22.1.1 二次函数教学设计-2024-2025学年人教版九年级数学上册

第二十二章二次函数22.1.1 二次函数 【核心素养目标】 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式。（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题。 3.会列二次函数表达式解决实际问题。（难点） 【教学重难点】 本节课的教学重点为理解掌握二次函数的概念和一般形式，教学难点是会列二次函数表达式解决实际问题。从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。 【教学过程】 一、情境导入，初步认识 问题 1 小丽同学想用废旧纸盒制作一些正方体，然后在正方体的表面进行书法展示，设正方体的棱长是 x，表面积是 y，你能写出 y 与 x 之间的关系式吗？ y=6x2 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 问题 2 皇山小学的几位同学非常热爱书画，他们想在文化节期间举行的展会上将自己在课余时间创作的一些作品进行展出，于是他们请学校帮忙申请了一块场地，几位同学准备了 60 米的材料，准备围城一个矩形的展区（如图所示），设垂直于墙的一边为 a，面积为 S，请你写出 S 与 a 之间的关系式。 S=a(30-a) S=-a2+30a 对于a的每一个值，S都有唯一确定的值与其对应，即S是a的函数 问题 3 初中生小明想批发一些非遗漆扇，在文化节的展会上进行摆摊售卖，赚取一些零花钱，他通过市场调查发现，进价 5 元的漆扇，如果定价 8 元，每天可以卖出 30 把，每涨价 1 元，就会少卖出 2 把，请写出利润 W 与涨价 m 之间的关系式。 W=(8-5+m)(30-2m) W=-2m2+24m+90 对于m的每一个值，W都有唯一确定的值与其对应，即W是m的函数 二、思考探究，获取新知 全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导。在同学们基本完成情形下，教师再针对问题 2 和问题 3，要求同学们对关系式进行化简整理。 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与函数的关系的重要模型。 思考函数 y=6x2，S= -a2+30a, W=-2m2+24m+90 有哪些共同点？ 1.函数关系式； 2.函数解析式是整式； 3.自变量的最高次数是2 【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习。 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数的定义。一般地，形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x 是自变量，a、b、c 分别是二次项系数，一次项系数和常数项。 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： （1）函数解析式是整式； （2）化简整理后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0，即a ≠0 二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0 【教学说明】 针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量 x 的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数 a≠0 是定义中不可缺少的条件；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指 ax2,二次项系数则仅是指 a 的值；同样，一次项与一次项系数也不同。 三、运用新知，深化理解 例 1 下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)y=3(x-1)2+1 (2)y=x (3)S=3-2t2 (4)y=(x+3)2-x2 (5)V=10πr2 (6)y=ax2 例 2 (1)已知函数 y=(k-2)x2-5x+3 是二次函数，求 k 的取值范围。 解：∵k-2≠0，∴k≠2 (2)已知函数 y=4xk-3+x-5 是二次函数，求 k 的值。 解：∵k-3=2，∴k=5. (3)y=(m-2)xm2-2+4 是二次函数，求 m 的取值范围和函数解析式。 解： 解得 ∴m=-2. ∴此时函数解析式为y=-4x2+4. 例 3 矩形的周长为 16cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2。求 (1)y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2)当 x=3 时，求矩形的面积。 【分析】 矩形的周长为16 长+宽=8 另一边=8-x 解：(1)y=x(8-x) (0<x<8) (2)当x=3时，y=-32+8×3=15(cm2) 练习：如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积 y与x 的关系式。 y = (30+x) x+20x+20×30 = 30x +x2+20x+600 = x2+50x+600 四、师生互动，课堂小结 1.二次函数的定义。 2.二次函数的一般形式和特殊形式。 【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义， 教师可与学生一起回顾。 五、课堂达标 1. 下列函数是二次函数的是（ C） A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y=x-2 2. 二次函数 y=3x2-2x-4 的二次项系数与常数项的和是（B ） A.1 B.-1 C.7 D.-6 3. 已知函数 y=(a-1)x2+3x-1,若 y 是 x 的二次函数,则 a 的取值范围是a≠1。 4. 某种商品的价格是 2 元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是 x，则经过两次降价后的价格 y（单位：元）与每次降价的百分率 x 的函数关系式是y=2(1-x)2。 5. 正方形的边长为 10cm，在中间挖去一个边长为 xcm 的正方形，若剩余部分的面积为 ycm2，则 y 与 x 的函数关系式是 y=100-x2，x 的取值范围0＜x＜10。 6. 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点 P 从点 A 开始沿边AB 向终点 B 以每秒 2 个单位长度的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 以每秒 4 个单位长度的速度向终点 C 移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，写出△PBQ 的面积 S 与出发时间 t（s）的函数关系式及 t 的取值范围。 解：依题意，得AP=2t, BQ=4t. ∵AB=12, ∴PB=12-2t, S=PB∙BQ=(12-2t) ∙4t=-4t2+24t t的取值范围为0≤t≤6. 【教学说明】学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解。从简单的应用开始，及时巩固新知，从多个角度进行考察，让学生获得对二次函数深层次的理解，达到学有所成的目的。 六、课后作业 1.教材第 29 页练习第 1 题，教材第 41 页习题 22.1 第 1，2 题。 2.收集文化节的资料照片或视频，进行课前展示。 学科网（北京）股份有限公司 $$