重难点03 平行线的性质与判定（7大题型+14道培优题提分练）（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题03 平行线的性质与判定 重难点题型专项训练 7大题型 题型一 利用平行线的性质与判定求角度 1．如图，已知，三角形的顶点分别在直线上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 利用平行线的性质与判定求解三角形问题 3．将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 题型三 利用平行线的性质与判定解决实际问题 5．“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引人特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，交通标志表示的“箭头”图形中，，，，，则图中的度数是（　　） A． B． C． D． 7．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值． 题型四 利用平行线的性质与判定解决拐点问题 8．已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 9．如图，，则 ． 10．如图，若，，且，，，则 ． 11．七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线上，点B在直线，之间，    （1）当时， °． （2）如图2，在线段上取一点D，过点D作直线，若射线平分，且满足，则 °． 12．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 题型五 利用平行线的性质与判定进行判断 13．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；其中正确的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 15．如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 题型六 平行线的性质与判定跨学科融合 16．如图，光的反射活动课中，小铭同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为（　　） A． B． C． D． 17．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角与折射角的度数比为．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为，，在液体中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 18．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 题型七 利用平行线的性质与判定解决新定义问题 20．我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．如图，点E在的边上，连结，作的平分线交于点D，在上取点F，使．若是“德馨三角形”，则的度数为 ．    培优训练 1．如图，已知点在一条直线上，于点于点，交于点，若平分．证明：．    2．如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 3．如图，已知点E在线段AD上，点P在直线CD上，∠AEF＝∠F，∠BAD＝∠CPF．求证：∠ABD+∠BDC＝180°． 4．如图，已知直线，当点E在直线与之间时． (1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）； (2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明． 5．如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数（用含的式子表示）． 6．如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 7．如图，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 9．如图，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 10．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 11．如图，，，平分交于点E．过点E作交于点F，求的度数． (1)依题意画出线段； (2)补全下面求的度数的过程（括号内写出依据）． 解：因为， 所以（______________________________）． 因为， 所以__________． 又因为， 所以__________． 又因为CE平分， 所以__________=__________． 因为， 所以__________（______________________________）， 所以__________（______________________________）， 所以__________． 12．[课题学习]： 平行线的“等角转化”功能． （1）[阅读理解]： 如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． 阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， 又因为 所以 （2）[方法运用]： 如图2，已知，求的度数． （3）[深化拓展]： 已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． ①如图3，若，则 ° ②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示） 13．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． (1)现将点移至如图2的位置，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (2)如图3，与的角平分线相交于点； ①若，，求的度数． ②请直接写出与的数量关系． 14．【问题初探】 数学课上，老师和学生做数学书“做一做”的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，． （1）若，则______； （2）与的数量关系是______． 【类比探究】 （3）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 （4）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，、是两束反射光线．A、B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行线的性质与判定 重难点题型专项训练 7大题型 题型一 利用平行线的性质与判定求角度 1．如图，已知，三角形的顶点分别在直线上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质；根据同位角相等，两直线平行的性质得，再根据两直线平行，同旁内角互补的性质得，从而完成求解． 【详解】∵ ∴， 如图： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理，是解题的关键．根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，由得到，然后根据平行线的性质可知，可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 题型二 利用平行线的性质与判定求解三角形问题 3．将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，先证明，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：A． 题型三 利用平行线的性质与判定解决实际问题 5．“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引人特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，得出，利用平行线的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故选：C． 6．如图，交通标志表示的“箭头”图形中，，，，，则图中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质、等角的补角相等，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．利用平行线的判定与性质得到，，进而利用平行线的性质和等角的补角相等得到，，进而可求解． 【详解】解：过I作， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 7．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)100° (2)见解析 (3)的值为或或或或 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解； （2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可； （3）分五种情况画图，列出关于t的式子即可解答． 【详解】（1）∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． （2）∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． （3）． 当时，则，如图，    ∵， ． ． 由题意，， ． ． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． ． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图，   由题意，，． ． ∵， ． ． ． 当时，，如图，   ． ． ， ． ． 综上，的值为或或或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 题型四 利用平行线的性质与判定解决拐点问题 8．已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 9．如图，，则 ． 【答案】/540度 【分析】本题考查了平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系． 分别过作或的平行线，运用平行线的性质求解． 【详解】解：作， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，若，，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质．过点E作，过点F作，则，根据平行线的性质，结合可证，再根据推出，即可列式求解． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ，， ， ， ，， ． ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 11．七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线上，点B在直线，之间，    （1）当时， °． （2）如图2，在线段上取一点D，过点D作直线，若射线平分，且满足，则 °． 【答案】 55 40 【分析】（1）易得，根据平行线的性质求得，则； （2）设，则，由角平分线的定义可得，由平行线的性质得，于是求得，在三角形中，利用三角形内角和定求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：55； （2）设，则， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键． 12．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ．（等量代换） 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； （2）解：，理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）解：或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 题型五 利用平行线的性质与判定进行判断 13．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；其中正确的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【详解】解：， ，，， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， 平分， 故①正确，符合题意； ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 故选：D． 14．如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的性质、角平分线定义和垂直的定义求出，然后对各个结论进行判断即可．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴， ∴平分，， 故①④正确； ∵， ∴， 故②正确； 无法证明， 故答案为：①②③④． 15．如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据互余和角平分线的定义，可判断①结论；根据平行线的性质和角平分线的定义，可判断②结论；根据互余的概念，可判断③结论；根据平行线的性质和角平分线的定义，可判断④结论． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， 平分，①结论正确； ， ， 平分，平分， ，， ， ，②结论正确； ，且, 与互余的角有4个,③结论错误； ，， ， 平分， ， ， ， ，④结论正确， 正确的有①②④， 故答案为：①②④． 题型六 平行线的性质与判定跨学科融合 16．如图，光的反射活动课中，小铭同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分两种情况：当时，当时，利用平行线的判定和性质求解即可． 【详解】解：当时，如图所示，过点G 作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由反射定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示，过点G 作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， ∴反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为， 故选C． 17．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角与折射角的度数比为．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为，，在液体中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B、D、F分别作水平线的垂线，则，根据平行线的性质与光的折射原理即可得到答案 【详解】如图：过点B、D、F分别作水平线的垂线，则 由题知 即： 即 故选B 【点睛】本题考查了平行线的性质，光学原理，读懂题并熟练掌握平行线的性质是关键． 18．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故选：B． 19．综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 题型七 利用平行线的性质与判定解决新定义问题 20．我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．如图，点E在的边上，连结，作的平分线交于点D，在上取点F，使．若是“德馨三角形”，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】先证明，再分和，两种情况，结合三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“德馨三角形”， ∴当时，则， 解得：； 当时，， 解得：． 故答案为：或． 培优训练 1．如图，已知点在一条直线上，于点于点，交于点，若平分．证明：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先证，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 【详解】证明：于点于点， ， 又平分， ． 2．如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． （1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据，得出，再根据平分，得出，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，已知点E在线段AD上，点P在直线CD上，∠AEF＝∠F，∠BAD＝∠CPF．求证：∠ABD+∠BDC＝180°． 【答案】证明见解析. 【分析】已知∠AEF＝∠F，根据平行线的判定，得出PF∥AD，再根据平行线的性质，即可得到∠ADC＝∠CPF，依据等量代换即可得到∠BAD＝∠ADC，再判定AB∥CD，即可得出∠ABD+∠BDC＝180°． 【详解】证明：∵∠AEF＝∠F， ∴PF∥AD， ∴∠ADC＝∠CPF， 又∵∠BAD＝∠CPF， ∴∠BAD＝∠ADC， ∴AB∥CD， ∴∠ABD+∠BDC＝180°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用判定和性质定理进行推理是解决本题的关键． 4．如图，已知直线，当点E在直线与之间时． (1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）； (2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明． 【答案】(1) (2)或，见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质， （1）过点E作，先证明，得出，根据角的和差计算得出结论； （2）分两种情况：当E在的上方时或当E在的下方时，分别作辅助线根据平行线的性质求出结论． 【详解】（1）解：与之间的关系为：，理由如下： 如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2，当E在的上方时，，证明如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3，当E在的下方时，，证明如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）先根据同角的补角的相等得到，则，即可证明； （2）得到，由得到，平分得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， ． （2）解：∵， ． 又∵， ． 又∵平分， ， ． 6．如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 7．如图，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， ． （2）， ． 又， ， ， ． 8．如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，再结合得出，即可得证； （2）由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，推出，即可得解． 【详解】（1）证明： ， ， ∴； （2）解： ， 平分，平分 ， ， ， ． 9．如图，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【详解】（1）∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 11．如图，，，平分交于点E．过点E作交于点F，求的度数． (1)依题意画出线段； (2)补全下面求的度数的过程（括号内写出依据）． 解：因为， 所以（______________________________）． 因为， 所以__________． 又因为， 所以__________． 又因为CE平分， 所以__________=__________． 因为， 所以__________（______________________________）， 所以__________（______________________________）， 所以__________． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）根据题意，补全图形即可； （2）根据平行线的判定和性质，结合角平分线的定义，进行作答即可． 【详解】（1）解：线段如图所示． （2）因为， 所以（两直线平行，同旁内角互补） 因为， 所以． 又因为， 所以． 又因为平分，所以． 因为， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以． 12．[课题学习]： 平行线的“等角转化”功能． （1）[阅读理解]： 如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． 阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， 又因为 所以 （2）[方法运用]： 如图2，已知，求的度数． （3）[深化拓展]： 已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． ①如图3，若，则 ° ②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）的度数为；（3）①65；② 【分析】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答； （2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，再根据周角定义可得，最后利用等量代换可得，即可解答； （3）①过点作，先根据猪脚模型可得，然后根据角平分线的定义可得，，从而进行计算即可解答； ②过点作，先根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）解：过点作，如图所示： ，， 又， ， 故答案为：；； （2）过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， 的度数为； （3）①过点作，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：65； ②过点作，如图所示： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． (1)现将点移至如图2的位置，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (2)如图3，与的角平分线相交于点； ①若，，求的度数． ②请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)结论不成立，应该是，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点A作，则，由平行线的性质可得，即可求解； （2）①过点F作，由（1）的结论可得，由角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而得到，即可求解；②由（1）的结论可得，再由角平分线的定义可得，从而得到，然后由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：结论不成立，应该是，理由如下： 如图2，过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图3，过点F作， 由（1）得：， ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）得：， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．【问题初探】 数学课上，老师和学生做数学书“做一做”的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，． （1）若，则______； （2）与的数量关系是______． 【类比探究】 （3）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 （4）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，、是两束反射光线．A、B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 【答案】（1）30；（2）相等；（3）40；（4）； 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，理解反射角等于入射角，准确识图，熟练掌握平行线的性质及角度的计算是解决问题的关键． （1）根据的度数可得的度数，进而可得的度数； （2）根据平角的定义得到，则可得 （3）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后求出，即可得到的度数； （4）过点作，过点作，依题意得，，，，，则，再由，得，再根据可得，进而得，据此可得的度数；设，则，进而得，则，然后根据得，则，由此解出即可得的度数． 【详解】解：（1）由题意得，，，， 若，则； 故答案为：30； （2）∵，， ∴与的数量关系是相等，； 故答案为：相等； （3）如图，过点作， 由题意可得：， ， ， ， ， ， ． ∴等于40度时，才能保证黑球能直接入袋． 故答案为：40； （6）过点作，过点作，如图所示： 根据反射角等于入射角得：，， 依题意得：，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 设，则， ，， ， ， ， 当时，， ， ． 即． 故答案为：；． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$