2.2.1基本不等式课件第1课时-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 1、什么是完全平方公式？根据完全平方公式得出的重要不等式是什么？ 课前学习 3、不等式的条件a>0,b>0是否可以去掉？ 4、不等式中的“=”成立的条件是什么？ 2、在a>0,b>0的条件下，把 中的a,b分别由 代换，可以得到一个什么样的不等式？ 不可以 1、基本不等式 替换后得到： 即： 即： 基本不等式 基本不等式 注意： 基本不等式 基本不等式的几何解释 A B C D E a b O 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ≥ 几何意义：半径不小于半弦长 射影定理 当点C在什么位置时OD=CD？ 此时a与b的关系是？ 基本不等式的证明 证明：要证 只要证 只要证 只要证 显然, 上式是成立的.当且仅当a=b时取等。 证明不等式： 分析法 重要不等式与基本不等式的比较 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 命题方向一：利用基本不等式求最值 解： 典例解析 解： 典例解析 命题方向二：基本不等式的使用条件 一正 典例解析 二定 解： 方法：配凑法 解: ∵0<x< , ∴1-2x>0. 1 2 ∴y=x(1-2x)= ∙2x∙(1-2x) 1 2 ≤ ∙[ ]2 2x+(1-2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当 时, 取“=”号. 2x=(1-2x), 即 x= 1 4 ∴当 x = 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 . 1 4 1 8 三等 跟踪训练 解： 利用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等。 跟踪训练 若x>1，求函数 的最小值 命题方向三：拆列项求最值 个人内化 已知t>0，求 的最小值 已知x>0,y>0,且 ，求x+y的值 命题方向四：常数代换法求最值 个人内化 若a,b都是正数，求 的最小值 基本不等式在实际问题中的应用 例3：(1) 用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? (2)用--段长为36m的篱笆围成--个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少? 分析: (1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为:矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短. (2) 矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为:矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大. 1、重要不等式与基本不等式的内容： 2、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等 3、基本不等式的应用： 求最值 课堂小结 $$