专题05 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题05 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义是解决本题的关键． 根据含有两个未知数且未知数的次数是1的方程二元一次方程，逐项判定即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据二元一次方程的定义，得 ， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）下列各式中属于二元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是二元一次方程； ②是二元一次方程； ③是二元一次方程； ④中未知数项的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程； ⑤是代数式，不是方程； ⑥不是整式方程，不是一元二次方程； ⑦整理后为，是二元一次方程． 故属于二元一次方程的有①②③⑦，共4个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得且，，进而求解即可． 【详解】由题意可得且，， 解得，． 故答案为：，1． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若是方程的一个解，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将方程的解代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】解：把代入方程得： ， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）若是关于的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，将二元一次方程的解代入方程求解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程中得：， 解得：． 故答案为：5． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）把改写：用含的式子表示，得 ；用含的式子表示，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把x看作已知数求出y；把y看作已知数求出x即可． 【详解】解：， 解得：；， 故答案为：； 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）方程组中，不属于二元一次方程组的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据由两个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：不是整式方程组，不是二元一次方程组， 是二元一次方程组， 是二元二次方程组，不是二元一次方程组， 故选C． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）在下列方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题是考查对二元一次方程组的识别，分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”． 【详解】解：方程组，，符合二元一次方程组的定义，符合题意， 方程组中不满足二元一次方程的定义，不符合题意， 方程组中的第一个方程不是整式方程，不符合题意． 故选：B． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【答案】 3或2 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．（2024八年级上·全国·专题练习）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是用代入法进行检验．所谓方程组的解，是指未知数的值满足方程组中的每一个方程，据此分别代入即可判断． 【详解】解：把代入方程组， 可知满足方程组中的每一个方程， 故是此方程组的解， 故选：B． 11．（24-25七年级下·福建福州·期中）方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用整体的思想，得，解得； 【详解】解：由题意，得，解得， 故选：A 【点睛】本题考查二元一次方程组解的定义；运用整体的思想是解题的关键． 12．（24-25七年级下·河南漯河·期末）是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如1+3=4，1-3=-2，然后用x，y代换，得． 【详解】解：先围绕列一组算式， 如1+3=4，1-3=-2， 然后用x、y代换，得 ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，所谓方程组的解，指的是该组解满足方程组中的每一方程． 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 13．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知是二元一次方程组的解，则等于（   ） A．11 B．9 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴，即， ∴， 故选：C． 14．（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）方程组的解为，则被遮盖的和两个数分别为（   ） A．1、2 B．4、2 C．1、5 D．2、4 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 把代入中求出的值，确定出的值即可． 【详解】解：把代入中， 得：， 把，代入得：． 则被遮盖的和两个数分别为4，2． 故选：B． 15．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解．把代入方程组，求出m，n的值，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 【易错必刷六 代入消元法解二元一次方程组1】 16．（23-24七年级下·全国·期中）用含x的代数式表示y或用含y的代数式表示x． (1)已知，则 ． (2)已知，则 ． (3)已知，则 ． (4)已知，则 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程，把一个未知数看作常数求解是解答本题的关键． （1）把y移项即可； （2）把移项即可； （3）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （4）根据移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用代入消元法求解即可． 【详解】解：， ①代入②，得， 解得． 把y的值代入①，得． 所以方程组的解是． 18．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①，得③， 将③代入②，得，解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 【易错必刷七 加减消元法解二元一次方程组2】 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： ①②，得，解得． 将代入①，得，解得， 原方程组的解是； （2）解： ，得， 将代入①，得，解得， 原方程组的解是． 20．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得，解得． 把代入①，得， 原方程组的解为； （2） ，得． 把代入①，得， 原方程组的解为 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得． ，得． ，得，即． 把代入，得， 解得． 所以原方程组的解为 （2），得． ，得． ，得，即． 把代入，得， 解得． 所以原方程组的解为 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）设，则原方程组可变形为，然后进行求解即可； （2）设，则原方程组可变形为，然后进行求解即可 【详解】（1）解：设，则原方程组可变形为， 解得， 从而得方程组， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：设，则原方程组可变形为， 解得， 从而得方程组， 解得 故原方程组的解为 23．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 24．（23-24七年级下·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成任务： 解方程组，某同学提供了如下解法： 解：设，，则原方程可化为，解得， ∴，解得 ∴原方程组的解为 任务： (1)由上述解法可以看出，对于一些较复杂的解方程组问题，若把其中某些部分看成一个______，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． (2)已知关于x，y的方程组的解为，则关于a，b的方程组的解为______． (3)利用上述方法解方程组：． 【答案】(1)整体 (2)； (3)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）根据题意解答即可； （2）仿照题目提供的思路，利用换元法进行计算即可解答； （3）仿照题目提供的思路，利用换元法进行计算即可解答． 【详解】（1）解：若把其中某些部分看成一个整体，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． 故答案为：整体； （2）解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于a，b的方程组的解为， ∴解得； 故答案为：； （3）解：设，，则原方程可化为， 解得， ∴， 解得． 【易错必刷九 同解方程组】 25．（24-25七年级下·全国·期末）关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】这道题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，解题的关键是通过重新联立方程组求出两个方程组的公共解．将两个方程组中的方程与重新联立方程组成方程组，求出相同解，然后将这个解代入到方程和方程中，得到关于和的方程组，最后解这个方程组，得到和的值，然后计算即可． 【详解】解：解方程组，解得， 将代入方程组，得， 解这个方程组得，， ， 故选：C． 26．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的概念． 解方程组得出，代入到得到关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴的解和的解相同， 解方程组得：， 将代入得， 解得， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，则这个解是关于，的二元一次方程和的解，即这个解是的解． （2）是关于，的二元一次方程和的解，即是关于，的二元一次方程组的解，将代入关于，的二元一次方程组，可得到关于，的二元一次方程组． 【详解】（1）因为关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，则这个解是关于，的二元一次方程和的解，即这个解是的解． 解，得 ． 所以，这个相同的解为． （2）根据题意可知，是关于，的二元一次方程和的解，即是关于，的二元一次方程组的解． 将代入关于，的二元一次方程组，得 ． 解得 ． 所以，． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组，能根据题意构建二元一次方程组是解题的关键． 【易错必刷十 二元一次方程组的错解复原问题】 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参的二元一次方程组．根据方程组的解满足没有看错的二元一次方程，求出，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意，得：，满足；满足， ∴， ∴， ∴原方程组为：，解得：； 故选：B． 29．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）若方程组的的解是，某学生看错了c，求出解为，则正确的 ， ． 【答案】 1 【分析】把两个解代入第一个方程组的第一个方程，把第二个解代入方程组的第二个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴把代入方程组得：， 整理得：， 某同学又看错了c，求出解为，代入得：②， ①②联立得： ， 解得． 故答案是：1，． 【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义，正确得到方程组，解方程组是解题的关键． 30．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，正确理解定义是解题的关键． 把，代入方程即可得到一个关于，的方程组，即可求得，的值，把代入方程即可求得的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 把代入方程，得到：， 解得：． 故，，． 【易错必刷十一 构造二元一次方程组求解】 31．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）若实数，满足，则的值为（    ） A． B．8 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出x、y，进而求解. 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴； 故选：D. 【点睛】本题考查了非负数的性质和二元一次方程组的求解，熟练掌握非负数的性质、正确求解方程组是关键. 32．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据题意，得到关于的二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∴； 故答案为：10． 33．（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查定义新运算，二元一次方程组的运用，理解新定义的运算方法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据新定义运算的规则可得关于的二元一次方程组，运用加减消消元法即可求解； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 解得，． 【易错必刷十二 根据实际问题列二元一次方程组】 34．（2025·福建泉州·一模）某班有人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的倍，设有人挑水，人植树，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设有人挑水，人植树，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有人挑水，人植树， 由题意得，， 故选：． 35．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）“践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据米乐说：“我比你多收集了7节废电池．”可得，根据琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”得，据此得出二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意得 故选：A． 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓个或螺帽个，已知一个螺栓和两个螺帽配成一套，则生产螺栓和生产螺帽的工人分别为 时，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 【答案】名、名 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺帽时，能使生产的螺栓和螺帽刚好配套．根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺帽时，能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 根据题意，得 解得 生产螺栓和生产螺帽的工人分别为名、名时，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 故答案为：名、名． 【易错必刷十三 方案问题】 37．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元． (1)求两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车进价为万元，型汽车进价为万元 (2)有3中购买方案，分别是第一种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第二种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第三种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆 (3)第三种方案的利润最大，最大利润为万元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，由此列式求解即可； （2）设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆，由此列式，并根据题意，代入合适的值计算并比较即可求解； （3）根据各种方案的情况，分别计算出各自的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元， ∴， 解得，； ∴型汽车进价为万元，型汽车进价为万元； （2）解：设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆， ∴，整理得，， ∵为正整数， ∴是的倍数， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 综上所述，符合题意的有3中购买方案，分别是第一种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第二种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第三种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆； （3）解：由（2）可得，共有3种购买方案， 第一种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， 第二种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， 第三种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， ∵销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元， ∴第一种方案的利润为：（万元）， 第二种方案的利润为：（万元）， 第三种方案的利润为：（万元）， ∵， ∴第三种方案的利润最大，最大利润为万元． 38．（23-24七年级下·山东日照·期中）为实现“乡村振兴”战略目标，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，两次租用这两种货车的情况如下表： A货车（辆） B货车（辆） 总量（吨） 第一次 1 2 11 第二次 2 3 18 (1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？ (2)现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载．若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案设计出来？并算出最少费用． 【答案】(1)1辆型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送4吨； (2)3种，940元 【分析】（1）设1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满洋葱一次可运走10吨；用2辆型车和3辆型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）设租用型货车辆，型货车辆，根据一次运送31吨该农产品，即可得出关于，的二元一次方程，解之，均为非负整数，即可得出各租车方案； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送吨， 由题意可得：， 解得：， 答：1辆型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送4吨； （2）设租用型货车辆，型货车辆， 由题意可得：, ， 又，均为非负整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆型车，1辆型车； 方案2：租用5辆型车，4辆型车； 方案3：租用1辆型车，7辆型车， 方案1的费用：（元）， 方案2的费用：（元）， 方案3的费用：（元）， ， 方案3最省钱． 39．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段练习）根据以下素材，尝试解决问题． 如何获得更高的销售额？ 素材1 为预防新冠肺炎病毒，市面上等防护型口罩出现热销． 已知3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元． 素材2 小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售 问题解决 任务1 一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ 任务2 根据素材二，小红有多少种不同的购买方案？请设计出来。 【答案】任务1：一个型口罩5元，一个型口罩8元；任务2：两种方案，分别为型口罩购买8个，型口罩购买13个；或型口罩购买16个，型口罩购买6个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列二元一次方程（组是解决本题的关键． 任务1：根据题意，列二元一次方程组求解即可； 任务2：根据题意，可得，将二元一次方程中和分别取正整数值，即可得出购买方案． 【详解】解：任务1：依题意，设一个型口罩和一个型口罩的售价各是元和元， 根据题意，得， 解得， 一个型口罩5元，一个型口罩8元． 任务2：设购买型口罩个，型口罩个， 根据题意，得， 即，且，都为正整数 满足条件的，有：，或，， 小红有2种购买方案： 第一种方案：型口罩购买8个，型口罩购买13个； 第二种方案：型口罩购买16个，型口罩购买6个． 【易错必刷十四 行程问题】 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 【答案】(1)甲，乙两人的速度分别是 (2)出发时丙在甲，乙前面，丙的速度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设甲，乙两人的速度分别为：，；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方，丙的速度是，根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲，乙两人的速度分别为：，； 根据题意得，， 解得：， 答：甲，乙两人的速度分别为：； （2）解：设丙在甲乙前方，丙的速度是， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方，丙的速度是． 41．（24-25七年级下·山东威海·期末）从小明家到公园有一段上坡路和一段平路．周末，小明到公园玩耍，如果上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，小明从家到公园需要1小时，从公园回到家需要48分钟．请问从小明家到公园的上坡路和平路各多少千米． 【答案】上坡路为千米，平路长为2千米 【分析】设从小明家到公园上坡路为千米，平路长为千米，根据时间路程速度结合小明从家到公园需要1小时，从公园回到家需要48分钟，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：从小明家到公园上坡路为千米，平路长为千米，根据题意得： ， 解得． 答：从小明家到公园上坡路为千米，平路长为2千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 42．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）为了解长江某段的水污染状况，某校七年级一班在甲、乙两码头间组织实地考察活动．已知当天水流速度是，轮船顺流航行用了5小时，逆流航行用了7小时，求甲、乙两码头的距离以及船在静水中的速度． 【答案】船在静水中的速度为，甲乙两码头的距离为 【分析】设船在静水中的速度为，甲、乙两码头的距离为，根据轮船顺流航行用了5小时，逆流航行用了7小时列出方程组求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，甲、乙两码头的距离为， 由题意得，， 解得， ∴船在静水中的速度为，甲乙两码头的距离为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 【易错必刷十五 工程问题】 43．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 【答案】1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设1台大面粉机每小时加工小麦吨，1台小面粉机每小时加工小麦吨，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设1台大面粉机每小时加工小麦吨，1台小面粉机每小时加工小麦吨， 由题意得，， 解得：， 答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨． 44．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， （1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了p天，乙队修建了q天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）根据二元一次方程组可知：组中未知数x表示的是甲工程队修建的米数，未知数y表示的是乙工程队修建的米数， 故答案为：甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 45．（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车； (2)所抽调的熟练工的人数为人． 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据关键语句：①1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，②名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，列出方程组即可； （2）设需熟练工m名，根据题意可得等量关系n名新工人一年安装的电动汽车数名熟练工一年安装的电动汽车数辆，根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车， 根据题意可列方程，， 解得． 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车； （2）解：设需熟练工m名， 依题意有：， 整理得：． 所抽调的熟练工的人数为人． 【易错必刷十六 数字问题】 46．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 【答案】原两位数是35． 【分析】根据题意的等量关系即可得出方程组，解出方程组即可得出原来的两位数． 【详解】（1）解：原来的两位数为，新的两位数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 故原两位数是35． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字个位数字． 47．（2022八年级上·全国·专题练习）有一个两位数，个位上的数比十位上的数的3倍多2，若把个位数与十位数对调，所得新的两位数比原来的两位数的3倍少2，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是28． 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即个位的数=十位的数的3倍．个位的数十位上的数=（个位的数+十位的数，根据这两个等量关系可列出方程组． 【详解】解：设原来的两位数中，个位上的数为x，十位上的数为y． 依题意有， 解得． 答：原来的两位数是28． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程组，再求解．弄清两位数的表示是：10×十位上的数+个位上的数． 48．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值． 【答案】m=15，n=9 【分析】右边的数为，的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】根据题意以及表格数据， 有：， 解得， 答：m的值为15，n的值为9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键． 【易错必刷十七 分配问题】 49．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 50．（24-25八年级上·全国·课后作业）某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 【答案】不存在恰好配套，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套，根据配套可得出，解出x，y的值，即可判断出结果． 【详解】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺母恰好配套， 依题意，得， 解得： 因为求出的x，y的值不是整数， 所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套． 51．（23-24八年级上·广东深圳·期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【答案】租住了三人间8间、双人间13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设三人间有a间，双人间有b间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住了三人间8间、双人间13间． 【易错必刷十八 销售利润问题】 52．（24-25八年级上·河北保定·期末）在春节来临之际，某商场计划采购A，B两种商品，这两种商品的进价和售价如下表所示． A B 进价/（元/件） 30 50 售价/（元/件） 50 80 (1)若该商场花费7600元购进A，B两种商品共200件，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ (2)若商场花费5700元购进A，B两种商品若干件，全部售出后可获利3600元，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ 【答案】(1)该商场购进A种商品120件，B种商品80件 (2)该商场购进A种商品90件，B种商品60件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设购进A种商品件，B种商品件，根据商场用7600元购入这两种商品，列出二元一次方程组，解方程组即可． （2）设购进A种商品件，B种商品件，根据商场用5700元购入这两种商品全部售出后可获利3600元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设购进A种商品件，B种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：该商场购进A种商品120件，B种商品80件． （2）解：设购进A种商品件，B种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：该商场购进A种商品90件，B种商品60件． 53．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． (1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； (2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 【答案】(1)1副春联元，1个灯笼元 (2)该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程的解，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设1副春联元，1个灯笼元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个，由此列式，并判定二元一次方程的解． 【详解】（1）解：已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元， ∴设1副春联元，1个灯笼元， ∴， 解得，， ∴1副春联元，1个灯笼元； （2）解：该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个， ∴， ∵都是正整数， ∴，即是3的倍数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个． 54．（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 【易错必刷十九 和差倍分问题】 55．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明与班上同学一起到教育基地参观，该班共有50人参观了教育基地，且男生人数比女生人数的1.5倍多5．求小明班上参观教育基地的男生和女生的人数． 【答案】小明班上参观教育基地的男生人数为32，女生人数为18 【分析】考查了二元一次方程组的应用．设小明班上参观教育基地的男生人数为x，女生人数为y，根据“男生人数女生人数、男生人数女生人数”列出方程组并解答． 【详解】解：设小明班上参观教育基地的男生人数为x，女生人数为y．根据题意，得： ， 解得， 故小明班上参观教育基地的男生人数为32，女生人数为18． 56．（24-25八年级上·河南郑州·期末）杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为； ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量占，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少． 请你求出绵羊毛和腈纶的质量． 【答案】绵羊毛的质量为，腈纶的质量为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为，根据题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为，根据题意可得： ， 解得：； 答：绵羊毛的质量为，腈纶的质量为． 57．（2024·海南三亚·二模）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 【答案】供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，根据一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元． 【易错必刷二十 几何问题】 58．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 59．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示． (1)求每块地砖的长与宽． (2)求所拼成的矩形地面的周长． 【答案】(1)每块地砖的长与宽分别为和 (2)所拼成的矩形地面的周长是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系是解题的关键． （1）设每块地砖的长与宽分别为，根据图中关系可得，解方程组即可； （2）由矩形周长公式求解． 【详解】（1）解：设每块地砖的长与宽分别为， 由题意得：， 解得：， ∴每块地砖的长与宽分别为和； （2）解：所拼成的矩形地面的周长， 答：所拼成的矩形地面的周长是． 60．（23-24六年级下·全国·单元测试）某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 【易错必刷二十一 古代问题】 61．（24-25九年级下·吉林·开学考试）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？ 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 62．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 63．（24-25八年级上·福建漳州·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】有个人，两银子 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有个人，两银子， 根据题意，得， 解得：， 答：有个人，两银子． 【易错必刷二十二 其他问题】 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)根据表格信息可知：球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分； (2)根据积分规则，在E队已经进行的11场比赛中，胜负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)胜场、负场 (3)无法实现，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，设出未知数，由等量关系列方程或方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程（组）求解是解决问题的关键． （1）设胜一场积分，负一场积分，由A队得分可得；由B队得分可得；解二元一次方程组即可得到答案； （2）设E队胜场，则负场，由E队已经进行的11场比赛中的得分情况列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，可知D队还剩下场比赛，还需要取得分，设D队胜场，则负场，列方程求解即可确定答案． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 则由A队得分可得；由B队得分可得； 即，解得， 故答案为：； （2）解：设E队胜场，则负场， ， 解得，则， 答：在E队已经进行的11场比赛中，胜场、负场； （3）解：无法实现， 理由如下： 若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分， 还剩下场比赛，还需要取得分， 设D队胜场，则负场， ， 解得， ，而只剩下场比赛， 在D队已经进行了11场比赛，积分为17分基础上，D队希望最终积分达到28分是无法实现的． 65．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 【答案】(1)A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台 (2)A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台”，列出方程组，解之即可得出结论； （2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据＂这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利＂，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台． （2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得： 答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元． 66．（24-25八年级上·广东深圳·期末）2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网．某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元． (1)若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为______元； (2)若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架？ 【答案】(1)350000 (2)公司租用A型号无人机600架，B型号无人机400架 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列出二元一次方程组求解是关键． （1）租用的A，B两种型号无人机数量相等，则各有500个，根据租金单价，运用有理数乘法运算即可求解； （2）设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架，由数量关系列二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元， ∴需要的租金为：（元）， 故答案为：350000； （2）解：设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架， 根据题意得：， 解得：， 答：公司租用A型号无人机600架，B型号无人机400架． 【易错必刷二十三 解三元一次方程组】 64．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 67．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，当时，；当时，；当时，．求a、b、c的值． 【答案】 【分析】将三组数值代入列出三元一次方程组即可求出答案． 【详解】解：当时，； ， 当时，， ， 当时，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查三元一次方程，解题的关键是熟练运用三元一次方程的解法，本题属于基础题型． 68．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组 【答案】 【分析】通过消元，将解三元一次方程组转化成解二元一 次方程组或一元一次方程. 【详解】解： 把②分别代入①和③，得    ，得 ． 解得 ． 把代入，得 ． 原方程组的解为 【点睛】本题主要考查解三元一次方程组，关键在于通过加减消元法或代入消元法，将解三元一次方程组转化成解二元一 次方程组或一元一次方程． 69．（24-25七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． 【易错必刷二十四 三元一次方程组的应用】 70．（2024六年级下·上海·专题练习）已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 【答案】甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组，进而根据①②确定的取值，作为突破口，致使最终得解． 首先假设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，，根据选手中甲乙两校共16名；乙丙两校共20名；丙丁两校共34名．列出方程组，通过各校选手人数的多少是按甲、乙、丙、丁中学的顺序选派的，得到．进而判断出的取值，根据方程组依次得到、、的值． 【详解】解：设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，．据题意有， 甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出， ， 由①与得，所以， 由②与得，所以， 于是，所以（因为人数是整数）， 将代入①，②可知，， 再由③有． 答：甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 71．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 72．（24-25七年级下·河南南阳·期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)已知方程组：，则______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 【答案】(1)，5 (2)6 (3)30 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②得，解得， ①-②得， 故答案为：，5； （2）解：， ①+②+③得，，即； 故答案为：6； （3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元, 根据题意列方程组得，． ①②得，，则； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解． 【易错必刷二十五 二元一次方程组的新定义问题】 73．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 两式相加得：， ∴． 故选：C． 74．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：1． 75．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）下列各式中属于二元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ， ． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若是方程的一个解，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）若是关于的二元一次方程的解，则的值为 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）把改写：用含的式子表示，得 ；用含的式子表示，得 ． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）方程组中，不属于二元一次方程组的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）在下列方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．（2024八年级上·全国·专题练习）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·福建福州·期中）方程组的解是，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·河南漯河·期末）是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是 ． 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 13．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知是二元一次方程组的解，则等于（   ） A．11 B．9 C．2 D． 14．（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）方程组的解为，则被遮盖的和两个数分别为（   ） A．1、2 B．4、2 C．1、5 D．2、4 15．（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【易错必刷六 代入消元法解二元一次方程组1】 16．（23-24七年级下·全国·期中）用含x的代数式表示y或用含y的代数式表示x． (1)已知，则 ． (2)已知，则 ． (3)已知，则 ． (4)已知，则 ． 17．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）解方程组：． 18．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：． 【易错必刷七 加减消元法解二元一次方程组2】 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 20．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组： (1) (2) 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 23．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 24．（23-24七年级下·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成任务： 解方程组，某同学提供了如下解法： 解：设，，则原方程可化为，解得， ∴，解得 ∴原方程组的解为 任务： (1)由上述解法可以看出，对于一些较复杂的解方程组问题，若把其中某些部分看成一个______，用字母代替，则能使复杂的问题简单化，因而把这种解方程组的方法称为换元法． (2)已知关于x，y的方程组的解为，则关于a，b的方程组的解为______． (3)利用上述方法解方程组：． 【易错必刷九 同解方程组】 25．（24-25七年级下·全国·期末）关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 26．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 27．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【易错必刷十 二元一次方程组的错解复原问题】 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）若方程组的的解是，某学生看错了c，求出解为，则正确的 ， ． 30．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值． 【易错必刷十一 构造二元一次方程组求解】 31．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）若实数，满足，则的值为（    ） A． B．8 C．2 D． 32．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 33．（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 【易错必刷十二 根据实际问题列二元一次方程组】 34．（2025·福建泉州·一模）某班有人参加义务植树劳动，他们分为植树和挑水两组，要求挑水人数是植树人数的倍，设有人挑水，人植树，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）“践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓个或螺帽个，已知一个螺栓和两个螺帽配成一套，则生产螺栓和生产螺帽的工人分别为 时，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 【易错必刷十三 方案问题】 37．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元． (1)求两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 38．（23-24七年级下·山东日照·期中）为实现“乡村振兴”战略目标，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，两次租用这两种货车的情况如下表： A货车（辆） B货车（辆） 总量（吨） 第一次 1 2 11 第二次 2 3 18 (1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？ (2)现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载．若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案设计出来？并算出最少费用． 39．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段练习）根据以下素材，尝试解决问题． 如何获得更高的销售额？ 素材1 为预防新冠肺炎病毒，市面上等防护型口罩出现热销． 已知3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元． 素材2 小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售 问题解决 任务1 一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ 任务2 根据素材二，小红有多少种不同的购买方案？请设计出来。 【易错必刷十四 行程问题】 40．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙在的环形跑道上跑步，两人从某起点同时出发．如果同向而行，那么经过甲比乙多跑一圈；如果反向而行，那么经过两人第一次相遇． (1)求甲，乙两人的速度； (2)甲，乙同向而行时，丙也在跑道上跑步，且与甲，乙方向一致．若出发后甲追上丙，出发后乙追上丙，则出发时丙在甲，乙前面多少米？丙的速度是多少？ 41．（24-25七年级下·山东威海·期末）从小明家到公园有一段上坡路和一段平路．周末，小明到公园玩耍，如果上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，小明从家到公园需要1小时，从公园回到家需要48分钟．请问从小明家到公园的上坡路和平路各多少千米． 42．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）为了解长江某段的水污染状况，某校七年级一班在甲、乙两码头间组织实地考察活动．已知当天水流速度是，轮船顺流航行用了5小时，逆流航行用了7小时，求甲、乙两码头的距离以及船在静水中的速度． 【易错必刷十五 工程问题】 43．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 44．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 45．（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 【易错必刷十六 数字问题】 46．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 47．（2022八年级上·全国·专题练习）有一个两位数，个位上的数比十位上的数的3倍多2，若把个位数与十位数对调，所得新的两位数比原来的两位数的3倍少2，求原来的两位数． 48．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值． 【易错必刷十七 分配问题】 49．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 50．（24-25八年级上·全国·课后作业）某工厂加工螺栓、螺母，已知每块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺母（每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺母），已知1个螺栓和2个螺母组成一个零件．若把26块相同的金属原料全部加工完，则加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺母各需要的金属原料的块数；若不存在恰好配套，请说明理由． 51．（23-24八年级上·广东深圳·期中）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【易错必刷十八 销售利润问题】 52．（24-25八年级上·河北保定·期末）在春节来临之际，某商场计划采购A，B两种商品，这两种商品的进价和售价如下表所示． A B 进价/（元/件） 30 50 售价/（元/件） 50 80 (1)若该商场花费7600元购进A，B两种商品共200件，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ (2)若商场花费5700元购进A，B两种商品若干件，全部售出后可获利3600元，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ 53．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． (1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； (2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 54．（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【易错必刷十九 和差倍分问题】 55．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明与班上同学一起到教育基地参观，该班共有50人参观了教育基地，且男生人数比女生人数的1.5倍多5．求小明班上参观教育基地的男生和女生的人数． 56．（24-25八年级上·河南郑州·期末）杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为； ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量占，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少． 请你求出绵羊毛和腈纶的质量． 57．（2024·海南三亚·二模）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 【易错必刷二十 几何问题】 58．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 59．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示． (1)求每块地砖的长与宽． (2)求所拼成的矩形地面的周长． 60．（23-24六年级下·全国·单元测试）某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【易错必刷二十一 古代问题】 61．（24-25九年级下·吉林·开学考试）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？ 62．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 63．（24-25八年级上·福建漳州·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【易错必刷二十二 其他问题】 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)根据表格信息可知：球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分； (2)根据积分规则，在E队已经进行的11场比赛中，胜负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 65．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 66．（24-25八年级上·广东深圳·期末）2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网．某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元． (1)若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为______元； (2)若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架？ 【易错必刷二十三 解三元一次方程组】 64．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 67．（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，当时，；当时，；当时，．求a、b、c的值． 68．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组 69．（24-25七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【易错必刷二十四 三元一次方程组的应用】 70．（2024六年级下·上海·专题练习）已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 71．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 72．（24-25七年级下·河南南阳·期末）感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)已知方程组：，则______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 【易错必刷二十五 二元一次方程组的新定义问题】 73．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 74．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为 ． 75．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$