第十章 二元一次方程组 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

第十章 二元一次方程组 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二元一次方程组全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是 （      ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．若保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，则从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．试问：坡路和平路长多少？设坡面长，平路长，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．51 C．55 D．56 6．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（　　） A． B．2 C．3 D． 7．（23-24七年级下·江苏南通·期中）小强到文具店购买钢笔和橡皮共用42元（两种物品都要买），已知钢笔每支12元，橡皮每块3元，则小强的购买方案共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 8．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知关于，的方程组，下列结论： ①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，不可能互为相反数； ③，都为非负整数的解有对；④若，则，其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（   ）． 下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：    日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 第二次 第三次 第四次 若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 10．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）二元一次方程组的解是 ． 12．（2023·江苏常州·二模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为 ． 13．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式 ． 14．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 15．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）给出下列程序：输入立方输出，且已知当输入的值为1时，输出值为1，当输入的值为时，输出的值为，则当输入的值为时，输出的值为 ． 16．（2024七年级下·江苏·专题练习）某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以的速度在平路上行驶，后又以的速度爬坡到达目的地，共用了；原路返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度在平路上行驶，共用了．则学校距自然保护区 ． 17．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 18．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知，与，都是方程的解，求的值． 21．（2023七年级下·江苏·专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，，试求出这个等式． 22．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 23．（2024七年级上·江苏·专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ． (2)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由五边形和六边形两种多边形拼接而成，且有60个顶点，每个顶点处都有3条棱，分别求该简单多面体的外表面五边形和六边形的个数． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 25．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的二元一次方程组，其中为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含的代数式表示）； (3)若无论取何数时，代数式 (是常数)的值始终不变，求的值． 26．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，∴，∴原方程组的解为． (1)若方程组的解是，试求方程组的解； (2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 27．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）辅成中学欲购置规格分别为和的甲、乙两种洗手液，已知购买3瓶甲和2瓶乙洗手液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙洗手液需要110元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价； (2)学校师生共1000人，平均每人每天需要使用的免洗手洗手液，若采购两种洗手液共花费2500元，则这批洗手液可供全校师生使用多少天？ (3)为节约成本，购买散装洗手液进行分装，现需要将的洗手液装进最大容量为和的两种空瓶中（每瓶需装满），若分装时平均每瓶需会损耗，请问如何分装可使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶数量． 28．（24-25七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，求a和b的值； (3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二元一次方程组全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程是含有两个未知数，含有未知数的项的次数为的整式方程，解决本题的关键是根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为，所以方程是二元一次方程，故A选项符合题意； B选项：方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为，所以方程不是二元一次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数为，所以方程是一元一次方程，不是二元一次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中的未知数出现在分母中，所以不是整式方程，所以方程不是二元一次方程，故D选项不符合题意． 故选：A ． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．若保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，则从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．试问：坡路和平路长多少？设坡面长，平路长，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组． 【详解】解：设从甲地到乙地上坡与平路分别为，， 由题意得：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解、等式的基本性质，利用等式的基本性质1求解即可． 【详解】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减， 得， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知是方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程方程的解，掌握解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫二元一次方程的解是解题的关键． 把代入方程，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 解得：， 故选：B． 5．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．51 C．55 D．56 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用。设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴图中阴影部分面积是51． 故选：B． 6．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将代入方程组，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再代入代数式进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：， ∴； 故选：B． 7．（23-24七年级下·江苏南通·期中）小强到文具店购买钢笔和橡皮共用42元（两种物品都要买），已知钢笔每支12元，橡皮每块3元，则小强的购买方案共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买支钢笔，块橡皮，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出小强的购买方案共有3种． 【详解】解：设购买支钢笔，块橡皮， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 小强的购买方案共有3种． 故选：B 8．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知关于，的方程组，下列结论： ①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，不可能互为相反数； ③，都为非负整数的解有对；④若，则，其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示、，再根据互为相反数的两个数相加为即可求解；③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解． 【详解】解：将代入原方程组，得， 解得：． 将代入方程的左右两边， 得：左边，右边，即左边右边， ∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意； 解原方程组，得， ∴， ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意； ∵， ∴、为非负整数的解有，，，， ∴，都为为非负整数的解有对，故③正确，不符合题意； ∵，， ∴， 解得：，故④错误，符合题意． 综上所述：②③正确，①④错误． 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（   ）． 下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：    日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 第二次 第三次 第四次 若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 【答案】D 【分析】设可以做成个竖式无盖纸盒，个横式无盖纸盒，根据四次领取正方形及长方形纸板的数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再结合，为正整数，即可得出结论． 【详解】设可以做成个竖式无盖的不锈钢盒子，个横式式无盖的不锈钢盒子， 第一次：，解得：，数据无误； 第二次：，解得：，数据无误； 第三次：，解得：，数据无误； 第四次：，解得：，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴D正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 方程组的解为：， 故答案为：． 12．（2023·江苏常州·二模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．设每只雀重斤，每只燕重斤，根据“五只雀、六只燕，共重1斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，列方程组即可． 【详解】解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤， 由题意得． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和运用平方差公式进行计算．利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 【答案】 【分析】本题考查解方程和方程组，根据表中和，得到关于和的二元一次方程并求解，将和的值代入解方程即可．熟练掌握二元一次方程组及一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由和， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）给出下列程序：输入立方输出，且已知当输入的值为1时，输出值为1，当输入的值为时，输出的值为，则当输入的值为时，输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题属于新定义题目，考查了解二元一次方程组，需要看懂程序，然后把的值跟着程序走是解题的关键． 将所给的值先立方，所得结果再乘以，所得结果再加上等于输出值，可以建立方程组，然后求出和，最后把值为代入求解即可． 【详解】解：根据程序当时，， 当时，， 联立，得二元一次方程组， 解得， 时，． 故答案为：． 16．（2024七年级下·江苏·专题练习）某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以的速度在平路上行驶，后又以的速度爬坡到达目的地，共用了；原路返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度在平路上行驶，共用了．则学校距自然保护区 ． 【答案】330 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键． 设从学校到自然保护区平路长，坡路长，根据时间路程速度，结合“先以速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程，再代入中即可求出结论． 【详解】解：设从学校到自然保护区平路长，坡路长，依题意得： ，     解得：， ∴． 所以从学校到自然保护区共， 故答案为：330． 17．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和． 【详解】解：要使S取最大值，最大，z最小， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴， 解方程组 ， 解得：， ∴S的最大值； 要使S取最小值， 联立得方程组 ， 得， ， 得，， ∴， 把，代入， 整理得，，当x取最小值时，S有最小值， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴x的最小值是0， ∴， ∴S的最大值与最小值的差：； 故答案为：1 18．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的就是二元一次方程组的解法，属于基础题型．解决这个问题的关键就是利用加减法进行消元． （1）利用求出x的值，然后代入①求出y的值，从而得出方程组的解； （2）首先将方程组进行化简，然后利用加减消元法得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：将方程组进行变形可得：， 得：，解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 20．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知，与，都是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，方程的解的定义，解二元一次方程组，方程的解的定义得分别将解代入方程，得到方程组，解方程组即可求解；理解方程的解的定义，会解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 21．（2023七年级下·江苏·专题练习）在等式中，当时，；当时，；当时，，试求出这个等式． 【答案】 【分析】把，；，；，代入等式，然后解三元一次方程组，即可求解． 【详解】解：把，；，；，代入得： ， ②①得：④， ③①得：⑤， ⑤④得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 22．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，代入消元法和加减消元法，即可． （1）根据题意，得到，解出方程组的解，即可； （2）根据（1）中方程组的解，代入，求出，的值，即可． 【详解】（1）∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解 ∴ 令 由得，， 解得：； 把代入式，则 解得：； ∴方程组的解为：． （2）∵方程组的解为：， ∴把代入中， ∴， 化简得：， 由得，； 由得，， 解得：； 把代入式，则， 解得：； ∴． 23．（2024七年级上·江苏·专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ． (2)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由五边形和六边形两种多边形拼接而成，且有60个顶点，每个顶点处都有3条棱，分别求该简单多面体的外表面五边形和六边形的个数． 【答案】(1) (2)五边形和六边形的个数分别为12和20 【分析】本题考是一个找规律的题目，考查了欧拉公式，二元一次方程的应用．由特殊到一般的思想在数学教学中常用到． （1）先根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数、面数、棱数之间存在的关系式即可． （2）根据顶点数和每个顶点处都有3条棱，即可求出五边形和六边形的个数． 【详解】（1）解：四面体的顶点数为4、面数为4，棱数为6，则； 长方体的顶点数为8、面数为6，棱数为12，则； 正八面体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，则； 则关系式为：顶点数（V）面数（F）棱数（E） 故答案为： （2）解：∵有60个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有条棱， ∵， ∴， ∴， 设五边形有x个，顶点数有，六边形有y个，顶点数有， 则， 解得： ∴五边形和六边形的个数分别为12和20 24．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)①甲9辆，乙6辆，丙3辆；②甲10辆，乙2辆，丙6辆；方案②最省 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）解：设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是正整数，且三种车共18辆要求同时参与 ∴x与y都不能大于16， 解得或． ∴共有两种方案：①甲车9辆，乙车6辆，丙车3辆；②甲车10辆，乙车2辆，丙车6辆； 两种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）； ∵， ∴方案②最省． 25．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的二元一次方程组，其中为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含的代数式表示）； (3)若无论取何数时，代数式 (是常数)的值始终不变，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把代入方程组，利用加减法解答即可求解； （）把两个方程相减即可求解； （）求出方程组的解，再代入可得，根据无论取何数时，代数式 的值始终不变，可得，据此即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程组为， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，， ∴， ∴； （3）解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∵无论取何数时，代数式 的值始终不变， ∴， ∴． 26．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，∴，∴原方程组的解为． (1)若方程组的解是，试求方程组的解； (2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，，则原方程组可化为，解出m，n，代入得到，再解出关于x，y的方程组即可． 【详解】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， ∴原方程组的解为． 27．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）辅成中学欲购置规格分别为和的甲、乙两种洗手液，已知购买3瓶甲和2瓶乙洗手液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙洗手液需要110元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价； (2)学校师生共1000人，平均每人每天需要使用的免洗手洗手液，若采购两种洗手液共花费2500元，则这批洗手液可供全校师生使用多少天？ (3)为节约成本，购买散装洗手液进行分装，现需要将的洗手液装进最大容量为和的两种空瓶中（每瓶需装满），若分装时平均每瓶需会损耗，请问如何分装可使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶数量． 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元 (2)这批消毒液可使用10天 (3)分装时需的空瓶6瓶，的空瓶14瓶，才能使总损耗最小 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲种免洗手消毒液的单价为元，乙种免洗手消毒液的单价为元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种免洗手消毒液瓶，乙种免洗手消毒液瓶，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合可使用时间免洗手消毒液总体积每天需消耗的体积，即可求出结论； （3）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出各分装方案，选择最小的方案即可得出结论． 【详解】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为元，乙种免洗手消毒液的单价为元， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． （2）设购进甲种免洗手消毒液瓶，乙种免洗手消毒液瓶， 依题意，得：， ， ． 答：这批消毒液可使用10天． （3）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶， 依题意，得：， ． ，均为正整数， 和． 要使分装时总损耗最小， ， 即分装时需的空瓶6瓶，的空瓶14瓶，才能使总损耗最小． 28．（24-25七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，求a和b的值； (3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解； （2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可； （3）由题意可得 ：，求解方程组即可． 【详解】（1） 当时，， （2） ， ， 解得：， ∴a和b的值分别为，； （3） ， ， ， 化简得：， 解得：， ∴a和b的值分别为，． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$