4.3.1等比数列的概念 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列的性质与等比数列的性质的比较 {an}是公差为d的等差数列 {an}是公比为q的等比数列 性质1：an= am+（n-m）d 性质1：an= amqn-m 性质2：若an-k，an，an+k是{an}的三项，则2an=an-k+an+k 性质2：若an-k，an，an+k是{an}的三项，则an2=an-kan+k 性质3：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 性质3：若m+n=p+q，则aman=apaq 性质4：从数列{an}中第an起隔k项取一项组成的新数列仍为等差数列，公差为kd. 性质4：从数列{an}中第an起隔k项取一项组成的新数列仍为等比数列，公差为qk. 性质5：数列{kan}和{an+k}为等差数列，公差分别为kd和d. 性质5：数列为 等比数列，公比分别为 性质6：数列{bn}为d'的等差数列，{an bn}为等差数列，公差为d d'. 性质6：数列{bn}为q'的等比数列，则数列{anbn}、{ }为等比数列，公比为qq' . (1)等比数列{an}中，若a3=4，a7=9，则a5=___. (2)等比数列{an}中，若a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=___. (3)等比数列{an}中, a3a4a5=3，a6a7a8=24，则a9a10a11= . (4)等比数列{an}中，a2a8=36，a1+a9=15，则通项公式an= . 练习1 已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2、a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=log2an+1，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn>42+4n成立的n的最小值. 练习2 4.3.1等比数列的概念 学习目标： 1.掌握等比数列的前n项和公式并能进行简单应用. 2.掌握等比数列前n项和公式的推导方法. 3.在推导前n项和公式的过程中体会分类讨论思想. 学习重点： 等比数列的前n项和公式及其推导方法。 学习难点： 等比数列的前n项和公式的应用。 ? 你想得到 什么样的 赏赐？ 陛下赏小 人几粒麦就 搞定. OK 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子 … 请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗? 上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263这个等比数列的和. 令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263 ① 2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263 + 264 ， ② 错位相减 问题1：观察相邻两项的特征，有何联系？ 如果我们把每一项都乘以 2，就变成了与它相邻的后一项 问题2：将上述①式两边同乘以2，得到② 式，比较 ① 、 ② 两式，你有什么发现？ 两式右边中间的一些项是相同的 －② 得-S64= 1－264. ① S64= 264－ 1 = 18446744073709551615(粒). 当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 如果按1000颗麦粒40克计算，这里大约有 麦粒；如果按人均每天吃______粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界_____亿人吃上_____年. 7000亿吨 70 274 1000克 令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263 ① 2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263 + 264 ， ② －② 得-S64= 1－264. ① S64= 264－ 1 问题5： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以 2？ 那乘以3？或乘以5？会达到一样的效果吗？ 问题6：对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢? 探究：设等比数列{an}的公比为q，求{an}的前n项和Sn . Sn = a1 + a1q + a1q2 + …… + a1qn-3 + a1qn-2 + a1qn-1 qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + …… + a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn 由 – 得： ？ 分类讨论： (1 – q)Sn = a1 – a1qn 等比数列{an}同时也是常数列， 此时 Sn = na1 Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an 【新知探究】 等比数列前n项和公式的推导 推导2：在等比数列{an}中，若q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1) ＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此你能用a1和q表示出Sn吗？ 推导3：在等比数列{an}中，若q≠1，当n≥2时，有 ＝ ＝ ＝…＝ ＝q，由等比性质得 ＝q，至 此你能用a1和q表示出Sn吗？ 探究：设等比数列{an}的公比为q，求{an}的前n项和Sn . 等比数列的前n项和公式： 注意： (1)使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论； (2)当 时，根据条件选择更为简便的公式 【新知探究】 (4)该方法叫错位相减法，一般适用于求一个等差 数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个. 通项公式： 例1　求下列等比数列前8项的和： 反思感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立. 题型一　等比数列前n项和公式的直接应用 【新知巩固】 （3）a1＝2，S3＝6 解　由题意，得若q＝1， 则S3＝3a1＝6，符合题意. 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， 解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8. 练习：在等比数列{an}中， (1)已知q＝2，S4＝11，求S8； (2)已知a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求a4和S5； (3)已知a6-a4＝24，a5a3＝64，求S8； (4)已知a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q和n； (5)已知S3＝ ，S6＝ ，求an和Sn. 思考 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 这首古诗给大家呈现一幅美丽的夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？ 数学建模： 已知等比数列{an}，公比q=2，n=7,S7=381, 求a1 思考：若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？ 等比数列前n项和公式的函数特征 当q≠1时，Sn＝ ＝ ·qn＋ . 令 ＝A，则Sn＝ .由此可见，非常数列的等比数列 的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，且指数式的系数与常数项互为相反数. 当q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数. 2.若等比数列的前n项和Sn＝5n+1＋m，则m= . 练习：1.在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数），且前n项和为Sn=3n-1-k，则实数k的值为 . 核心素养之数学建模 HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO 分期付款模型 典例　小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.00812≈1.10) 解　方法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则 A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x， …， A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0， 故小华每期付款金额约为883.5元. 方法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则 A2＝x； A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)； A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)； …， A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810). ∵年底付清欠款， ∴A12＝5 000×1.00812， 即5 000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， 故小华每期付款金额约为883.5元. 素养评析　本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式. 3.使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论； 1.掌握等比数列的前n项和公式能进行简单应用 2.掌握等比数列前n项和公式的推导方法——错位相减法 【课堂小结】 跟踪训练2　已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝ . 解析　∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列， ∴a1＝1，a3＝4，则q＝2， 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比不为－1的等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm. (3)若{an}是项数为偶数，公比为q的等比数列，则 ＝q. 等比数列前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则S偶S奇＝q； 、若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q； (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)； (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． 类型二：等比数列前n项和性质的应用 例1：在等比数列{an}中，已知S2＝7，S6＝91，求S4的值. 例2：已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q的值. 类型二：等比数列前n项和性质的应用 练习：(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知 ＝3，求 的值. (2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求此数列的通项公式. 类型三：错位相减法求和 例1：求数列{ }的前n项和. 练习：求数列{nxn}的前n项和. 类型三：错位相减法求和 例2：已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an，b1＋ b2＋ b3＋…＋ bn＝bn＋1－1，n∈N＋. (1)求an与bn； (2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn. 类型四：等差、等比数列的综合问题 例题：设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 题型三　利用错位相减法求数列的前n项和 反思感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法. 跟踪训练3　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0). 思考 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 这首古诗给大家呈现一幅美丽的夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？ 数学建模： 已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1 思考 … …… …… 第一层 n=1 第二层 n=2 第七层 n=7 数学建模： 已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1 1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况. 3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和. 四.课堂小结： 【新知巩固】   解： 例2：在等比数列 中， 求前8项和 【新知巩固】   例1：数列2,2,2,2，...求数列的前n项和? 例3.在等比数列 中， 求公比q 【新知巩固】 【布置作业】 1.若数列 满足 ，则数列 的前8项的和 2.在等比数列 中， 3.在正项等比数列 中， 前5项的和等于（ ） 【布置作业】 1.同步解析与测评62页，例1、变式训练1（1）（2）. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 新增感染病毒人数： 第1天 第2天 第3天 第4天 1人 3人 9人 27人 第14天 目前认为新型冠状病毒感染的潜伏期最长为14天。假设在某种环境下新型冠状病毒携带者1人一天内传染给周围的3个人，那么在第14天，新增感染病毒人数为多少？ ？ 【新知引入】 【新知引入】 问题1：新增感染病毒人数： 1， 3，9，27…… 构成什么数列？ 那么第14天新增感染人数为： =1594323 【新知探究】 问题2：在一个潜伏期内，即在14天内共有多少人感染新型冠状病毒？ 探究 问题3：观察相邻两项的特征，有何联系？ 如果我们把每一项都乘以 3，就变成了与它相邻的后一项 问题4：将上述 式两边同乘以3，得到 式，比较 、 两式，你有什么发现？ 两式右边中间的一些项是相同的 由（1）-（2）得： 【新知探究】 错位相减法 探究 由 - 得： 问题5： 纵观全过程， 式两边为什么要乘以 3 ？ 3 那乘以4？或乘以5？会达到一样的效果吗？ 问题6：对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢? 【新知探究】 $$