18.1.2（第2课时）平行四边形的判定（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

18.1.2(第2课时) 平行四边形的 判定（2） 第18章 平行四边形 高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？ B A 如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？ D C 四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 猜想： 思考： 思考： 如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形. A B C D 2 1 证明：连接AC. ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2. 在△ABC和△CDA中, AB=CD， AC=CA， ∠1=∠2， ∴△ABC≌△CDA(SAS)， ∴BC=DA .又∵AB= CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 转化为三角形的证明 平行四边形的判定5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言： 在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 例1 如图 ，平行四边形ABCD的对角线交于点O,以OD,CD为邻边作平行四边形DOEC,OE交BC于点F，连接BE.求证：四边形ABEO是平行四边形. 例2 如图 ，已知△ABC和△ADE均是等边三角形，点D在线段BC上，过点E作EF∥BC,交AB于点F，交AC于点G,连接CF,DG. （1）求证：EF=CD; 例2 如图 ，已知△ABC和△ADE均是等边三角形，点D在线段BC上，过点E作EF∥BC,交AB于点F，交AC于点G,连接CF,DG. （2）求证：四边形BFGD时平行四边形. 例3 如图 ，在平行四边形ABCD中，点G,H分别是AB,CD的中点，且GE⊥AC 于E，HF⊥AC于F.求证：(1)△AGE△CHF; 例3 如图 ，在平行四边形ABCD中，点G,H分别是AB,CD的中点，且GE⊥AC 于E，HF⊥AC于F.求证： (2)四边形EGFH是平行四边形. 例4 如图 ，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在DA,BC的延长线上，且DE=BF.求证：四边形AECF是平行四边形. 例5 如图 ，在平行四边形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，点M,N在AC上，且AN=CM.求证：四边形EMFN是平行四边形. 例6 如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F， 求证：四边形ABED为平行四边形． 证明：∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC． 即BC=EF． 又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F， ∴△ABC≌△DEF， ∴AB=DE. ∵∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． ∴四边形ABED是平行四边形． 例7 如 图 , 四边形 ABCD 的对角线AC ⊥ BD 于点 E, AB = BC, F为 四边形 ABCD 外的一点 , 且 ∠ FCA = 90 ° , ∠ CBF =∠ DCB ． (1)求证：四边形 DBFC 是平行四边形； (2)如果 BC 平分 ∠ DBF, ∠ F = 45 ° , BD = 2 , 求 AC的长 . 解　 (1) 证明： ∵ AC ⊥ BD, ∠ FCA = 90 ° , ∴ BD ∥ CF. ∵∠ CBF =∠ DCB, ∴ CD ∥ BF, ∴ 四边形 DBFC 是平行四边形 . 例7 (2) ∵ 四边形 DBFC 是平行四边形 , ∴ CF = BD = 2 . ∵ AB = BC, AC ⊥ BD, ∴ AE = CE. 如图 , 过点 C 作 CM ⊥ BF 于点 M. ∵ BC 平分 ∠ DBF, ∴ CE = CM. ∵∠ F = 45 ° , ∴△ CFM 是等腰直角三角形 , 从而 CM2 + MF2= 2 CM2=CF2, ∴ CM =CF =, ∴ AE = CE = , ∴ AC = 2 . 判定05 运用 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的性质与判定的综合运用 平行四边形的判定(2) 1.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （　　） A．AF=CE B．AE=CF C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE B 2. 已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为20cm，两邻边的比是 3：2，则较大边的长度是（　 ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm C 3.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是 （　　） A．AB∥CD，AB=CD B．AB∥CD，BC∥AD C．AB∥CD，BC=AD D．AB=CD，BC=AD C 4.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(　　) A．3种　　B．4种　　C．5种　　D．6种 B O D A C B 5.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形． 证明：∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 在△ACE和△DBF中， AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF , ∴△ACE≌△DBF(SAS)， ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF， ∴CE∥BF， ∴四边形BFCE是平行四边形． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD，EB //FD． 又∵EB = AB ，FD = CD， ∴EB =FD ． ∴四边形EBFD是平行四边形． 6.如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形. A B C D E F 证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形， ∴AD∥ EF，AD=EF， EF∥ BC， EF=BC. ∴AD∥ BC，AD=BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 7.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形. 8.如 图 , 在四边形 ABCD 中 , AD ∥ BC, 且 AD ＞ BC, BC = 6 cm , 点 P, Q 分别从点 A, C同时出发 , 点 P 以 1 cm/s 的速度由点 A 向点 D 运动 , 点 Q 以 2 cm/s 的速度由点 C 向点 B运动 . 当其中一点到达终点时 , 另一点随之停止运动 . 几秒后四边形 BQP 是平行四边形？ 解:∵ AD ∥ BC, ∴ AP ∥ BQ. 只有当 AP = BQ 时 , 四边形 ABQP 是平行四边形 . 设 t 秒后四边形 ABQP 是平行四边形 , 此时 , AP = t, BQ = 6 - 2 t, ∴ t = 6 - 2 t, 解得 t = 2 . 即 2 s 后四边形 ABQP 是平行四边形 . 已知条件 选择的判定方法 边 一组对边相等 “两组对边分别相等”或 “一组对边平行且相等” 一组对边平行 “两组对边分别平行”或 “一组对边平行且相等” 对角线 “对角线互相平分” 角 “两组对角分别相等” $$