专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法 题型七 加减消元法 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的情况求参数 题型十二 方程组相同解问题 题型十三 三元一次方程组的解法 题型十四 三元一次方程组的应用 题型十五 二元一次方程组的整数解问题 题型十六 二元一次方程组的新定义问题 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A．2024 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握“含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式方程叫二元一次方程”成为解题的关键． 根据二元一次方程的概念可得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 1．（23-24七年级下·云南文山·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得， 故选：B． 2．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）下列方程①x+y； ②； ③3x+1=8y+；④xy=5 ；⑤x+=5中，是二元一次方程的是 (只填序号)． 【答案】③ 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的最高次数是1的整式方程．据此判断即可. 【详解】解：①x+y不是等式，所以不是方程，更不是二元一次方程； ②不是整式方程，所以不是二元一次方程； ③3x+1=8y+是二元一次方程； ④xy=5是二元二次方程，不是二元一次方程； ⑤x+=5是一元一次方程.，不是二元一次方程. 故答案是：③. 【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，缺一不可． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若是关于，的二元一次方程，则ab＝ ． 【答案】0 【分析】根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”可得a-2=1，b+1=1 ，再解即可． 【详解】∵方程是关于x,y的二元一次方程， ∴a−2=1，b+1=1， ∴a=3，b=0， 则ab=3×0=0 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的个数是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出关于，的二元一次方程组的解，再逐项进行判断即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组， 得，，即， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，即， ∴，解得，故①正确； 当时， ， ∵，故②错误； 方程组的解为， ∴，故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提． 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是方程的一个解，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】把方程的解代入得，从而确定，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将20元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】设可以购买支康乃馨，支百合，根据总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出小明有3种购买方案． 【详解】解：设可以购买支康乃馨，支百合， 依题意，得：， ∴． ∵均为正整数， ∴是正偶数，且即 ∴， ∴，，， ∴小明有3种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数），则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，令，y值未知，消去y是解题的关键． 【详解】解：∵关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数）， ∴令，则原方程为， ∴， ∴， ∴a的值为． 故答案为：． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（24-25八年级·全国·课后作业）给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】① 是三元一次方程组； ②是二元一次方程组； ③是二元一次方程组； ④是二元二次方程组； ⑤是分式方程组； ⑥是二元一次方程组 所以①④⑤不是二元一次方程组. 故选B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】方程组、、是二元一次方程组,共3个, 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程组的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、符合二元一次方程组的定义，故本选项错正确； B、中的第二个方程不是二元一次方程，故本选项错误； C、方程组中含3个未知数，故本选项错错误； D、两个未知数，一个算式未知数次数为-1，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是：明白二元一次方程组含两个未知数并且未知数次数均为1．本题中易将D选项也当成二元一次方程组，x在分母出现时，其次数为-1，不符合二元一次方程组的定义，故被排除． 3．（24-25八年级上·山东济南·单元测试）下列方程组中属于二元一次方程组的是（     ） ①，②，③，④． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【详解】根据二元一次方程组的定义可知， ①是二元一次方程组； ②xy的次数为2，所以不是二元一次方程组； ③有三个未知数，所以不是二元一次方程组； ④是二元一次方程组. 故选D. 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解． 【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 1．（24-25六年级下·全国·课后作业）已知是方程组的解，则是哪一个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入后求出的值，最后把分别代入四个选项即可. 【详解】将代入得：， 解得，即， 当时， ，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确； 故选D 【点睛】本题考查对方程的解的理解，方程的解：使方程成立的未知数的值. 2．（24-25·浙江杭州·模拟预测）课本上有一例题：求方程组的自然数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下： x 0 1 2 3 4 5 6 y 6 5 4 3 2 1 0 900 1050 1200 1350 1500 1650 1800 可见只有，符合这个方程组，所以方程组的解为 从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（    ） A．先消元，然后转化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解 B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为所求的解 C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解 D．先任意给出的一对自然数，假定是解，然后代入两个方程分别检验，两个都成立，则可得方程组的解 【答案】C 【分析】利用二元一次方程组的解的定义判断即可． 【详解】解：从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是，先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解． 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在(1) (2) (3) (4) 中， 是方程7x－3y＝2的解； 是方程2x＋y＝8的解； 是方程组的解．(填序号) 【答案】 (2)(3) (1)(3)(4) (3) 【分析】分别把(1) (2) (3) (4) 方程7x－3y＝2和方程2x＋y＝8，即可判定这两个方程的解，根据二元一次方程组的解的定义即可得方程组的解． 【详解】分别把(1) (2) (3) (4) 方程7x－3y＝2，可得(2)(3)是方程7x－3y＝2的解； 分别把(1) (2) (3) (4) 方程2x＋y＝8，可得(1)(3)(4)是方程2x＋y＝8的解； 由此可得方程组的解为（3）. 故答案为 (2)(3)；(1)(3)(4) ；(3). 【点睛】本题考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解及二元一次方程组的解的定义是解决问题的关键. 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出两个方程组的解是解题的关键．设方程组①的解为，则方程组②的解为，得到关于、的二元一次方程组，求出、的值，进而得到题中两个方程组的解，最后得到关于，的二元一次方程组，并解方程组即可求解． 【详解】解：设方程组①的解为，则方程组②的解为， ， 解得：， 是关于，的方程组①的解，是关于，的方程组的解， ， 解得：， 故选：C． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 . 【答案】 【分析】利用加减消元法可求得、的值，再代入，继而求得答案． 【详解】， 得：， 得：， ∵关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴把，代入得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解以及二元一次方程的解法．此题难度适中，注意掌握消元思想的应用． 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）某同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知是关于x，y 的方程y=kx+b的一个解，则b的正确值应该是 【答案】 【分析】将和b=6代入方程组，解出k的值．然后再把代入y=kx+b中解出b的值． 【详解】解：依题意将代入y=kx+6，得： 2=-k+6，k=4； 将和k=4代入y=kx+b， 得1=3×4+b， ∴b=-11． 故答案为：-11． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法．先将已知代入方程得出k的值，再把k代入一次函数中可解出b的值．运用代入法是解二元一次方程常用的方法． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】先解二元一次方程组，得，再根据二元一次方程的解得定义解决此题． 【详解】解：将x+y=5k记作①式，x-y=9k记作②式． ①+②，得2x=14k． ∴x=7k． ①-②，得2y=-4k． ∴y=-2k． ∴关于x、y的二元一次方程组的解是． ∴x-2y=7k-2×（-2k）=11k=22． ∴k=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 【经典例题六 代入消元法】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组， （1）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可； （2）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：由可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为； （2）解：整理可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为． 1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）若方程组有正整数解，则整数的值为 ． 【答案】，，0 【分析】先求得方程组的解（用a表示），再根据解的情况求解即可． 【详解】解：， 由②得：， 将③代入①中，得， 解得， 将代入③中，得，即， 解方程组得， ∵方程组有正整数解，且a为整数， ∴为正整数，且是4的因数， ∴整数的值为，，0， 故答案为：，，0． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤，能正确得到关于a的表达式是解答的关键． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）在方程中，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】可将被表示的字母y看作未知数，将剩下的未知数x看作常数，解关于y一元一次方程即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数，灵活运用等式的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 4 a b c 3 … (1)求a、c的值； (2)把上面的表格补充完整，并求出第2024个格子中的数． 【答案】(1)，； (2)补全表格见解析，第2024个格子中的数为； 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，根据题意列出方程组及方程组求解和根据数字之间的规律进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，求方程组的解即可得出答案； （2）根据题意可得：格子中的整数以“”为周期循环．由为第9个空格里面的数，可得，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 解得：． （2）解：∵任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等， ∴格子中的整数以“”为周期循环． ∵为第9个空格里面的数， ∴， ∴补全表格如下： 4 3 … ∵， ∴第2024个数是． 【经典例题七 加减消元法】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解，，再把，的值代入﹣，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3），即总有一个解， 方程的解与无关， ，， 解得：，． 则方程的公共解为． 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下面是小红同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 解：由②，得_____③．………………第一步 将③代入①，得________．………………第二步 将的值代入③，得________．………………第三步 所以原方程组的解为_____．……………………第四步 任务： (1)将上面的解题过程补充完整； (2)本题体现了“代入消元法”，请用另外一种方法求解． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）根据解题过程补充完整即可． （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 解：由②，得③． 将③代入①，得． 将的值代入③，得． 所以原方程组的解为： （2）解： ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则原方程组的解为： 2．（24-25八年级上·贵州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得                      第一步 ，得，                     第二步 ；                                第三步 将代入①，得                          第四步 所以，原方程组的解为                        第五步 任务一：①这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，②第________步开始出现错误； 任务二：请解该方程组． 【答案】任务一：①加减消元；②二；任务二：过程见解析， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． 任务一：①通过两个方程相减，消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法； ②第二步开始出现错误，具体错误是应该等于； 任务二：解方程组即可． 【详解】解：任务一：①这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，求解步骤中，第一步的依据等式的性质， 故答案为：加减消元； ②第二步开始出现错误，具体错误是应该等于， 故答案为：二； 任务二：，得， 得， ， 将代入①，， 所以，原方程组的解为． 3．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可； （2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，即③， ，得，即④， 联立③④，得， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得，即， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)若，求这个方程组的解． (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把代入方程组，然后用加减消元法求解即可； （2）把两个方程相加得，结合即可求出的值． 【详解】（1）当时，这个方程组可化为 ，得③， ，得④， 由得， 解得， 将代入②，得， 解得， 所以当时，这个方程组的解为 （2） 由，得， ，， 解得． 2．（23-24七年级下·山东威海·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，将方程组化为与方程组系数相同的形式是本题的关键．设，   由得：，再求解即可． 【详解】解：由，得： ， 设， 由得：， ∵方程组的解是， 是方程组的解，   ， 解得：． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）蓝山县某中学数学活动课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道二元一次方程组的问题． 已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足，求m的值．      (1)请同学们按照小云的方法，求出x的值为　　　，y的值为　　　　； (2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，整体法，掌握解二元一次方程组的方法与步骤，灵活运用整体思想是解本题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解即可； （2）把方程①加方程②，利用整体代入法建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1）把①③联立得： 得 解得：， 将代入①得， ， 方程组的解为， 故答案为：，； （2）①②，得 ． ． ， ， 解得． 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（24-25八年级下·全国·假期作业）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程． 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为． (1)求a，b的正确值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意将代入，将代入，分别求解、即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得， ， 将代入， 得， ； （2）解：由（1）得原方程组为， ，得， 解得， 将代入①得，， 解得， 原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握加减消元法是解题的关键． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙二人同时解方程组，甲看错了a，解得；乙看错了b，解得，求原方程组的解． 【答案】 【分析】首先根据甲看错了a，求出b的值是多少，然后根据乙看错了b，求出a的值是多少；最后应用加减消元法，求出方程组的正确解即可． 【详解】解：把代入得 解得； 把代入得 解得 ∴原方程组为 得，， 解得 将代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 3．（24-25七年级下·吉林松原·期中）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得，小张抄错得，求原方程组中的值． 【答案】 【分析】把小李、小张计算结果代入方程，得到关于的方程组，解方程组即可得到的值． 【详解】解：根据题意可得： 将，代入， 得 ，得， 解得， 把代入①， 得， 解得． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的方法有：加减消元法和代入消元法是解题的关键． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于的方程组． (1)当时，求的值； (2)将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①加②式得到一个新方程，根据方程的特点即可求得的值； （2））①加②式得到一个新方程根据题意列方程即可得到公共解． 【详解】（1）解：， ①②，得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴将，代入①，得：， （2）解：， ①②，得：， 整理得：， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴， 解得：， 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法及与解二元一次方程相关的知识点，掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）把x与y的值代入中，求出k与b的值； （2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出y的值． 【详解】（1）解∶将，；，代入， 得：， 解得． （2）解∶由（1）可知， 当时，． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（a，b为常数）．如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，则 　　， 　　； (3)如果组成数对的两个数x，y满足，且数对经过运算又得到数对，求a和b的值． 【答案】(1) (2)1， (3)， 【分析】（1）根据运算的运算法则求解即可； （2）根据运算的运算法则列出方程组求解即可； （3）根据运算的运算法则列出方程组求解即可． 【详解】（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故答案为：1，； （3）∵对任意数对经过运算又得到数对， ∴， ∵， ∴， ∴代入得，，即， ∴得，，解得， ∴得，，解得． 【点睛】此题考查了新定义运算，二元一次方程组的计算，解题的关键是正确分析题意． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的情况求参数】 【例11】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 1．（2024七年级下·天津·专题练习）已知关于x，y的方程组满足，且它的解都是正数． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、绝对值和解一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． （1）先求出方程组的解，即可得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）先去掉绝对值符号，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵方程组的解为正数， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴． 2．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读与思考：对于未知数是x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由． (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【答案】(1)方程组的解与具有“邻好关系”； (2)或 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （2）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：方程组的解与具有“邻好关系”，理由： ， 由②+2×①得： ， 解得：， 把代入①中得： ． 原方程组的解为：． ， 方程组的解与具有“邻好关系”； （2）解：， 解方程组得：． 方程组的解与具有“邻好关系”， ， 解得：或． 3．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x、y的方程 (1)若此方程组的解x、y互为相反数，求这个方程组的解及m的值； (2)用代入法求方程组的解（用含m的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入法的操作方法是解题的关键． （1）根据方程组的解互为相反数可得，代入方程①求出y，再代入方程②求出m即可． （2）用代入消元法求解即可． 【详解】（1）∵方程组的解x、y互为相反数， ∴， ③代入①得，， ∴， ∴， ∴， ∴方程组的解是，． （2）， 由①，得 ， 把③代入②，得 ， ∴， 代入③，得 ， ∴． 【经典例题十二 方程组相同解问题】 【例12】（23-24七年级下·甘肃天水·期末）若关于x，y方程组解满足，则m值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是联立没有参数的方程解方程组代入求解． 联立解出，x，y，代入求解即可得到答案； 【详解】关于x，y方程组解满足， 联立 解得：， 将代入得 ， 解得：， 故选：C. 1．（2024八年级上·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【详解】10．解：∵两个方程组的解相同， ∴可联立解得 此即为两个方程组的解． 代入另两个方程，得 解得 故原式． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为， 把别代入和， 得方程组， 解这个方程组得， ， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值． 3．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）若关于，的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解即可； （2）将方程组的解代入，求得关于a、b的二元一次方程组的解，再代入求值即可； 【详解】（1）解：两方程组化简可得，， ∵两方程组同解， ∴， 得：， 解得：， 把代入①式得：， ∴两个方程组的相同解为； （2）解：把代入方程组可得： ， 式得：， 解得：， 把代入②式得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了由同解方程组确定字母取值：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b的二元一次方程组，进而确定a、b的值． 【经典例题十三 三元一次方程组的解法】 【例13】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）解方程：． 【答案】或． 【分析】本题考查了解三元二次方程组，因式分解分组分解法．先利用因式分解分组分解法可得：①，②，③，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ①， ， ， ， ②， ， ， ， ③， ①②得：， ④， 把④代入③得：， 解得：或， 当时， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：； 当时， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：； 原方程组的解为：或． 1．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）； （2）对于有理数，规定一种新运算：⊕，其中，为常数，已知2⊕，⊕，求⊕的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组、有理数的混合运算； （1）利用加减消元法将三元一次方程组化二元一次方程组，再利用加减消元法求解二元一次方程组，进而可得答案． （2）根据新运算求出，的值，再根据新运算计算即可． 熟练掌握解三元一次方程组、解二元一次方程组、有理数的混合运算是解答本题的关键． 【详解】解：（1）， ①②，得④， ①③，得⑤， ④⑤，得， 解得， 将代入④，得， 将，代入③，得． 方程组的解为． （2）由题意得，2⊕①，⊕②， ①，得④， ②④，得， 解得， 将代入①，得， ⊕⊕． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，，为正数，且，求的值． 【答案】 【分析】将原方程组变形得，，，进而可求出，，的值，然后代入计算即可． 【详解】， ， ， 同理可得：，， 解得：，，， ． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，正确变形是解答本题的关键． 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】得：，把代入①，②得：，由得：，把代入④得：，从而可得答案． 【详解】解：， 得：， 把代入①，②得： 得：， 把代入④得：， ∴方程组的解为：． 【点睛】本题考查的是加减消元法解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法与步骤是解本题的关键． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 【答案】(1)， (2)丙种钢条长米 (3)3 【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； （3）将，代入，得到三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米； （3）将，代入，得： ， ，得：； ∴． 1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重千克，甲盒里核桃仁的重量占甲盒坚果重量． (1)甲盒里核桃仁重多少千克？ (2)若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的，求乙盒坚果中腰果重多少千克？ (3)在(1)、(2)的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占，并且在混合之前甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)千克 (3)千克 【分析】本题考查的是百分数的与分数的应用，方程组的应用； （1）甲盒里核桃仁重量为：（千克）； （2）先计算乙盒坚果的重量，再计算乙盒坚果中腰果的重量即可； （3）先计算杏仁的总重量为千克．设甲盒坚果中腰果重千克，甲盒坚果中杏仁重千克，乙盒坚果中杏仁重千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲盒里核桃仁重量为：千克； 答：甲盒里核桃仁重千克； （2）乙盒坚果重量为：千克， 乙盒坚果中腰果重量为：千克； 答：乙盒坚果中腰果重千克； （3）混合后，杏仁的总重量为：千克； 设甲盒坚果中腰果重千克，甲盒坚果中杏仁重千克，乙盒坚果中杏仁重千克， 根据题意列方程组，得： 解得：，，； 答：甲盒坚果中腰果重千克． 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【答案】(1)， (2)按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张 【分析】（1）按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，，所以无法裁出型板，按裁法三裁剪时，块型板材块的长为，，而块型板材块的长为所以无法裁出块型板，即可得出答案； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张，由题意等量关系列出一元三次方程组即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材块的长为，， 无法裁出型板，则； 按裁法三裁剪时块型板材块的长为，， 可以裁出块型板， 而块型板材块的长为，， 无法裁出块型板，则， 故答案为：，； （2）设按裁法一裁张，按裁法二裁张，按裁法三裁张， 根据题意：， 解得：， 答：按裁法一、裁法二和裁法三裁裁标准板材分别为张、张和张． 【点睛】主要考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是正确理解题意，在做题时要明缺所裁出型板材和型板材的总长度不能超过． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆 (2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元 【分析】（1）设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆，可以得到出，即可得，根据、、都为自然数，可得为3的倍数，结合，可得或或，问题随之得解． 【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆． 列方程：， 解得． 即． 答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆； （2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆， 则， 得：， ∴， ∴． ∵、、都为自然数， ∴为3的倍数， 又∵， ∴或或， ∴或或， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 由上可知，最大利润为元． 答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及三元一次方程组的应用，明确题意，正确列出方程，是解答本题的关键． 【经典例题十五 二元一次方程组的整数解问题】 【例15】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，涉及解二元一次方程组，先由加减消元法解得，，再由题意，分类讨论即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②①得，解得； 将代入①得； 若关于的方程组的解为整数， 当取时满足题意， 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 满足条件的所有整数的值的和为， 故选：C． 1（23-24七年级下·重庆合川·期末）已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是利用①②，求出，列出关于m的不等式组解题即可． 【详解】解：， ①②得：，即， ∵， ∴， 解得， ∴整数m的值为2024， 故选C． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 【答案】 / 或/或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解： （1）根据可得，代入求解即可； （2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）， ，代入， 得，解得， 故答案为：； （2）， ①②得， 解得：， 为整数，也为整数， ， 或， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 【经典例题十六 二元一次方程组的新定义问题】 【例16】（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得①，②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答． 【详解】（1）由题意，得. （2）由题意，得， ， 则有方程组 解得 . 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 ， 所以，， 所以，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：． (1)___________(用含有，的代数式表示)． (2)已知，且． ①求，的值； ②直接写出的值为___________． 【答案】(1) (2)①的值为1，的值为1；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据定义公式代入运算即可； （2）①按照定义代入计算得出方程组，解方程组即可求出，的值； ②将a、b的值代入化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ，， 整理得：， 解得：， 的值为1，的值为1； ②的值为1，的值为1 ∴ ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可； （3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或． 故答案为：或． （2）解：当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴， 当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴． 综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为． 把代入方程得：，即 ∴． （3）解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴或， ①当时，整理得：，解得：； ； ②当时，解得：， ∴． 综上：． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊运算，熟悉掌握如何联立系数是解题的关键． 由两方程组的系数相同，联立两方程组后运算求解即可． 【详解】解：由可变形为， ∵的解为，且与的系数相同， ∴联立与的可得： ，解得： 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若关于x、y的方程组与有相同的解，则的值为（　　） A．2024 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键．先求出的解，然后将方程组的解代入含a、b的方程中组成二元一次方程组，求解出含a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得： ． ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）方程组的解满足是的倍少，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为是的倍，所以代入方程组，根据①②用分别表示根据相等得到关于的方程，求出即可． 【详解】解：是的倍少， ， 代入方程组得：， 由得：， 由得：， ， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，本题一般的解决方法是根据方程组求得，，然后根据列方程求出的值． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知方程组的解是，则方程组的解 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义得到，于是得到结论． 【详解】解：∵关于，的方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，熟练掌握换元思想是解本题的关键． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知方程组与有相同的解，则 ． 【答案】4 【分析】根据题意，重新构造新的方程组，解出x，y的值，再代入，得出m，n的值． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴联立方程组， 解得， 将代入，， 解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】9 【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值，进而求得代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 化简，得， 由于k可以取任意值，则， 解得：， 则． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，解一元一次方程，以及解二元一次方程组 ，正确得到a和b的值是关键． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ． 【答案】0 【分析】把甲的解代入②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，再代入计算即可． 【详解】解：将代入方程组中的， 得：，即；        将代入方程组中的， 得：，即，                则． 故答案为：0 【点睛】此题考查了二元一次方程组的错解问题，乘方运算的含义，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先化简方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 所以该方程组的解为：． （2）解：方程组可化为：， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 所以该方程组的解为：． 10．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组．若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解题方法是解答此题的关键．利用将二元一次方程组变为，再利用加减消元法，即可解得m的值． 【详解】解：， 可变形为， 由①②得：， 解得． 11．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的二元一次方程组，其中为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含的代数式表示）； (3)若无论取何数时，代数式 (是常数)的值始终不变，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把代入方程组，利用加减法解答即可求解； （）把两个方程相减即可求解； （）求出方程组的解，再代入可得，根据无论取何数时，代数式 的值始终不变，可得，据此即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程组为， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，， ∴， ∴； （3）解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∵无论取何数时，代数式 的值始终不变， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【答案】(1) (2)0或 (3)当时；当时 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程： （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴只有，满足题意， ∴方程的正整数解为； 故答案为： ； （2）解；∵为负整数，， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 故答案为：0或； （3）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴都是正整数， ∴当为正整数时，或或或； 当为正整数数，或， ∴只有当或时都是正整数， ∴或， ∴当时，；当时，。 13．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组： （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）解：在中，令，， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 15．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）我们知道，数轴上表示数a的点A和表示数b的点B之间的距离AB可以用来表示．例如：表示5和1在数轴上对应的两点之间的距离． (1)在数轴上，A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足，则________，________，A、B两点之间的距离为________． (2)点M在数轴上，且表示的数为m，且，求m的值． (3)若点M、N在数轴上，且分别表示数m和n，且满足，，求M、N两点的距离． 【答案】(1)-1，4，5 (2)或 (3)4045 【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性得出值，运用数轴上两点之间的距离公式进行计算即可； （2）根据题意可知在数轴上的几何意义是：表示有理数的点到及到的距离之和为；然后分时、时、时分别化简绝对值，解方程即可； （3）根据题意可得，，然后分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 解得：， A、B两点之间的距离为， 故答案为：-1，4，5； （2）在数轴上的几何意义是： 表示有理数的点到及到的距离之和为， 当时，， 解得：； 当时，， 无解，故此种情况不存在； 当时，， 解得：； 综上所述：或； （3），， ，， ，， 若，解得， 此时M、N两点的距离为； 若，此方程无解； 若，此方程无解； 若，解得， 此时，不符合题意； 综上所述：M、N两点的距离为． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及数轴上两点之间的距离，根据绝对值的性质得出相应的方程是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法 题型七 加减消元法 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的情况求参数 题型十二 方程组相同解问题 题型十三 三元一次方程组的解法 题型十四 三元一次方程组的应用 题型十五 二元一次方程组的整数解问题 题型十六 二元一次方程组的新定义问题 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（23-24七年级下·河南鹤壁·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A．2024 B． C．1 D． 1．（23-24七年级下·云南文山·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25六年级下·上海静安·课后作业）下列方程①x+y； ②； ③3x+1=8y+；④xy=5 ；⑤x+=5中，是二元一次方程的是 (只填序号)． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若是关于，的二元一次方程，则ab＝ ． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的个数是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是方程的一个解，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将20元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数），则a的值为 ． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（24-25八年级·全国·课后作业）给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济南·单元测试）下列方程组中属于二元一次方程组的是（     ） ①，②，③，④． A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 1．（24-25六年级下·全国·课后作业）已知是方程组的解，则是哪一个方程的解（    ） A． B． C． D． 2．（24-25·浙江杭州·模拟预测）课本上有一例题：求方程组的自然数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下： x 0 1 2 3 4 5 6 y 6 5 4 3 2 1 0 900 1050 1200 1350 1500 1650 1800 可见只有，符合这个方程组，所以方程组的解为 从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（    ） A．先消元，然后转化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解 B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为所求的解 C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解 D．先任意给出的一对自然数，假定是解，然后代入两个方程分别检验，两个都成立，则可得方程组的解 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在(1) (2) (3) (4) 中， 是方程7x－3y＝2的解； 是方程2x＋y＝8的解； 是方程组的解．(填序号) 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 . 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）某同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知是关于x，y 的方程y=kx+b的一个解，则b的正确值应该是 3．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ． 【经典例题六 代入消元法】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）若方程组有正整数解，则整数的值为 ． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）在方程中，用含的代数式表示，则 ． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 4 a b c 3 … (1)求a、c的值； (2)把上面的表格补充完整，并求出第2024个格子中的数． 【经典例题七 加减消元法】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下面是小红同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程组： 解：由②，得_____③．………………第一步 将③代入①，得________．………………第二步 将的值代入③，得________．………………第三步 所以原方程组的解为_____．……………………第四步 任务： (1)将上面的解题过程补充完整； (2)本题体现了“代入消元法”，请用另外一种方法求解． 2．（24-25八年级上·贵州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得                      第一步 ，得，                     第二步 ；                                第三步 将代入①，得                          第四步 所以，原方程组的解为                        第五步 任务一：①这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，②第________步开始出现错误； 任务二：请解该方程组． 3．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2) 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)若，求这个方程组的解． (2)若这个方程组的解满足，求的值． 2．（23-24七年级下·山东威海·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）蓝山县某中学数学活动课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道二元一次方程组的问题． 已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足，求m的值．      (1)请同学们按照小云的方法，求出x的值为　　　，y的值为　　　　； (2)李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的值． 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（24-25八年级下·全国·假期作业）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为． (1)求a，b的正确值； (2)求原方程组的解． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙二人同时解方程组，甲看错了a，解得；乙看错了b，解得，求原方程组的解． 3．（24-25七年级下·吉林松原·期中）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得，小张抄错得，求原方程组中的值． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于的方程组． (1)当时，求的值； (2)将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值． (2)当时，求y的值． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（a，b为常数）．如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，则 　　， 　　； (3)如果组成数对的两个数x，y满足，且数对经过运算又得到数对，求a和b的值． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的情况求参数】 【例11】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 1．（2024七年级下·天津·专题练习）已知关于x，y的方程组满足，且它的解都是正数． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 2．（23-24七年级下·山东济宁·期中）阅读与思考：对于未知数是x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由． (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 3．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x、y的方程 (1)若此方程组的解x、y互为相反数，求这个方程组的解及m的值； (2)用代入法求方程组的解（用含m的式子表示）． 【经典例题十二 方程组相同解问题】 【例12】（23-24七年级下·甘肃天水·期末）若关于x，y方程组解满足，则m值为（    ） A．2 B． C．1 D． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求的值． 3．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）若关于，的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 【经典例题十三 三元一次方程组的解法】 【例13】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）解方程：． 1．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）； （2）对于有理数，规定一种新运算：⊕，其中，为常数，已知2⊕，⊕，求⊕的值． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，，为正数，且，求的值． 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期中）解方程组：． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读感悟】 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ (3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果． 1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重千克，甲盒里核桃仁的重量占甲盒坚果重量． (1)甲盒里核桃仁重多少千克？ (2)若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的，求乙盒坚果中腰果重多少千克？ (3)在(1)、(2)的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占，并且在混合之前甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？ 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）某公司装修需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．于是需将每张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)填空：上表中， ， ； (2)如果所购的标准板材为张，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的、两种型号的板材块数与所需块数相符．问按三种裁法各裁标准板材多少张？ 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 【经典例题十五 二元一次方程组的整数解问题】 【例15】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 1（23-24七年级下·重庆合川·期末）已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则 ． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数， ． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【经典例题十六 二元一次方程组的新定义问题】 【例16】（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：． (1)___________(用含有，的代数式表示)． (2)已知，且． ①求，的值； ②直接写出的值为___________． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若关于x、y的方程组与有相同的解，则的值为（　　） A．2024 B． C．1 D． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）方程组的解满足是的倍少，则的值为(    ) A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．5 C．7 D．8 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知方程组的解是，则方程组的解 ． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知方程组与有相同的解，则 ． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）解二元一次方程组： (1)； (2)． 10．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组．若，求m的值． 11．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的二元一次方程组，其中为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含的代数式表示）； (3)若无论取何数时，代数式 (是常数)的值始终不变，求的值． 12．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 13．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 14．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 15．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）我们知道，数轴上表示数a的点A和表示数b的点B之间的距离AB可以用来表示．例如：表示5和1在数轴上对应的两点之间的距离． (1)在数轴上，A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足，则________，________，A、B两点之间的距离为________． (2)点M在数轴上，且表示的数为m，且，求m的值． (3)若点M、N在数轴上，且分别表示数m和n，且满足，，求M、N两点的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$