17.4 三角形全等的判定（九大题型提分练）（题型专练）数学新教材沪教版七年级下册

17.4 三角形全等的判定 题型一 用SSS证明三角形全等 1．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点C、D在的异侧，，，请说明与全等的理由．      【答案】见解析 【分析】根据可证与全等． 【详解】解：在与中， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 3．（2023·云南玉溪·三模）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定方法解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 4．（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，连接，试说明． 【答案】见解析 【分析】根据SSS推出∠ABD≌△CBD即可． 【详解】解： 在△ABD和△CBD中， ， ∴∠ABD≌△CBD（SSS） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 题型二 用SAS证明三角形全等 1．（2022七年级下·上海·专题练习）已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， 在与 中 ， ， ． （2）（2）， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．（22-23七年级下·甘肃白银·期末）如图，，，和全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：，理由为： 在和中， ， ∴． 3．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 平行线的性质，由线段的和差关系可得出，由平行线的性质可得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵ ∴ 在和中， ∴． 4．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且， 求证：．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由平行线的性质可得出，然后用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型三 用ASA或AAS证明三角形全等 1．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？ 解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝（    ），∠ECB＝（ 　   　）． 由∠ABC＝∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝∠ECB（ 　   　）． 在△BDC与△CEB中， 　 　， 　 　 （ 　   　）， 　 　 （    ）． 所以△BDC≌△CEB（ASA）． 【答案】∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知 【分析】根据角平分线的定义可证得∠DBC＝∠ECB，再证明△BDC≌△CEB． 【详解】解：△BDC与△CEB全等， 因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB）， 由∠ABC＝∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝∠ECB（ 等量代换）， 在△BDC与△CEB中， ， 所以△BDC≌△CEB（ASA）， 故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以 ( ) 因为点是边的中点， 所以 在和中， 所以( ) 所以( ) 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；对顶角相等；；；全等三角形对应边相等 【分析】把每一步的因果关系加以识别，即可运用相关的结论填写解题过程和依据． 【详解】解：因为（已知）， 所以∠E（两直线平行，内错角相等） 因为点是边的中点， 所以BD=CD． 在和中， （对顶角相等） 所以（AAS） 所以（全等三角形的对应边相等） 【点睛】本题考查了平行线的性质、线段的中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识点，熟知上述各个知识点是解题的基础，根据每一步的因果关系对出现的相关的角或线段加以认真识别，是解题的关键． 3．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？ 【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析 【分析】根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可． 【详解】解：△BDO与△CEO全等； ∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB， 又∵∠ADC＝∠AEB， ∴∠BDO＝∠CEO， ∵在△BDO与△CEO中，， ∴△BDO≌△CEO（AAS）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 【答案】证明见解析． 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据平行线的性质得出，，根据即可证明≌． 【详解】证明：是中边上的中线， ， ， ，． 在与中， ， ≌． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．也考查了三角形的中线以及平行线的性质． 题型四 用HL证明三角形全等 1．（2024七年级下·上海·专题练习）已知：如图，，，平分，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．在上取一点，使，进而利用证明与全等，进而证明与全等，进而解答即可． 【详解】证明：在上取一点，使， 平分， ， 在与中， ， ， ，，， ， ∴， ， ， 在与中， ， ， ， 即平分． 2．（2022七年级下·上海·专题练习）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC. 【答案】证明见解析 【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论. 【详解】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADC， ∴∠EAD＝∠ADC， ∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC， ∴∠AFC＝2∠ADC. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 4．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且； 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2）证明：在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 题型五 倍长中线模型 1．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 2．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图所示，是的边的中线．    (1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； (2)若，，求的长的取值范围． 【答案】(1)作图见详解 (2)的长的取值范围 【分析】（1）中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处； （2）由（1）可得，可知，，在中，根据三角形三边数量关系，可求出的取值范围，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所述，以点为对称中心旋转，得，    ∴与关于点成对称中心图形． （2）解：由（1）可知，与关于点成对称中心图形， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴的长的取值范围． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的作图及性质，三角形三边关系的运用，掌握以上知识的运用是解题的关键． 3．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，， (1)求边的长的取值范围？ (2)若是的中线，求取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边的关系求解即可； （2）延长至E，使，连接，证明，得到，由三角形三边关系得到，则． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， ∵， ∴； （2）解：延长至E，使，连接， 在中，∵， ∴， ∴， 由三角形的三边关系：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（21-22七年级下·广东深圳·期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围； （2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线． 题型六 旋转模型 1．（21-22七年级下·广东佛山·阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 3．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3） 【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可； （2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA 【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD ∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD， ∵AB=AC，AE=AD 在△AEC和△ADB中 ∴ △AEC≌△ADB（SAS） （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下： 将直线CE与AB的交点记为点O， 由（1）可知△AEC≌△ADB， ∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， ∵∠BOF=∠AOC，∠=90°， ∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°， ∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°- ∴∠CFA=∠DFC= 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键； 4．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 题型七 垂线模型 1．（20-21七年级下·广东深圳·期中）如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案； （2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案． （3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似． 【详解】解：（1）证明：如图1， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． （3）DE=BE-AD； 如图3，∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90° ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 题型八 添加条件使三角形全等 1．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使得，并说明理由． 【答案】添加的条件为，理由见解析（此题答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 可添加条件，利用全等三角形的判定方法即可求证， 【详解】解：添加的条件为，理由如下： 因为， 所以， 即， 在和中， ， 所以． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等： （1）根据，，得到可以利用或使，据此添加条件即可； （2）利用或证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，利用可以使； 当时，利用可以使； 故答案为：①③； （2）选①时， 在和中， 所以； 选③时， 在和中， 所以． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，点为和的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【详解】（1）解：添加的条件是． （2）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 题型九 全等三角形综合问题 1．（20-21七年级下·上海宝山·期末）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F． （1）AD和BC相等吗？为什么？ （2）BF和BD相等吗？为什么？ 【答案】（1）AD＝CB，理由见解析；（2）BF＝BD，理由见解析． 【分析】（1）由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，证明△ABD≌△CDB，证得AD＝CB； （2）由AD＝CB，BE＝AD，得BC＝BE，结合AD∥BC，得∠ADB＝∠DBF，进而得到∠EFB＝∠CDB，证明△EFB≌△CDB（AAS），证得FB＝DB． 【详解】（1）AD＝CB， 理由如下：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， 同理可得，∠ADB＝∠CBD， 在△ABD与△CDB中， ∴△ABD≌△CDB（ASA）， ∴AD＝CB； （2）BF＝BD， 理由 ∵AD＝CB，BE＝AD， ∴BC＝BE， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBF， ∵∠DEF＝∠ADC， ∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB， 即∠EFB＝∠CDB， 在△EFB与△CDB中， ， ∴△EFB≌△CDB（AAS）， ∴FB＝DB． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的证明，熟练使用以上知识是解题的关键． 2．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？ 【答案】∠B与∠C相等，理由见解答． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠B+∠DFB，再根据∠FDE＝∠B，证明∠DFB＝∠EDC，然后根据边角边定理证明△DFB与△EDC全等，根据此思路写出相关的理由与步骤即可． 【详解】解：∠B与∠C相等， 理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC， 又∵∠FDC＝∠B+∠BFD， ∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD， 又∵∠FDE＝∠B， ∴∠BFD＝∠EDC， 在△BFD和△CDE中 ， ∴△BFD≌△CDE（SAS）， ∴∠B＝∠C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键． 3．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知AF与BE相交于点O，C、D分别是AF与BE上的两点，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°． (1)请说明CD∥EF的理由； (2)分别连结CE、DF，若OE＝OF，请说明△ECD≌△FDC的理由． 【答案】(1)理由见解析； (2)理由见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质就即可； （2）根据等式的性质和平行线的性质得出CF＝DE，进而利用SAS证明全等即可． 【详解】（1）∵∠A+∠ACD＝180°， ∴， ∵， ∴． （2）∵OE＝OF， ∴∠OEF＝∠OFE， ∵， ∴∠OEF＝∠ODC，∠OFE＝∠OCD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴OC＝OD， ∴OC+OF＝OD+OE， 即CF＝DE， 在△ECD和△FDC中， ， ∴△ECD≌△FDC（SAS）． 【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定方法解答． 4．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，结合，，即可证明； （2）根据可得，，结合，即可证明，由此可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ． 1．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)见解析 (2)当为或时，的面积为 (3)或时，与全等 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 【答案】(1)见解析 (2) (3)成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （3）延长到，使，连接，证明和，得到答案； 【详解】（1）在上方作，使，连接， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴共线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了； （2）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 故答案为：； （3）结论仍然成立， 证明：延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 3．（22-23七年级下·重庆大渡口·期中）已知在四边形中，，． (1)如图1．连接，若线段平分，求的度数； (2)如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：； (3)如图3，若将P、Q改在、的延长线上，且仍然满足，其余条件不变，请你直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）证明，得出，根据，求出即可； （2）延长，在的延长线上截取，连接，证明，得出，，求出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，，求出，证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：延长，在的延长线上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：；理由如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 4．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】（1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.4 三角形全等的判定 题型一 用SSS证明三角形全等 1．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点C、D在的异侧，，，请说明与全等的理由．      2．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 3．（2023·云南玉溪·三模）如图，点在一条直线上，，求证：． 4．（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，连接，试说明． 题型二 用SAS证明三角形全等 1．（2022七年级下·上海·专题练习）已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 2．（22-23七年级下·甘肃白银·期末）如图，，，和全等吗？为什么？ 3．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 4．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且， 求证：．    题型三 用ASA或AAS证明三角形全等 1．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？ 解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝（    ），∠ECB＝（ 　   　）． 由∠ABC＝∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝∠ECB（ 　   　）． 在△BDC与△CEB中， 　 　， 　 　 （ 　   　）， 　 　 （    ）． 所以△BDC≌△CEB（ASA）． 2．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以 ( ) 因为点是边的中点， 所以 在和中， 所以( ) 所以( ) 3．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？ 4．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 题型四 用HL证明三角形全等 1．（2024七年级下·上海·专题练习）已知：如图，，，平分，．求证：平分． 2．（2022七年级下·上海·专题练习）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC. 3．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 4．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且； 求证： (1) (2)． 题型五 倍长中线模型 1．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 2．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图所示，是的边的中线．    (1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； (2)若，，求的长的取值范围． 3．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，， (1)求边的长的取值范围？ (2)若是的中线，求取值范围？ 4．（21-22七年级下·广东深圳·期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 题型六 旋转模型 1．（21-22七年级下·广东佛山·阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 3．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 4．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 题型七 垂线模型 1．（20-21七年级下·广东深圳·期中）如图，已知：在中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 题型八 添加条件使三角形全等 1．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使得，并说明理由． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，点为和的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 题型九 全等三角形综合问题 1．（20-21七年级下·上海宝山·期末）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F． （1）AD和BC相等吗？为什么？ （2）BF和BD相等吗？为什么？ 2．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？ 3．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知AF与BE相交于点O，C、D分别是AF与BE上的两点，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°． (1)请说明CD∥EF的理由； (2)分别连结CE、DF，若OE＝OF，请说明△ECD≌△FDC的理由． 4．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 1．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 3．（22-23七年级下·重庆大渡口·期中）已知在四边形中，，． (1)如图1．连接，若线段平分，求的度数； (2)如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：； (3)如图3，若将P、Q改在、的延长线上，且仍然满足，其余条件不变，请你直接写出、、之间的数量关系． 4．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$