2.2基本不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2课时 基本不等式的应用 应用基本不等式求最值时，要把握三个条件： 一、正数条件，即a、b都是正数； 二、定值条件，即和是定值或积是定值； 三、相等条件，即a＝b时取等号； 简称“一正，二定，三等”. 忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？ 基本不等式： 复习引入： 重要不等式： 例1:(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m. 当且仅当x=y=10时,等号成立. 结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。 例1:(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 当且仅当x=y=9时,等号成立. 则2(x + y)=36, x+y =18 菜园的面积为xy m2 结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。 【例题】某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低造价是多少？ 基本不等式在求最大、最小值中的应用 1.化正型 例2 求函数 的最小值. 2.凑定型 (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值. (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值 合理地拆分转化，构造和为定值或积为定值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决此类问题的关键. 例4 已知x>0,y>0,且2x+y=1,求 的最小值. 3.整体代换型 分析本题给定约束条件 ，来求 注意到 故可以采用对目标函数 乘“1”构造使用基本不等式的条件. 的最小值, 对于给定条件求最值的问题，常可采用乘“1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件. 例5 已知 a>0,b>0,a+b=1, 求证： 利用基本不等式证明简单的不等式 分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？ 1.（浙江高考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则 3x+4y的最小值是( ) Ｃ A. B. C. 5 D.6 【解析】由x+3y=5xy可得 ∴3x+4y的最小值是5. 2．已知 ，求函数 的最大值． 3.若 则 为何值时 有最小值，最小值为多少？ 5．已知ab>0，求证： ， 并推导出式中等号成立 的条件. 证明：因为ab>0，所以 ， 根据基本不等式得 即 当且仅当 ，即a2=b2时式中等号成立， 因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b. 把握基本不等式成立的三个条件： 1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值； 2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件；（构造：互为相反数、互为倒数） 3.不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域. $$