2.2.1基本不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§ 2.2 基本不等式（第1课时） 课标定位： 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 3.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小。 4.提升逻辑推理和数学运算能力 当且仅当a=b时，等号成立 一、问题探究 复习提要： 代数意义：两个正数的几何平均数小于等于算术平均数 算术平均数 几何平均数 基本不等式 均值不等式 （当且仅当a=b时，等号成立） 思考探究: 基本不等式： 当且仅当a =b时，等号成立. 当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式： 注意：（1）不同点： （2）相同点： （3） 联系 ： 当且仅当a=b时，等号成立。 由重要不等式可以推出基本不等式。 二、新知讲解 两个不等式的适用范围不同。 求证： 证明：要证 只要证 ① ② ③ 要证①，只要证 要证②，只要证 显然, ③是成立的. 当且仅当a=b时, ③中的等号成立。 （a＞0，b＞0) a=b时，等号成立 当且仅当 分析法：[执果索因] 作差法： （a＞0，b＞0) AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD： 你能利用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ①如何用a, b表示OD? OD= ______ ②如何用a, b表示CD? CD= ______ 基本不等式的几何证明： ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD 几何意义： 1.在圆中： 半径不小于半弦 2.在直角三角形中： 斜边上的中线 不小于斜边上的高 例2 已知x,y都是正数，求证： (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 (2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 解： ∵x，y都是正数 (1)当xy等于定值P时 当且仅当 x=y,等号成立. 即：当x=y时，和x+y有最小值 (2)当x+y等于定值S时 当且仅当 x=y,等号成立. 即：x=y时，积xy有最大值 积一定，和有最小值 和一定，积有最大值 积定和小， 和定积大 基本不等式的作用：求最大值、最小值 基本不等式的应用 基本不等式： 当且仅当a =b时，等号成立. 利用基本不等式求最值应该注意什么？ 一正二定三相等 例1 求 的最小值 （x＞0） a b + 解： ∵x＞0 当且仅当a=b时，等号成立. 当且仅当 ,即x=1时，等号成立. 1.判断非负数 2.带入不等式得定值 3.等式成立条件 三、课堂练习 一正 二定 三相等 练习 已知 ，求 的最大值 解： 当且仅当 时等号成立 ∴最大值为 变式3：已知 ，求 的最大值 大 9 3 3 小 变式训练： 四、课堂小结 （1）重要不等式：对于任意实数a,b,都有 __________ 当且仅当_______时，等号成立 （2）基本不等式 形式：______________________ 成立的前提条件：___________ 等号成立的条件：___________ 代数意义：_______________； 几何意义：_________________。 （3）最值问题： 口诀？ 1.在圆中：半径不小于半弦 2.在直角三角形中：斜边上的中线 不小于斜边上的高 感 谢 聆 听！ Lavf57.62.100 $$