第二章 二元一次方程组 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

第二章 二元一次方程组 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二元一次方程组全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 3．（2024·浙江温州·模拟预测）某校九年级师生共496人，准备组织去某地参加综合社会实践活动．现已预备了46座和52座两种客车共10辆，刚好坐满．设46座客车x辆， 52座客车y辆 ，根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（   ） A．1 B． C．5 D．14 5．（24-25七年级下·四川内江·期末）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 6．（16-17七年级下·甘肃平凉·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 8．（23-24七年级上·浙江丽水·期中）一个自然数，把它各数位上的数字从最高位到个位依次排列得到一串数字，再把它各数位上的数字从个位到最高位依次排列，得到另一串数字，如果两串数字完全相同，我们就把这样的自然数称为“回文数”．例如22，323，4664，567765等都是“回文数”．已知一个三位数是能被11整除的“回文数”，则符合条件的三位数的个数有（　　） A．8个 B．9个 C．24个 D．33个 9．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于、的方程组得出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①④ D．②③④ 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知，若用含的代数式表示，则 ． 12．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，则 ． 13．（2023·浙江金华·一模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ．   14．（2024·浙江宁波·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ． 15．（2020·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 16．（24-25七年级下·浙江台州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是 ； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为 ． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）解下列方程（组）： (1)； (2)． 18．（2024七年级下·浙江·专题练习）解方程组时，甲看错了，结果解得，乙看错了，解得，求方程组的正确解． 19．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解． (1)求方程组正确的解． (2)求a，b的值． 20．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 21．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 22．（2024九年级下·浙江·专题练习） 奖项设置和采购方案 材料1 某校为表彰在“七年级数学实践活动周”活动中表现突出的学生，准备购买一些奖品并分别设置了一等奖、二等奖和三等奖．已知买5盒水笔和3本笔记本共需130元，其中一盒水笔比一本笔记本贵10元． 材料2 本次活动的奖顶设置如表： 奖项设置 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 人数（人） m(0<m<18) 18 30 张老师做完预算后，向财务处王老师说：“这次购买奖品共需花费1446元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买了奖品，那么钱肯定算错了．” 材料 张老师突然想起，所做的预算中还包括活动组织者让他买的一支签字笔，已知签字笔的单价不大于10元且为整数． 解决问题 任务1 探究商品单价 请运用适当的方法，求出每盒水笔和每本笔记本的价格． 任务2 探究算错原因 请你用学过的知识解释王老师为什么说张老师算错了． 任务3 探究签字笔价格 请你用学过的知识求出签字笔的单价． 23．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． (1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ． ①，②，③． (2)若数对是“差积等数对”，求的值． (3)是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 24．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二元一次方程组 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二元一次方程组全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此判断即可． 【详解】A. ，不是二元一次方程组，不符合题意； B. ，是二元一次方程组，符合题意； C. ，不是二元一次方程组，不符合题意； D. ，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程组的定义即可解答． 【详解】∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：． 故选：A 3．（2024·浙江温州·模拟预测）某校九年级师生共496人，准备组织去某地参加综合社会实践活动．现已预备了46座和52座两种客车共10辆，刚好坐满．设46座客车x辆， 52座客车y辆 ，根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据两种客车共10辆，可得方程，根据496人刚好坐满，可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设46座客车x辆，52座客车y辆， 由题意得，， 故选：C 4．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（   ） A．1 B． C．5 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5．（24-25七年级下·四川内江·期末）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克， 由题意，得：，解得：， ∴一块巧克力的质量为； 故选：A． 6．（16-17七年级下·甘肃平凉·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入先求出，再代入求出．解题的关键是理解方程组解的定义． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴分别为方程和的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 故选：A． 7．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 8．（23-24七年级上·浙江丽水·期中）一个自然数，把它各数位上的数字从最高位到个位依次排列得到一串数字，再把它各数位上的数字从个位到最高位依次排列，得到另一串数字，如果两串数字完全相同，我们就把这样的自然数称为“回文数”．例如22，323，4664，567765等都是“回文数”．已知一个三位数是能被11整除的“回文数”，则符合条件的三位数的个数有（　　） A．8个 B．9个 C．24个 D．33个 【答案】A 【分析】本题考查一次方程的应用，整式的加减．设这个三位数为，根据这个三位数是能被11整除的，得到的关系，即可． 【详解】解：设这个三位数为， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵，且均为整数， ∴当时，， 当 时，， ∴符合条件的回文数有121，242，363，484，616，737，858，979，共8个； 故选A． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于、的方程组得出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④不存在使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①把看做已知数表示出方程组的解，把代入求出与的值，代入方程检验即可；②令求出的值，即可作出判断；③把与代入中计算得到结果，判断即可；④令求出的值，判断即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 当时，，， 把，代入得：左边，右边，所以当时，方程组的解也是方程的解，故①正确； 当时，，即，故②正确； ，无论为什么实数，的值始终不变，为，故③正确； 令，即，即，存在，故④错误； 则正确的结论是①②③， 故选． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个， 根据题意得：， 整理得：m+n＝5（x+y）， ∵x、y都是正整数， ∴m+n是5的倍数， ∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数， ∴m+n的值可能是2020． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知，若用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，y看作未知数． 将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 12．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用方程组的解的情况求参数，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．首先把两方程相加求出，再根据方程组的解互为相反数，即可得的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， 又x与y互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：2． 13．（2023·浙江金华·一模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ．   【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于，的二元一次方程，变形后，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：6． 14．（2024·浙江宁波·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出、的值． 【详解】解：方程组可化为， 关于、的方程组的解为， 方程组的解是，即， 故答案为：． 15．（2020·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系． 16．（24-25七年级下·浙江台州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是 ； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为 ． 【答案】 （－3，－2） 1或37 【分析】（1）根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间”；（2）根据“雅区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出c的值． 【详解】（1）∵-3＜＜-2， ∴的“雅区间”是（－3，－2）， 故答案为：（－3，－2）． （2）∵（m，n）是“雅区间”， ∴m和n是相邻的两个整数， 又∵0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解， ∴符合条件的m和n有①m=3，n=4；②m=8，n=9； 当m=3，n=4时，将x=3，y=2代入mx﹣ny＝c得，c=3×3-4×2=1； 当m=8，n=9时，将x=8，y=3代入mx﹣ny＝c得，c=8×8-9×3=37； ∴c的值为1或37， 故答案为：1或37． 【点睛】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）解下列方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 将②代入①得： 解得 将代入②得： ∴方程组的解为：； （2） 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 18．（2024七年级下·浙江·专题练习）解方程组时，甲看错了，结果解得，乙看错了，解得，求方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的方法，需要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．首先根据甲看错了，求出的值是多少，然后根据乙看错了，求出的值是多少；最后应用加减消元法，求出方程组的正确解即可． 【详解】解：根据题意，可得 ， 解得：， ， 解得：； ，可得： ， 把代入，解得：， ∴方程组的正确解是． 19．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解． (1)求方程组正确的解． (2)求a，b的值． 【答案】(1) (2)a的值是，b的值是 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系． （1）由题意得，解方程组即可解答． （2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一共关于a、b的方程组求解即可． 【详解】（1）∵方程组和方程组有相同的解， ∴， ①+②得，解得， 将代入①得， ∴方程组的解为． （2）∵方程组和方程组有相同的解， ∴可得新方程组， 解得：， 把，代入，得， 解得． 故a的值是，b的值是． 20．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花． (1)如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长； (2)如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)小长方形的相邻两边长分别是，． (2)为定值，过程见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用和代数式： （1）设小长方形的宽为，长为，依题意，得，求解即可； （2）根据题意可知个小长方形的周长，根据题意可知，，大长方形的周长． 【详解】（1）设小长方形的宽为，长为． 根据题意，得 解得 答：小长方形的相邻两边长分别是，． （2）是定值，理由如下： 根据题意可知个小长方形的周长． 根据题意可知，，大长方形的周长． 可得 ． 所以，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为． 21．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 22．（2024九年级下·浙江·专题练习） 奖项设置和采购方案 材料1 某校为表彰在“七年级数学实践活动周”活动中表现突出的学生，准备购买一些奖品并分别设置了一等奖、二等奖和三等奖．已知买5盒水笔和3本笔记本共需130元，其中一盒水笔比一本笔记本贵10元． 材料2 本次活动的奖顶设置如表： 奖项设置 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 人数（人） m(0<m<18) 18 30 张老师做完预算后，向财务处王老师说：“这次购买奖品共需花费1446元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买了奖品，那么钱肯定算错了．” 材料 张老师突然想起，所做的预算中还包括活动组织者让他买的一支签字笔，已知签字笔的单价不大于10元且为整数． 解决问题 任务1 探究商品单价 请运用适当的方法，求出每盒水笔和每本笔记本的价格． 任务2 探究算错原因 请你用学过的知识解释王老师为什么说张老师算错了． 任务3 探究签字笔价格 请你用学过的知识求出签字笔的单价． 【答案】任务1：每盒水笔的价格为20元，每本笔记本的价格为10元； 任务2：张老师算错了，理由见详解； 任务3：6元 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的应用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键． （任务1）设每本笔记本的价格为x元，则每盒水笔的价格为元，利用总价等于单价乘以数量，结合买5盒水笔和3本笔记本共需130元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出每本笔记本的价格，再将其代入中，即可求出每盒水笔的价格； （任务2）利用总价等于单价乘以数量，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再结合m为正整数，即可得出张老师算错了； （任务3）设签字笔的单价为n元，利用总价等于单价乘以数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数且，即可得出结论． 【详解】解：（任务1）设每本笔记本的价格为x元，则每盒水笔的价格为元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：每盒水笔的价格为20元，每本笔记本的价格为10元； （任务2）张老师算错了，理由如下： 根据题意得：（2×20+10）m+（20+10）×18+2×10×30=1446， 解得：， 又∵m为正整数， ∴不符合题意， ∴张老师算错了； （任务3）设签字笔的单价为n元， 根据题意得：， ∴． 即 又∵m，n均为正整数，且， ∴应被50整除， ∴， ∴， ∴签字笔的单价为6元． 23．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． (1)下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ． ①，②，③． (2)若数对是“差积等数对”，求的值． (3)是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)②；① (2) (3)存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对” 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则运算，理解“和积等数对”和“差积等数对”的定义是解题的关键． （1）根据题目所给定义进行逐个计算判断即可； （2）根据定义建立方程，再求解x即可； （3）根据新定义可得，可用m来表示n，代入方程即可求解m，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴是“差积等数对”； ∵ ∴， ∴是“和积等数对”； ∵ ∴既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”； 故答案为：②；① （2）解：∵数对是“差积等数对”， ∴， 解得：； （3）解：存在， ∵数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”， ∴， ∴， 即， 把代入得：， 解得：， ∴． 即存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”． 24．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)40个竖式无盖，80个横式无盖； (2)能，理由见解析 (3)240或245 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意，得： ，解得：； 答：可做40个竖式无盖纸盒，80个横式无盖纸盒； （2）能；理由如下： ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：； ∴当制作竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为． （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：， ∵纸板的使用率为， ∴均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴丙种纸板的数量为张或张． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$