《22.2 二次函数与一元二次方程》教学设计-2024-2025学年人教版九年级数学上学期

人教版版数学九年级上册第二十二章 ---《22.2 二次函数与一元二次方程》教学设计 【教材分析】 模型思想、几何直观都是《义务教育数学课程标准（2012 年版）》提出的 10 个核心概念之一．二次函数和一元二次方程都是重要的数学模型，也是进一步学习其他函数的基础．利用函数图象研究方程的根，是培养学生几何直观的重要途径．二次函数和一元二次方程之间的内在联系十分突出．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点，其几何意义是二次函数的图象与 x 轴的公共点的横坐标．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的分布与抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的位置关系相关联．综上所述，本节课的教学重点是：理解一元二次方程根的几何意义；掌握解抛物线与 x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系．本节课通过创设情境，经过问题情境一般化构造二次函数模型；问题情境特殊化创建一元二次方程；问题解决再归纳的过程，使学生得出二次函数与一元二次方程的联系，从而实现重点的突出. 【学情分析】 在八年级下册，学生通过一次函数与方程、不等式的学习已经初步建立方程模型与函数模型的联系．在九年级上册，学生已经分别学习了一元二次方程、二次函数，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系．而且二次函数与一元二次方程之间的联系看似简单，但想要用简洁的语言归纳出来并非易事．基于以上分析，归纳总结二次函数与一元二次方程之间的联系是本节课的难点．初三学生的推理和归纳能力已经有了明显的发展，因此为了学生能够由特殊到一般地进行归纳二次函数与一元二次方程的关系，设计出表格并组织示范性语言，为学生归纳结论做铺垫，从而实现难点的突破. 【核心素养目标】 （1）理解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与 x 轴的公共点的横坐标）.（ 数学抽象、逻辑推理） （2）掌握抛物线与 x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况. （数学建模、数学运算） （3）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解及不等式的解集. （直观想象、数据分析） 【教学重难点】通过创设情境，经过问题情境一般化构造二次函数模型；问题情境特殊化创建一元二次方程；问题解决再归纳的过程，使学生得出二次函数与一元二次方程的联系 【学习活动】 在经历前面的“初识文化节”这一子任务后，继续开启“第二个子任务”，走进文化节。 1.创设情境 发现联系 初中生小丽在周末逛文化节，参加了一项蹴鞠的游戏.如图 1，如果以 25m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行的时间t（单位：s）之间具有函数关系 h=3t-t2 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到 2m？如能，需要多少飞行时间？ 解：解方程 2=3t−t2， t2−3t+2=0, t1=1 t2=2 ∴当球飞行1s或2s时，它的高度为2m （2）球的飞行高度能否达到m？如能，需要多少飞行时间？ 解方程：� =3t−t2, 4t2−12t+9=0, t1=t2= ∴当球飞行s时，它的高度为 （3）球的飞行高度能否达到 3m？为什么？ 解方程： 3=3t−t2, t2−3t+3=0, 因为(−3)2−4 ×3<0, 所以方程无解.即球的飞行高度达不到3m. （4）球从飞出到落地要多少时间？ 0=3t−t2, t2−3t=0, t1=0，t2=3. 当球飞行0s和3s时，它的高度为0m.即0s时小球从地面飞出，3s时小球落回地面. 球从飞出到落地要用3s. 师生活动：对于这样几个问题，学生会解决，但是思考的方向需要老师引导，因此教师引导第（1）题令h=2 求出t，而后学生完成问题（2）——（4），学生展示答案. 小组合作探究一老师将解决问题的过程中出现的方程与图像整理到一起，引导学生小组讨论，得出二次函数与一元二次方程的关系. 设计意图：创设情境，从实际问题引入，让学生感受数学来源于生活.通过探究，让学生感知二次函数与一元二次方程有密切的联系：从数式的方面看，当函数取一个定值时，二次函数就变为一个一元二次方程；从形的方面来说，可以看成二次函数与一条定值线的位置关系，为后面深入讨论二次函数抛物线与 x 轴相交时，一元二次方程根的情况做好了铺垫. 2.思考问题 归纳结论 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x+1（2）y=x2-6x+9 （3）x2-x+1 二次函数 图象与 x 轴交点个 数 抛物线与 x 轴交点 横坐标 相应的一元二次方程及其实数根 y=x2+x+1 0个 x2+x+1无解 y=x2-6x+9 1个 3 x2-6x+9 x1=x2=3 x2-x+1 2个 -2 1 x2+x−2=0，x1=−2，x2=1 师生活动：教师引导当与 x 轴有公共点时，y=0.通过观察图象与计算，学生回答，教师将答案填入表格中。 小组合作探究二 小组讨论，通过表格，能得到二次函数与相应的一元二次方程哪些更具体的联系？归纳一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c的图象可得如下结论. （1）如果抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴公共点的横坐标，是当函数值是 0 时方程 ax2+bx+c=0的一个根. （2）二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的三种情况：无解，有两个相等的实数根，有两个不同的实数根，还对应着b2-4ac的三种情况。由这三者之间的联系，我们可以做到知一推二。 设计意图：利用表格为学生搭桥，引导学生寻找二次函数与一元二次方程的联系 二次函数 y=ax2+bx+c的图像与 x 轴交点 一元二次方程y=ax2+bx+c的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 有交点 有实数根 b2-4ac≥0 设计意图：师生共同总结，加深理解和印象。 3.运用图象 估计求根 例 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程 ax2+bx+c=0的近似根为( ) A．�1≈−2.1，�2≈0.1 B．�1≈−2.5，�2≈0.5 C．�1≈−2.9，�2≈0.9 D．�1≈−3， �2≈1 师生活动：学生观察图象回答。 设计意图：教师给学生示范，运用图象与方程的联系，利用图象估计一元二次方程的近 似根. 4.二次函数与一元二次不等式的关系 问题 1 函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么 方程 ax2+bx+c=0的根是 __________； 不等式 ax2+bx+c>0 的解集是___________； 不等式 ax2+bx+c<0 的解集是_________ 问题 2 函数 y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2 的根是 ______________; 不等式 ax2 +bx+c > 2 的解集是___________; 不等式 ax2+bx+c < 2 的解集是________ 师生活动：学生观察图象后回答，并说出做题依据。 设计意图：由二次函数与一元二次方程的关系，及图象中抛物线与直线的位置关系，可以延伸到解决一元二次不等式.ax2+bx+c>0 的解集即抛物线在 x 轴上方的部分对应的 x的取值范围；ax2+bx+c<2 的解集，即抛物线在 y=2 下方的部分对应的 x 的取值范围.归根结底，一元二次方程和不等式的问题，都可以通过图象中抛物线与直线的位置关系来解决. 5.小结反思 学生反思本节课学了哪些内容。 （1）从内容上 （2）从实际中 设计意图：通过小结，再次让学生认识到二次函数与一元二次方程的联系，强化了学生的学习成果. 6.当堂达标 1. 根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c −0.06 −0.02 0.03 0.09 判断方程 y=ax2+bx+c (a≠0，a，b，c 为常数)一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 2. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）方程 ax2+bx+c =0 的实数根是___________ ； （2）若方程 ax2+bx+c =k 无实数根，则 k 的取值范围______________ . 师生活动：学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台展示成果. 设计意图：通过练习加深对所学知识的理解 22.2 二次函数与一元二次方程 【基础过关】 1、抛物线 y=3x2+5x 与坐标轴的交点个数是_______ A、0 B、1 C、2 D、3 2、下列点在抛物线 y=-2x2+x+1 的图象上的是___________ A、（-1，2） B、（0，-1） C、（2，-5） D、（1，3） 3、二次函数 y=x2-2(m+1)x+4m 的图象与 x 轴的交点情况是_______ A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、有交点 【中档提高】 4、抛物线 y=x2-2kx+k2-1 的顶点在_______ A、x 轴下方 B、x 轴上方 C、x 轴上 D、条件不够，无法确定 5、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点坐标是（-2，6），则该抛物线的对称轴是________ 6、若二次函数 y=(a-1)x2-2x+1 的图象与 x 轴只有一个交点，则 a=________。 【拓展提升】 7、若二次函数 y=x2-2x+k 与 x 轴的一个交点坐标是（-1，0），则与 x 轴的另一个交点坐标是_______。 8、已知函数 y=x2-2x+1-m。（1）若图象与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），求 m 的值及 另一个交点坐标；（2）m 为何值时，图象与 x 轴没有交点？ 【反思梳理】梳理本节课学习的主要内容和主要的数学思想方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$