 四、解答题 15．（13分）（2025届广东二调） 某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏，为了解交通状况，有关部门随 机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式）， 具体情况如下： 出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行 频数 54 27 38 42 18 21 用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行． (1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为X，求 ； (2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%的非低碳 出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概 率． 16．（15分）（2025届南海摸底） 某区中考体育科目有必选项目和选考项目，其中篮球为一个选考项目．该区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示： 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 450 150 600 女生 150 250 400 合计 600 400 1000 (1)依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； (2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生做进一步调查，将这8名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 附：参考数据，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本题满分15分）（2025届江苏六校联考） 已知等差数列{an}的首项a1＝1，且满足＋＝． （1）求数列{an}的通项an； （2）若bn＝，记数列{bn}的前n的和为Tn，求满足Tn≥4的最小整数n． 18．(17分)（2025届衡水检测四） 已知数列是各项都为正整数的等比数列的等差中项，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 19．（本题满分17分）(2025届惠州二调) 若数列满足，则称数列为项数列，由所有项0数列组成集合. （1）若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； （2）从集合中任意取出两个数列，记. 求随机变量的分布列，并证明：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．【详解】数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以， 所以数列的前5项之和为.故选：D. 2．【详解】设等差数列的公差为， 则， 由等差数列的性质可知是公差为的等差数列，又，所以，解得， 则， 故选：D. 3．【详解】由有，故A错误； 由，，所以，故C正确； ，故B错误； 由，故D错误. 故选：C. 4．【详解】根据与的关系，（）. 已知，，那么. 又因为，，所以.   所以公差.   已知，将其代入前项和公式，因为，所以. 又已知，那么.   已知，，，代入通项公式可得： , 得.   故选：B. 5．【详解】在等比数列中，， 所以， 所以，又， 设公比为q，则， 所以． 故选：B 6．【详解】设女生人数是人，则男生有人， 又从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为 或3． 故选：C. 7．【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 8．【详解】， 设， 则， ，所以， 故选：B． 9．【详解】因为，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，，D错. 故选：ABC. 10．【详解】对A：采用3局2胜制，甲获胜分为第一二局胜，第一三局胜，第二三局胜三种情况， 最终甲获胜的概率为，故A正确； 对B：采用5局3胜制，甲以获胜，则甲前三局胜两局，第四局获胜， 故甲获胜的概率为，B错； 对C：因为，结合A项可知若采用3局2胜制，甲获胜的概率为，若采用5局3胜制，甲获胜的概率为，故C正确； 对D：因为，结合C项可知若采用5局3胜制，甲获胜的概率为， 甲获胜的条件下，比赛局数可取值为， 由条件概率公式可得： 故D正确. 故选：ACD. 11．【详解】由题意，，，如图为和的正态分布密度曲线. 由图易知，则，A错误； 由图易知，，，所以，B正确； 由图易知，，所以应该选择公交车上学，C正确； 由图易知，，所以应该选择公交车上学，D错误. 故选：BC 12．【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 13．【详解】一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球. 若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次， 恰有次摸到红球的概率为； 若有放回地摸球，每次摸个球，每次摸到红球的概率为， 摸取次，则摸到红球的次数，由二项分布的期望公式可得. 14．【详解】的可能取值为， 所以， ， ， ， 则， 所以． 15．（13分）【解析】(1)记“低碳出行”为事件A，估计…………………2分 则…………………………………………………………………………3分 …………………………………………………5分 …………………………………………………………………7分 (2)由(1)知，则有，记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为 事件B，由题意…………………………………………9分 所以………………13分 16.【解析】(1)零假设为：该区初中学生的性别与喜欢篮球之间无关联…………………1分 根据列联表中的数据，经计算得到 ………………………3分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与喜欢篮球有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．…………………………………………………5分 (2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的喜欢篮球的600名初中学生中抽取8名学生，男生抽取人，女生抽取人， …………………7分 X的可能取值为0，1，2．………………………………………………………………8分 ………………………………………………………………………9分 …………………………………………………………………10分 ………………………………………………………………11分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ………………………………………………………………………………………………12分 数学期望…………………………………15分 17.解：设公差为d 方法1．∵，…………………………………………………2分 ∴， ∴d＝2，…………………………………………………………………………………………4分 ∴an＝2n－1． …………………………………………………………………………………6分 方法2．∵ ∴，∴d＝2，…………………………………………………………………… 4分 ∴an＝2n－1． …………………………………………………………………………………6分 （2）由（1）知 ………………………………………8分 = …………………………………………………………………………11分 即 ………………………………15分 18.解：(1)设数列的公比为q，则因为a3是a2与的等差中项，所以 ，所以，解得，所以 （3分） 因为，所以又所以数列是以2为首 项，2为公比的等比数列，所以 （6分） (2)由整理得可得， 所以对任意恒成立． （9分） 令所以 当时，所以当时，取 得最大值，所以 （13分） 故实数k的取值范围是 （17分） 19.【解析】（1）因为是12项数列，当且仅当时，， 所以当和时，. …………………………………1分 设数列的所有项的和为， 则.……2分 所以数列的所有项的和为0. ……………………………………………………………6分 （2）证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列， 所以数列为项数列， 所以的可能取值为：. ………………………………………………………………8分 因为集合中元素的个数共有个，………………………………6分 当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同， 所以，……………………………………………分 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 …………………………………………………………………………………………………11分 因为， ……………………………………………………………………………………………………13分 所以 ， 即.…………………………………………………………………………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$