2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 学 习 目 标 1、通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。 2、使学生能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。 3、渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。 01 二次函数 02 一元二次方程 03 一元二次不等式 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一 个未知数，并且未知数的 最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 其中𝑎，𝑏，𝑐均为常数，𝑎≠0. 1、“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如𝑎，𝑏，𝑐等； 2、“二次”指的是未知数的最高次数必须存在并且是2，并且最高次项系 数不为0. 二次函数的零点 一般地，对于二次函数 ， 我们把使 的实数 𝑥 叫做 二次函数 的零点. 【注 意】 零点不是点，是交点的横坐标，是数值. 函数的零点 方程的根 函数图象与x轴交点横坐标 快 速 问 答 （1）方程 的根是 （2）二次函数 的两个零点是 （3）方程2x+4=0的根是 （4）一次函数y=3x-6的零点是 先观察一元二次不等式 与 二次函数 之间的关系. 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2= 没有实数根 R {x|x1<x<x2} {x|x<x1，或x>x2} 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 三个“二次”关系的实质用数形结合的思想来解读： y=ax2+bx+c的图像与 x轴的交点的横坐标 y=ax2+bx+c的图像上的点(x，y)处于x轴上方时，对应的x的取值范围的集合 y=ax2+bx+c的图像上的点(x，y)处于x轴下方时，对应的x的取值范围的集合 a > 0 例 题 解 析 例1 求不等式 的解集. 例2 求不等式 的解集. 例3 求不等式 的解集. 一元二次不等式的解题步骤 04 一元二次不等式的应用 快 速 问 答 已知二次函数y=𝑎𝑥2+bx+𝑐(a 0)的图象，求一元二次方程𝑎𝑥2+bx+𝑐=0(a 0)的根和一元二次不等式𝑎𝑥2+bx+𝑐>0(a 0)的解集。 x x x y y y O O O -2 2 -1 1 -2 三个“二次”之间对应关系的应用 例4：已知关于𝑥的不等式𝑎𝑥2+bx+𝑐>0的解集为{𝑥|−2<𝑥<3}， 求关于𝑥的不等式𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎<0的解集. 练习：已知关于𝑥的不等式𝑎𝑥2+bx+𝑐<0的解集为{𝑥|𝑥<−2或𝑥> }， 求关于𝑥的不等式𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐>0的解集. k k k y恒成立 令y=𝑎𝑥2+bx+𝑐，恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题， 即 k y恒成立 问题1：一元二次不等式𝑎𝑥2+bx+𝑐 0的解集为R， 则二次函数y=𝑎𝑥2+bx+𝑐的图象是怎样的？ 问题2：若二次不等式𝑎𝑥2+bx+𝑐 0的解集为R，则𝑎，b，𝑐应满足什么关系？ 不等式恒成立问题 练习.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围. 不等式恒成立问题 例5. 对于一切实数x，mx2－mx－1<0恒成立，求实数m的取值范围. 题型二、含参数的一元二次不等式解法（开口确定） 例 4：解关于x的不等式x2-ax+(a-1)>0 例 5：解关于x的不等式x2-ax+1>0 练习：解关于x的不等式x2+2x+(1-a2)>0 题型三、含参数的一元二次不等式解法（开口不确定） 例6：解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0 随 堂 小 测 随 堂 小 测 随 堂 小 测 路 虽 远 行 则 将 至 做 事 虽 难 则 必 成 $$