2025年初中数学自主招生题选9-15

初中数学自主招生题选11 一．选择题（共7小题） 1．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．无法确定 2．已知a＝2010x+2008，b＝2010x+2009，c＝2010x+2010，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．2 D．1 3．边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形ABC′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（　　） A． B． C． D．2 4．已知关于x的不等式组的整数解仅为1、2、3，若m，n为整数，则代数式1+÷的值是（　　） A． B． C． D．2 5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（　　） A．22 B．24 C．36 D．44 6．如图，在直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2＝（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA＝AD，则以下结论： ①S△ADB＝S△ADC； ②当0＜x＜3时，y1＜y2； ③如图，当x＝3时，EF＝； ④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　） A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4 二．填空题（共1小题） 8．三个互不相等的实数，既可以表示为1，a+b，a的形式．也可以表示为0，，b的形式，则a2017+b2017的值为　 　． 三．解答题（共1小题） 9．一个水池安装有A，B，C，D，E五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示：（单位：小时） A，B C，D E，A D，E B，C 2 6 10 3 15 如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管？请写明推理过程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选11 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2； 第二个图形是梯形，则面积是（2a+2b）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）． 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 2．解：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac ＝ ＝ ＝， ∵a＝2010x+2008，b＝2010x+2009，c＝2010x+2010， ∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1， ∴原式＝＝． 故选：B． 3．解：设CD，C′B′交于E点，连接AE， 由旋转的性质可知△ADE≌△AB′E， ∵旋转角∠BAB′＝30°， ∴∠B′AD＝90°﹣∠BAB′＝60°， ∴∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，DE＝AD•tan30°＝， S四边形ADEB′＝2×S△ADE＝2××1×＝， ∴风筝面积为2﹣． 故选：A． 4．解：不等式组整理得：， 解得：n≤x＜m， ∵不等式组的整数解仅有1、2、3， ∴0＜n≤1，3＜m≤4， ∴整数m＝4，n＝1， 原式＝1+• ＝1﹣• ＝1﹣ ＝ ＝， 当m＝4，n＝1时，原式＝＝． 故选：A． 5．解：如图，连AF，设S△ADF＝m， ∵S△BDF：S△BCF＝10：20＝1：2＝DF：CF， 则有2m＝S△AEF+S△EFC， S△AEF＝2m﹣16， 而S△BFC：S△EFC＝20：16＝5：4＝BF：EF， 又∵S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4， 而S△ABF＝m+S△BDF＝m+10， ∴S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4＝（m+10）：（2m﹣16）， 解得m＝20． S△AEF＝2×20﹣16＝24， SADEF＝S△AEF+S△ADF＝24+20＝44． 故选：D． 6．解：对于直线y1＝2x﹣2， 令x＝0，得到y＝﹣2；令y＝0，得到x＝1， ∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA＝1，OB＝2， 在△OBA和△CDA中， ， ∴△OBA≌△CDA（ASA）， ∴CD＝OB＝2，OA＝AD＝1， ∴S△ADB＝S△ADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确； ∴C（2，2）， 把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y2＝， 由函数图象得：当0＜x＜2时，y1＜y2，选项②错误； 当x＝3时，y1＝4，y2＝，即EF＝4﹣＝，选项③正确； 当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项④正确， 故选：C． 7．解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值． 根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F， ∴EB′⊥B′F， ∴EB′＝EB， ∵E是AB边的中点，AB＝4， ∴AE＝EB′＝2， ∵AD＝6， ∴DE＝＝2， ∴DB′＝2﹣2． 故选：A． 二．填空题（共1小题） 8．解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，，b的形式， ∴这两个数组的数分别对应相等． ∴a+b与a中有一个是0，与b中有一个是1，但若a＝0，会使无意义， ∴a≠0，只能a+b＝0，即a＝﹣b，于是，只能是b＝1，于是a＝﹣1． ∴a2017+b2017＝（﹣1）2017+12017＝﹣1+1＝0， 故答案为：0． 三．解答题（共1小题） 9．解：比较第一列与第三列得注水速度：B＞E； 比较第一列与第五列得注水速度：A＞C； 比较第二列与第五列得注水速度：D＞B； 比较第二列与第四列得注水速度：E＞C； 较第三列与第四列得注水速度：D＞A． 所以，注水速度：D＞B＞E，D＞A＞C， 故选用D最快． $$初中数学自主招生题选12 一．选择题（共4小题） 1．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2．铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm，10cm，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，结果是（　　） A．甲板能穿过，乙板不能穿过 B．甲板不能穿过，乙板能穿过 C．甲、乙两板都能穿过 D．甲、乙两板都不能穿过 3．如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC＝BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 二．填空题（共2小题） 5．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是　 　． 6．如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB＝90°，∠B＝30°，如果点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数　 　（填函数解析式）的图象上运动． 三．解答题（共2小题） 7．已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B＝∠ACB＝90°，∠BA′C′＝∠BAC＝30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D，连接BD． （1）当α＝60°时，A’B过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明； （2）当α＝90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． 8．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD＝BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选12 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 1．解：设12可分成m•n，则p＝m+n（m，n同号）， ∵m＝±1，±2，±3， n＝±12，±6，±4， ∴p＝±13，±8，±7，共6个值． 故选：C． 2．解：如图，AD＝4cm，BC＝10cm，∠C＝60°． ①作DE⊥BC于E，则BE＝4，EC＝6， 由∠C＝60°知CD＝2EC＝12，故DE＝＝， 由DE＞8.5，BC＞8.5，故这两个方向都不能穿过圆洞． ②作BF⊥CD于F，有CF＝BC＝5， 得BF＝＝5＞8.5，故沿CD方向不可以通过圆洞． 综上所述，甲板不能穿过一个直径为8.5cm的圆洞； 乙钢板零件：∵乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长为12cm； ∴可求出可通过的最短长度即一腰的高线，设AD＝x， 则有sin45°＝， 解得x＝6＜8.5， ∴乙钢板零件能通过圆形入口． 故选：B． 3．解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）． 由函数的图象可知：x＞0，k＞0． ∴S△DFE＝DF•OF＝|xD|•||＝k， 同理可得S△CEF＝k，故⑤正确； 故S△DEF＝S△CEF．故①正确； 若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确； ③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； ④法一：∵CD∥EF，DF∥BE， ∴四边形DBEF是平行四边形， ∴S△DEF＝S△BED， 同理可得S△ACF＝S△ECF； 由①得：S△DBE＝S△ACF． 又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等， ∴BD＝AC，故④正确； 法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形， 而且EF是公共边， 即AC＝EF＝BD， ∴BD＝AC，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤． 故选：C． 4．解：（a﹣）• ＝ ＝ ＝a（a+2） ＝a2+2a， ∵a2+2a﹣1＝0， ∴a2+2a＝1， ∴原式＝1， 故选：C． 二．填空题（共2小题） 5．解：我们用逆向思维来做： 第一个数就是直接输出其结果的：5x+1＝656， 解得：x＝131； 第二个数是（5x+1）×5+1＝656， 解得：x＝26； 同理：可求出第三个数是5； 第四个数是， ∴满足条件所有x的值是131或26或5或． 故答案为：131或26或5或． 6．解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b）． ∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴ab＝1． 在△OAC与△BOD中，∠AOC＝90°﹣∠BOD＝∠OBD，∠OCA＝∠BDO＝90°， ∴△OAC∽△BOD， ∴OC：BD＝AC：OD＝OA：OB， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴OA：OB＝1：， ∴b：BD＝a：OD＝1：， ∴BD＝b，OD＝a， ∴BD•OD＝3ab＝3， 又∵点B在第四象限， ∴点B在函数（x＞0）的图象上运动． 故答案为：（x＞0）． 三．解答题（共2小题） 7．解：（1）当α＝60°时，BD⊥A'A． （2）补全图形如图2，BD⊥A'A仍然成立； （3）猜想BD⊥A'A仍然成立． 证明：作AE⊥C'C，A'F⊥C'C，垂足分别为点E，F，如图3， 则∠AEC＝∠A'FC'＝90°． ∵BC＝BC'， ∴∠BCC'＝∠BC'C． ∵∠ACB＝∠A'C'B＝90°， ∴∠ACE+∠BCC'＝90°，∠A'C'F+∠BC'C＝90°． ∴∠ACE＝∠A'C'F． 在△AEC和△A'FC'中， ∴△AEC≌△A'FC'． ∴AE＝A'F． 在△AED和△A'FD中， ∴△AED≌△A'FD． ∴AD＝A'D． ∵AB＝A'B， ∴△ABA'为等腰三角形． ∴BD⊥A'A． 8．证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， 则在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF， ∵BD+CD＝BC， ∴CF+CD＝BC； （2）CF﹣CD＝BC； 理由如下：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°+∠DAC，∠CAF＝90°+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， 则在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF， ∴CF﹣CD＝BC； （3）①CD﹣CF＝BC ②∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝135°， ∴∠ACF＝∠ABD＝135°， ∴∠FCD＝90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O． ∴DF＝AD＝4，O为DF中点． ∴OC＝DF＝2． $$初中数学自主招生题选13 一．选择题（共2小题） 1．已知，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD＝2，BC＝6，则△ADB的面积等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二．填空题（共3小题） 3．已知不等式组无解，则a的取值范围是　 　 4．已知a＝﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣11的值等于　 　． 5．如图，△ABC中，AB＝AC＝BC，P为三角形内一点，PA＝2，PB＝1，PC＝，△ABC的面积是　 　． 三．解答题（共2小题） 6．如果一条直线能把一个四边形面积为成相等的部分，那么我们把这条直线叫做这个四边形的面积等分线．如图直角坐标平面内有点A（1，0），点B（7，0）和点P（3，4）， （1）若四边形ABCD为平行四边形，点C的坐标为（a，4），点P在线段CD上，点Q在线段AB上，且直线PQ是四边形ABCD的面积等分线时，求出点Q的坐标用含a的代数式表示），并写出a的取值范围； （2）若点D的坐标为（1，k），点C在直线y＝x﹣7上，点P在线段CD上，点Q在线段AB上，且直线PQ是四边形ABCD的面积等分线时，求出点Q的坐标（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围． 7．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝6，∠ABE＝45°，若AE＝5，求CE的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选13 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．解：∵a＝＝＝+2，b＝＝﹣2， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×（5﹣4）＝18， ∴＝＝5， 故选：C． 2．解：作AH⊥BC，如图， ∵翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F， ∴BE＝DE，∠BDE＝∠DBE＝45°， ∴∠DEB＝90°， ∴DE⊥BC， ∵梯形ABCD为等腰梯形， ∴BH＝CE， 而AD＝HE，AD＝2，BC＝6， ∴CE＝（6﹣2）＝2， ∴DE＝BE＝4， ∴△ADB的面积＝×2×4＝4． 故选：B． 二．填空题（共3小题） 3．解：由3+x＜2x+a得x＞3﹣a； 由x﹣a＜0得x＜a． 根据“大大小小找不到”可得3﹣a≥a， 解得a≤． 故答案为a≤． 4．解：由已知得（a+1）2＝5，所以a2+2a＝4， 于是2a3+7a2﹣2a﹣12＝2a3+4a2+3a2﹣2a﹣12＝3a2+6a﹣11＝1． 5．解：将△ABP以A为旋转中心，逆时针旋转60°得到△ACD， ∵AP＝AD，∠PAD＝60°，CD＝PB＝1，AD＝PA＝2， ∴△PAD是等边三角形， ∴∠APD＝60°，PD＝PA＝2， ∵PC＝， ∴PC2+CD2＝PD2， ∴△PCD是直角三角形，且∠PCD＝90°， ∴sin∠CPD＝＝， ∴∠CPD＝30°， ∴∠APC＝∠APD+∠CPD＝90°， ∴AC＝＝， ∴S△ABC＝AB•ACsin60°＝×××＝． 故答案为：． 三．解答题（共2小题） 6．解（1）如图1中，当点Q与B重合时，点P与D重合，此时AB＝CD＝6，可得a＝6+3＝9， 当点C与P重合时，a＝3， ∴3≤a≤9， 设Q（m，O），由题意＝， ∴m＝a﹣2， ∴Q（a﹣2，0）． （2）由题意可知，点C只能在第一象限． ∵D（1，k），P（3，4）， 设直线CD的解析式为y＝k′x+b，则有， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝x+， 由，解得， ∴C（，）， ∵C在第一象限， ∴，解得2＜k＜6． ∵直线PQ是四边形ABCD的面积等分线， ∴S△ADC+S△ABC＝2S四边形ADPQ，设Q（a，0）， ∴•k•（﹣1）+×6×＝2×[×k×2+×4×（a﹣1）]， 整理得：a＝（2＜k＜6）． 7．解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F， ∵AD∥BC，∠D＝90°，BC＝CD， ∴四边形BCDF是正方形， 把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG， 则CE＝FG，BE＝BG，∠CBE＝∠FBG， ∵∠ABE＝45°， ∴∠ABG＝∠ABF+∠FBG＝∠ABF+∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ABE＝∠ABG， 在△ABE和△ABG中，， ∴△ABE≌△ABG（SAS）， ∴AE＝AG， ∴AF+CE＝AF+FG＝AG＝AE， 设CE＝x，则DE＝6﹣x，AF＝5﹣x， ∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x+1， 在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2， 即（x+1）2+（6﹣x）2＝52， 整理得，x2﹣5x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝3， 即CE的长度是2或3； $$初中数学自主招生题选14 一．选择题（共2小题） 1．若M（）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数的图象上，则（　　） A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．无法确定 2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．1﹣ D．1﹣ 二．填空题（共6小题） 3．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是　 　． 4．如图将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，D，D′分别是AB，A′B′的中点，已知AC＝12cm，BC＝5cm，则线段DD′的长为　 　cm． 5．如图所示△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论： ①AE＝CF；②△EPF为等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝；④EF＝AP； 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正确的有　 　（填序号）． 6．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为　 　． 7．已知x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+3＝　 　． 8．直线y＝x+k（k＜0）上依次有A，B，C，D四点，它们分别是直线与x轴、双曲线、y轴的交点，若AB＝BC＝CD，则k＝　 　． 三．解答题（共2小题） 9．如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证： （1）ED∥BC； （2）ED＝（AB+AC+BC）． 10．如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，它们对应的实数分别为a，b，c，d，如果存在实数λ，满足：对线段AB和CD上的任意一点，其对应的数为x，实数对应的点N仍然在线段AB或CD上，则称（a，b，c，d，λ）为“完美数组”．例如：（1，2，3，6，6）就是一组“完美数组”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选14 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．解：∵k＜0， ∴函数图象在二、四象限， ∴M、N点在第二象限，P点在第四象限， ∵﹣＜﹣， ∴0＜y1＜y2，y3＜0， ∴y2＞y1＞y3． 故选：A． 2．解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE， 在Rt△AB′E和Rt△ADE中，， ∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL）， ∴∠DAE＝∠B′AE， ∵旋转角为30°， ∴∠DAB′＝60°， ∴∠DAE＝×60°＝30°， ∴DE＝1×＝， ∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 3．解：由不等式组可得：a＜x＜1.5． 因为有6个整数解，可以知道x可取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1， 因此﹣5≤a＜﹣4． 故答案为：﹣5≤a＜﹣4． 4．解：∵AC＝12cm，BC＝5cm， ∴AB＝＝＝13， ∵D是AB的中点， ∴CD＝AB＝×13＝， ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置， ∴∠B′CD′＝∠BCD， ∵∠BCD+∠DCB′＝90°， ∴∠B′CD′+DCB′＝90°， 又CD＝CD′（旋转后是对应边）， ∴△CDD′是等腰直角三角形， ∴DD′＝CD＝cm． 故答案为：． 5．解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角， ∴∠APE＝∠CPF， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点， ∴AP＝CP， ∴∠PAE＝∠PCF， 在△APE与△CPF中， ， ∴△APE≌△CPF（ASA）， 同理可证△APF≌△BPE， ∴AE＝CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF＝S△ABC，①②③正确； 而AP＝BC，EF因不是中位线，则不等于BC的一半，故④不成立． 故始终正确的是①②③． 故答案为：①②③． 6．解：观察图形发现： 第一圈的长是2（1+2）+1＝7； 第二圈的长是2（3+4）+1＝15； 第三圈的长是2（5+6）+1＝23； 则第n圈的长是2（2n﹣1+2n）+1＝8n﹣1． 当n＝10时，原式＝80﹣1＝79． 故答案为79． 7．解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2﹣x＝1， ∴x3﹣2x2+3 ＝x（x2﹣x）﹣（x2﹣x）﹣x+3 ＝x×1﹣1﹣x+3 ＝x﹣1﹣x+3 ＝2， 故答案为：2． 8．解：如图，作BM∥y轴， ∵AB＝BC＝CD， ∴BM＝OD，OM＝OA， ∵直线y＝x+k（k＜0）， ∴A（﹣k，0），D（0，k）， ∴OA＝OD＝﹣k， ∴B（﹣k，）， ∵B点在双曲线上， ∴﹣k•＝k， 解得k＝﹣， 故答案为﹣． 三．解答题（共2小题） 9．证明：（1）分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠FDB＝90°， ∵BD＝BD，∠ABD＝∠FBD， ∴△ABD≌△FBD ∴AD＝FD， 同理可得AE＝EG， ∴DE∥BC； （2）由（1）知△ABD≌△FBD， ∴AB＝BF， 同理AC＝CG， ∵DE＝FG ∴GF＝FB+BC+GC＝AB+BC+AC， ∴DE＝（AB+BC+AC） 10．解：设A表示的数是x，则B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10， 由“完美数组”的定义，可知有如下情况： ①x（x+10）＝（x+1）（x+6）； ∴x＝2， ∴“完美数组”是（2，3，8，12，24）； ②x（x+6）＝（x+1）（x+10）； ∴x＝﹣2 ∴“完美数组”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）； ③x（x+1）＝（x+6）（x+10）； ∴x＝﹣4， ∴“完美数组”是（﹣4，﹣3，2，6，12）； $$初中数学自主招生题选10 一．选择题（共1小题） 1．已知方程组的解中，x是非正数，y为负数，则使得不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1的整数a的值为（　　） A．﹣2，﹣1 B．﹣1 C．0，1，2，3 D．1，2，3 二．填空题（共4小题） 2．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝　 　． 3．已知m2﹣5m﹣1＝0，则2m2﹣5m+＝　 　． 4．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AC平分∠BAD，E、F分别为AC、BD的中点，若EF＝3cm，则此梯形的面积为　 　． 5．将正整数按如表的规律排列，把行与列交叉处的数成为某行某列的数，记做aij（i，j是正整数），如第2行第4列的数是15，记做a24＝15，则有序数对（a25，a52）是　 　． 1　　　　4　　　　5　　　　16 …… 2　　　　3　　　　6　　　　15 …… 9　　　　8　　　　7　　　　14 …… 10　　　 11　　　 12　　　 13 …… … 三．解答题（共2小题） 6．a为何值时，关于x的分式方程+＝有根？ 7．已知点A（1，6）在反比例函数y＝的图象上，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝BC，过点B作BN⊥x轴，垂足为N，求△CBN的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选10 参考答案与试题解析 一．选择题（共1小题） 1．解： 解这个方程组得 ∵x是非正数，y为负数， ∴ 解这个不等式组得﹣2＜a＜3 当﹣2＜a＜﹣时，即2a+1＜0 不等式2ax+x＞2a+1的解集为＜1； 当﹣＜a＜3时，即2a+1＞0 不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＞1． ∴不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1的整数a的值为﹣1． 故选：B． 二．填空题（共4小题） 2．解：在Rt△ACD中，sinD＝， 故cosD＝＝cosB＝， 解得BE＝4， 故答案为4． 3．解：∵m2﹣5m﹣1＝0， ∴m2﹣5m＝1，m﹣＝5， ∴（m﹣）2＝25， ∴m2+﹣2＝25， ∴m2+＝27， ∴2m2﹣5m+＝m2++m2﹣5m＝27+1＝28． 故答案为：28． 4．解：∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠DAB＝∠ABC＝60°，DC∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB＝∠DAB＝30°，∠DCA＝∠DAC， ∴∠ACB＝90°，AD＝DC＝BC， ∴AB＝2BC＝2CD， 设CD＝a，则AB＝2a， 连接DE，并延长DE交AB于M， ∵在△DEC和△MEA中 ， ∴△DEC≌△MEA（ASA）， ∴DC＝AM＝a，DE＝EM， ∵DF＝BF， ∴EF＝BM＝（AB﹣AM）， ∵EF＝3， ∴3＝（2a﹣a）， a＝6， 即BC＝AD＝DC＝6，AB＝12， 过C作CN⊥AB于N， ∵BC＝6，∠ABC＝60°， ∴∠BCN＝30°， ∴BN＝BC＝3，由勾股定理得：CN＝3， ∴梯形的面积＝（DC+AB）×CN＝×（6+12）×3＝27， 故答案为：27． 5．解：规律如图： 则a25＝18，a52＝24， ∴有序数对（a25，a52）是（18，24）， 故答案为（18，24）． 三．解答题（共2小题） 6．解：方程两边同时乘以x（x﹣1），得 3（x﹣1）+6x＝x+a， 整理得：8x＝a+3， ∵方程有根， ∴x≠1或x≠0， 当x＝1时，a＝5， 当x＝0时，a＝﹣3， ∴a≠5或a≠﹣3时，方程有根． 7．解：如图，过点A作AM⊥OC，垂足为M，连接OB， ∵点A（1，6）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝1×6＝6， 又∵点B在反比例函数y＝上， ∴S△BON＝×6＝3， ∵AM⊥OC，BN⊥OC， ∴△CBN∽△CAM， ∴＝＝， 又∵AB＝BC， ∴＝＝＝＝， ∴AM＝6， ∴BN＝3， ∴ON＝2， ∴MN＝2﹣1＝1＝NC， ∴S△BNC＝NC•BN＝×1×3＝， 答：△CBN的面积为． $$初中数学自主招生题选（15） 一．选择题（共10小题） 1．已知关于x，y的方程组的解满足方程3x+2y＝19，则m值是（　　） A．1 B．﹣1 C．19 D．﹣19 2．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（　　） A．2 B．24 C．2 D．12 4．若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程+＝﹣2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣3 5．如图，直线y＝ax+b与x轴交于A点（4，0），与直线y＝mx交于B点（2，n），则关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4 6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 7．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（　　） A．3 B． C． D． 8．如图，表示阴影区域的不等式组为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知AD为△ABC的高，AD＝BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，EF∥AD，交AC于F，连ED，EC，有以下结论：①△ADE≌△BCE，②CE⊥AB，③BD＝2EF，④S△BDE＝S△ACE 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．①③ D．①③④ 10．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（　　） A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣6 二．填空题（共12小题） 11．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积为　 　． 12．若（2020﹣a）（2019﹣a）＝2021，则（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝　 　． 13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为　 　． 14．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　．（结果用m，n表示） 15．当x＝a与x＝b（a≠b）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x＝a+b时，代数式x2﹣2x+3的值为　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为　 　． 17．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是　 　． 18．用标有1克，2克，6克，26克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有　 　种． 19．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　 　． 20．函数y＝中，自变量x的取值范围为　 　． 21．若0＜a＜1，则关于x的不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集是　 　． 22．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为　 　． 三．解答题（共8小题） 23．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高　 　cm，放入一个大球水面升高　 　cm； （2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？ 24．为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示： 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元． （1）求日销售量n与第x天之间的函数关系式； （2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费） （3）求日销售利润y的最大值及相应的x． 25．习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表： 类型 占地面积 可供使用幢数 造价（万元） A 15 18 1.5 B 20 30 2.1 （1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？ （2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1） 26．若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解． 27．箭头四角形 模型规律 如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B． 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　． ②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝　 　． ③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝　 　度． （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形． 28．已知一次函数y＝﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标； （2）先求点E坐标，然后在x轴上找点P，使得△AEP为等腰三角形，请直接写出符合条件的点P坐标； （3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，联结OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积． 29．如图1，一次函数y＝kx﹣4（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点B（﹣6，b）． （1）b＝　 　；k＝　 　； （2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD＝24，求点C的坐标； （3）将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D'的坐标． 30．综合与实践： 如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点． （1）观察猜想 在图1中，线段PM与QM的数量关系是　 　； （2）探究证明 当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 当∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3， ①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由； ②请直接写出四边形PMQN面积的最大值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 提招强化练习（1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．解：， ①+②得x＝7m， ①﹣②得y＝﹣m， 依题意得3×7m+2×（﹣m）＝19， ∴m＝1． 故选：A． 2．解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1， 则①a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＞0； ②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c， |a﹣c|＝﹣a+c， ∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|； ③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0， ∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0； ④∵|a|＞1，1﹣bc＜1， ∴|a|＞1﹣bc； 故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C． 3．解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上， ∴＝﹣+，即a﹣b＝﹣c， 又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4， ∴ab＝4，即ab＝8， 又∵a2+b2＝c2， ∴（a﹣b）2+2ab＝c2， 即∴（﹣c）2+2×8＝c2， 解得c＝2， 故选：A． 4．解：解不等式组，可得 ， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣1≤﹣＜0， ∴﹣4＜a≤3， 解分式方程，得 y＝（a+2）， 又∵分式方程有非负数解， ∴y≥0，且y≠2， 即（a+2）≥0，（a+2）≠2， 解得a≥﹣2且a≠2， ∴﹣2≤a≤3，且a≠2， ∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3， ∴满足条件的整数a的值之和是1． 故选：B． 5．解：∵， ∴ax+b＝mx， 解得， ∵直线y＝ax+b与直线y＝mx交于点B（2，n）， ∴， 由ax﹣b＝mx，得， ∴， ∴关于x的一元一次方程ax﹣b＝mx的解为：x＝﹣2， 故选：B． 6．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2＝a2+b2， 阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c）， 较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a， 则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c）， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 7．解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8， ∴AB＝＝＝4， ∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4， ∵点E为BO的中点， ∴OE＝BO＝×8＝4， ∴OE＝A′O＝4， 过点O作OF⊥A′B′于F， S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8， 解得OF＝， 在Rt△EOF中，EF＝＝＝， ∵OE＝A′O，OF⊥A′B′， ∴A′E＝2EF＝2×＝， ∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝； 故选：B． 8．解：∵x≥0表示直线x＝0右侧的部分，2x+y≤5表示直线y＝﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直线y＝﹣x+右上方的部分， 故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：． 故选：D． 9．解：如图延长CE交AD于K，交AB于H．设AD交BE于O． ∵∠ODB＝∠OEA，∠AOE＝∠DOB， ∴∠OAE＝∠OBD， ∵AE＝BE，AD＝BC， ∴△ADE≌△BCE，故①正确， ∴∠AED＝∠BEC，DE＝EC， ∴∠AEB＝∠DEC＝90°， ∴∠ECD＝∠ABE＝45°， ∵∠AHC＝∠ABC+∠HCB＝90°+∠EBC＞90°， ∴EC不垂直AB，故②错误， ∵∠AEB＝∠HED， ∴∠AEK＝∠BED， ∵AE＝BE，∠KAE＝∠EBD， ∴△KAE≌△DBE， ∴BD＝AK， ∵△DCK是等腰直角三角形，DE平分∠CDK， ∴EC＝EK， ∵EF∥AK， ∴AF＝FC， ∴AK＝2EF， ∴BD＝2EF，故③正确， ∵EK＝EC， ∴S△AKE＝S△AEC， ∵△KAE≌△DBE， ∴S△KAE＝S△BDE， ∴S△BDE＝S△AEC，故④正确． 故选：D． 10．解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0）， ∵AB＝BC， ∴B（，）， ∵点B在y＝上， ∴•＝k， ∴k+mn＝4k， ∴mn＝3k， 连接EC，OA． ∵AB＝BC， ∴S△AEC＝2•S△AEB＝14， ∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO， ∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n， ∴14＝﹣k﹣+， ∴k＝﹣12． 解法二：过点B作BM⊥DE于M，设A（a，），则B（，）． 由题意，OE＝﹣a，DE＝﹣a，ME＝﹣a，BM＝，DM＝﹣a， ∵S△ABE＝S梯形ADMB+S△BEM﹣S△ADE＝7， ∴（+）×（﹣a）+×（﹣a）×（）﹣××（﹣a）＝7， 解得k＝﹣12． 故选：A． 二．填空题（共12小题） 11．解：∵a+b＝17，ab＝60， ∴S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]＝， 故答案为： 12．解：设x＝2020﹣a，y＝2019﹣a，则xy＝2021，x﹣y＝（2020﹣a）﹣（2019﹣a）＝1 ∴（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2021＝4043 故答案为：4043． 13．解：如图，连接BM． ∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称， ∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE． ∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD． ∴∠FAB＝∠MAE， ∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE＝∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF＝BM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝4． ∵DM＝1， ∴CM＝3． ∴在Rt△BCM中，BM＝＝5， ∴EF＝5， 故答案为：5． 14．解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n， ∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n， 故答案为：m+2019n． 15．解：由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2可知抛物线y＝x2﹣2x+3对称轴为直线x＝1， ∵当x＝a与x＝b（a≠b）时，代数式x2﹣2x+3的值相等， ∴当x＝a或x＝b（a≠b）时，二次函数y＝x2﹣2x+3的函数值相等， ∴以a、b为横坐标的点关于直线x＝1对称，则＝1， ∴a+b＝2， ∵x＝a+b， ∴x＝2， x＝2时，代数式x2﹣2x+3＝4﹣4+3＝3． 故答案为3． 16．解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP， ∵∠MON＝90°， ∴Rt△MON中，OE＝MN＝4， 又∵∠MQP＝90°，MN＝8，PN＝4，NE＝4， ∴Rt△PNE中，PE＝， 又∵OP≤PE+OE＝4+4， ∴OP的最大值为4+4， 即点P到原点O距离的最大值是4+4， 故答案为：4+4． 17．解：不等式ax+3≥0的解集为： （1）a＞0时，x≥﹣， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）a＝0时，无论x取何值，不等式恒成立； （3）当a＜0时，x≤﹣，则3≤﹣＜4， 解得﹣1≤a＜﹣． 故a的取值范围是﹣1≤a＜﹣． 18．解：（1）当一端放砝码，另一端不放砝码时： ①当天平一端只放一个砝码时，可称量重物的克数有：1克，2克，6克，26克4种； ②当天平的一端只放两个砝码时，可称量重物的克数有：1+2＝3克，1+6＝7克，1+26＝27克，2+6＝8克，2+26＝28克，6+26＝32克6种； ③当天平一端只放三个砝码时，可称量重物的克数有：1+2+6＝9克，1+2+26＝29克，1+6+26＝33课，2+6+26＝34克共4种； ④当天平一端放四个砝码时，可称量重物的克数有1+2+6+26＝35克共1种 （2）当两端都放砝码时： ①当两端都有一个砝码时，可称量的重物的克数有：2﹣1＝1克，6﹣1＝5克，6﹣2＝4克，26﹣1＝25克，26﹣1＝24克，26﹣6＝20克除去和上面重复的外，共5种； ②当两端共有三个砝码时，可称量的重物的克数有：6+1﹣2＝5克，6+2﹣1＝7克，1+26﹣2＝25克，2+26﹣1＝27克，26+1﹣6＝22克，6+26﹣2＝30克，26+1﹣6＝21克，26+6﹣1＝31克，26﹣1﹣2＝23克，26﹣1﹣6＝19克，26﹣2﹣6＝18克除去重复的外，共有7种 ③当天平两端放四个砝码时，可称量重物的克数有：26+1+2﹣6＝23克，26+2+6﹣1＝33克，26+1+6﹣2＝31克，26+1﹣2﹣6＝19克，26+2﹣1﹣6＝21克，26+6﹣1﹣2＝29克，26﹣1﹣2﹣6＝17克除重复的外共1种． 所以共有4+6+4+1+5+7+1＝28（种） 故答案为：28． 19．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°， ∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'， ∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAD＝120°， ∴A′B′＝CD，A′B′∥CD， ∴四边形A′B′CD是平行四边形， ∴A′D＝B′C， ∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值， ∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′， 则CE的长度即为A'C+B'C的最小值， ∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1， ∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝， ∴DE＝1， ∴DE＝CD， ∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°， ∴∠E＝∠DCE＝30°， ∴CE＝2×CD＝． 故答案为：． 20．解：根据题意得到：|x|﹣1＞0， 解得|x|＞1， 即x＞1或x＜﹣1， 故答案为x＞1或x＜﹣1． 21．解：因为0＜a＜1，可得＞1， ∴a＜． ∵（a﹣x）（x﹣）＞0， ∴（x﹣a）（x﹣）＜0， ∴a＜x＜． ∴关于x的不等式（a﹣x）（x﹣ ）＞0的解集是a＜x＜． 故答案为：a＜x＜． 22．解：由题意，设OA＝3a，则OB＝4a， ∴A（3a，0），B（0，4a）， 设直线AB的解析式是y＝kx+b， 根据题意得：， 解得：， 则直线AB的解析式是， ∵直线CD是∠AOB的平分线， 则OD的解析式是y＝x， 根据题意得：， 解得：， 则D的坐标是（，）， OA的中垂线的解析式是， 则C的坐标是（，），则， ∵以CD为边的正方形的面积为，且， 则， 解得：， ∴， 故答案为：14． 三．解答题（共8小题） 23．解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x＝32﹣26，解得x＝2； 设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y＝32﹣26，解得：y＝3． 所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm； （2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，得 解得：， 答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个． 24．解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图可知 ，解得 ∴n＝2x+10 同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44 ∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝ （2）∵y＝mn﹣80 ∴y＝ 整理得，y＝ （3）当1≤x≤10时， ∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5 ∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大 ∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270 当10＜x＜15时 ∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝＝≈13.2＜13.5 ∴x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2 当15≤x≤30时 ∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＞30 ∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小 ∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300 综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元 25．解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个． 依题意得：， 解得6≤x≤9.17， ∵x为整数， ∴x＝6，7，8，9有四种方案； 设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42， ∵﹣0.6＜0， ∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元）， ∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱； （2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨）， 当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040， ∵0，故有最小值， 当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨）， 当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+， 当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨）， ∵240＜250， 故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨， ∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个， ∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨）， 故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低． 26．解：原方程化为kx2+（2﹣3k）x﹣1＝0①． （1）当k＝0时，原方程有一个解，x＝； （2）当k≠0时，方程①△＝5k2+4（k﹣1）2＞0，总有两个不同的实数根， 由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根， 故x＝1，得k＝． 综上可知k的值为0或，当k＝0时，方程的解为x＝；k＝时，方程的解为x＝﹣2． 27．解：（1）①如图2， 在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α， 在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α； ②如图3， ∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF， ∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F， ∴∠F＝， ∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°， ∴∠F＝85°； ③如图3， 由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO， ∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO， ∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C， ∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC， 则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC）， 代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C， 解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC， ∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°， ∴∠BO1000C＝m°+n°； 故答案为：①2α；②85°；③（m+n）； （2）如图5，连接OC， ∵OA＝OB＝OD， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA， ∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BCD＝∠BOD， ∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边， ∴△OBC≌△ODC（SSS）， ∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO， ∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO， ∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD， 又∠BOD＝∠BCD， ∴∠BOC＝∠BCO， ∴BO＝BC， 又OB＝OD，BC＝CD， ∴OB＝BC＝CD＝DO， ∴四边形OBCD是菱形． 28．解：（1）y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝8， ∴B（8，0）； （2）过点E作EG⊥AB，垂足为G，如图： 在中，当x＝0时，y＝6， ∴A（0，6），OA＝6， 而B（8，0），OB＝8， ∴AB＝10， ∵AE平分∠BAO， ∴∠OAE＝∠GAE， 而∠AOE＝∠AGE＝90°，AE＝AE， ∴△AOE≌△AGE（AAS）， ∴AG＝AO＝6，OE＝GE， 设OE＝x，则 EG＝x，BE＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4， 在Rt△BEG中，GE2+BG2＝BE2， ∴x2+42＝（8﹣x）2，解得 x＝3， ∴OE＝3， ∴E（3，0）， ∴AE＝3， △AEP为等腰三角形，设P（m，0），则PE＝|m﹣3|，AP＝， ①AE＝PE时，3＝|m﹣3|，解得m＝3+3或m＝﹣3+3， ∴P（3+3，0）或（﹣3+3，0）， ②AE＝AP时，3＝，解得m＝3（舍去）或m＝﹣3 ∴P（﹣3，0） ③PE＝AP时，|m﹣3|＝，解得m＝﹣， ∴P（﹣，0）， 综上所述，△AEP为等腰三角形，P坐标为（3+3，0）或（﹣3+3，0）或P（﹣3，0）或P（﹣，0）； （3）延长BF交y轴于点K，过点F作FH⊥OB，垂足为H，如图： ∵A（0，6），E（3，0）； ∴直线AE解析式为：y＝﹣2x+6， ∵AE平分∠BAO， ∴∠KAF＝∠BAF， ∵BF⊥AE， ∴∠AFK＝∠AFB＝90°， 而AF＝AF， ∴△AFK≌ABK（ASA）， ∴FK＝FB， ∵∠BOK＝90°， ∴OF＝BK＝BF， ∴△OFB为等腰三角形， ∵OF＝BF，FH⊥OB， ∴OH＝BH＝4， ∴F点的横坐标为4， 设F（4，y）， 将F（4，y）代入直线AE解析式y＝﹣2x+6，解得 y＝﹣2， ∴FH＝2， ∴． 29．解：（1）将点B的坐标代入y＝﹣得，b＝﹣＝2， 故点B的坐标为（﹣6，2）； 将点B的坐标代入一次函数表达式得，2＝﹣6k﹣4，解得k＝﹣1， 故一次函数表达式为y＝﹣x﹣4， 故答案为2，﹣1； （2）∵点C在直线AB上，故设点C（m，﹣m﹣4），则点D（m，﹣）， 则S四边形OCBD＝S△CDB+S△CDO＝CD×（xO﹣xB）＝（﹣+m+4）×6＝24， 解得m＝﹣2或6（舍去6）， 故点C（﹣2，﹣2）； （3）由AB的函数表达式知，直线AB与x轴负半轴的夹角为45°， 设△OCD沿射线AB方向向左平移m个单位，则向上平移m个单位，则点O′（﹣m，m）， 将点O′的坐标代入y＝﹣得，m＝﹣，解得m＝（舍去负值）， 故点D′的坐标为（﹣2﹣2，6+2）． 30．解：（1）结论：PM＝MQ． 理由：∵AB＝AC．AD＝AE， ∴BD＝CE， ∵DP＝PE，DM＝CM， ∴PM＝EC， ∵CQ＝QB，CM＝MD， ∴MQ＝DB， ∴PM＝MQ． 故答案为：PM＝MQ． （2）如图2中，结论：△PQM是等腰三角形． 理由：连接EC，BD． ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE， ∵DP＝PE，DM＝CM， ∴PM＝EC， ∵CQ＝QB，CM＝MD， ∴MQ＝DB， ∴PM＝MQ， ∴△PMQ是等腰三角形． （3）①如图3中，结论：四边形PMQN是正方形． 理由：连接BD，EC，延长CE交BD于点H，交AB于点O． ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠ACO+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH， ∴∠ABD+∠BOH＝90°， ∴∠CHB＝90°， ∴CH⊥BD， ∵DP＝PE，DM＝CM， ∴PM＝EC，PM∥CH， ∵CQ＝QB，CM＝MD， ∴MQ＝DB，MQ∥BD， ∴PM＝MQ，PM⊥MQ， ∴∠PMQ＝90°， ∵DP＝PE，BN＝EN， ∴PN＝BD，同法可证NQ＝EC， ∴PM＝MQ＝MN＝PN， ∴四边形PMQN是菱形， ∵∠PMQ＝90°， ∴四边形PMQN是正方形． ②∵AC＝5，AE＝2， ∴EC≤AE+AC， ∴EC≤7， ∴EC的最大值为7， ∵PM＝EC， ∴PM的最大值为， ∴正方形PMQN的面积的最大值为． $$初中数学自主招生题选09 一．填空题（共8小题） 1．直线l1∥l2∥l3∥l4，其中l1，l2之间距离和l3，l4之间距离均为1，l2，l3之间距离为2．正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，则S四边形ABCD＝　 　． 2．设f（x）＝，则f（）+f（）+…+f（）+f（2）+f（3）+…+f（99）＝　 　． 3．设第n行第m个数为an，m．满足an，n＝an，1＝，an，m＝an+1，m+an+1，m+1，求a12，11＝　 　． 4．计算：＝　 　． 5．直线x﹣y＝1与反比例函数的图象如果恰有一个交点，则该交点必定在第　 　象限． 6．平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45°得到正方形A′B′C′D′，那么这两个正方形重叠部分的面积为　 　． 7．设A（0，﹣2），B（4，2）是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点C（1，5）的距离等于2，则点P的坐标为　 　． 8．方程组的解为　 　． 二．解答题（共1小题） 9．解关于x的方程a（x﹣1）++3＝0． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选09 参考答案与试题解析 一．填空题（共8小题） 1．解：过A作AE⊥l1于E，过C点作CF⊥l2于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°﹣∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF＝1，EB＝CF＝3， ∴AB2＝AE2+EB2＝12+32＝10， ∴S正方形ABCD＝10， 故答案为：10． 2．解：∵f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝1， f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝1， … f（99）＝＝，f（）＝＝，f（99）+f（）＝1， ∴f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）＝98×1＝98， 故答案为：98． 3．解：因为an，n＝an，1＝， 所以a11，11＝a11，1＝， a12，12＝a12，1＝， 因为an，m＝an+1，m+an+1，m+1， 所以a12，11＝a11，11﹣a12，12＝﹣＝． 故答案为：． 4．解：原式＝ ＝ ＝﹣． 故答案为﹣． 5．解：由x﹣y＝1化成y＝x﹣1可知直线经过一三四象限， ∵直线x﹣y＝1与反比例函数的图象如果恰有一个交点， ∴反比例函数的图象应该在二四象限， ∴该交点必定在第四象限， 故答案为：四． 6．解：如图所示： 设AE＝AF＝x，则EF＝． 根据题意可知：AE+EL+LD＝1，即2x+＝1． 解得：x＝． ∴AE＝． ∴△AEF的面积＝． ∴重合部分的面积＝正方形的面积﹣4×△AEF的面积＝1﹣4×＝2． 故答案为：2． 7．解∵A（0，﹣2），B（4，2）， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣2， ∴线段AB的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+2， ∵点P在直线y＝﹣x+2上， ∴可以假设P（m，﹣m+2）， ∵PC＝2，C（1，5）， ∴（m﹣1）2+（﹣m﹣3）2＝8， 解得m＝﹣1， ∴P（﹣1，3）， 故答案为（﹣1，3）． 8．解：， ①+②得：531（x+y）＝4，即x+y＝③， ①﹣③×217得：97y＝2﹣， 解得：y＝， 将y＝代入③得x＝， 则方程组的解为． 故答案为： 二．解答题（共1小题） 9．解：方程整理得：+＝﹣3， 去分母得：ax2+3x+2＝0， 当a＝0时，方程为3x+2＝0，即x＝﹣； 当a＞时，方程无解； 当a＝时，方程的解为x＝﹣； 当a＜且a≠0时，方程的解为x1＝，x2＝． $$