2025年九年级 数学自主招生题选1-8

初中数学自主招生题选06 一．选择题（共3小题） 1．函数y＝++（x+1）0中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥2且x≠﹣1 C．x≥2且x≠3 D．x≥2且x≠3，﹣1 2．已知x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2 3．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（　　） A． B．2 C．1.5 D． 二．填空题（共3小题） 4．已知（a+b）2＝2016，（a﹣b）2＝2012，则ab＝　 　． 5．已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝　 　． 6．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝12，则AC的长等于　 　． 三．解答题（共1小题） 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N． （1）求k的值； （2）求△BMN面积的最大值； （3）若MA⊥AB，求t的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选06 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．解：由题意得，x﹣2≥0且x﹣3≠0，x+1≠0， 解得x≥2且x≠3，x≠﹣1， 所以x≥2且x≠3． 故选：C． 2．解：∵x＝2是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解， ∴（2﹣5）（2a﹣3a+2）≤0， 解得：a≤2， ∵x＝1不是这个不等式的解， ∴（1﹣5）（a﹣3a+2）＞0， 解得：a＞1， ∴1＜a≤2， 故选：C． 3．解：∵ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠B＝90°， ∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上， ∴AO＝AD，CO＝BC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴AO＝CO，AC＝AO+CO＝AD+BC＝2BC， ∴∠CAB＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∴∠BCE＝， ∴BE＝ ∵AB∥CD， ∴∠OAE＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF， ∴EF与AC互相垂直平分， ∴四边形AECF为菱形， ∴AE＝CE， ∴BE＝， ∴＝2， 故选：B． 二．填空题（共3小题） 4．解：∵（a+b）2＝2016，（a﹣b）2＝2012， ∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2016﹣2012＝4， ∴ab＝1． 故答案为：1． 5．解：∵a2﹣6a+1＝0， ∴a≠0，将方程两边除以a得：a﹣6+＝0即a+＝6， 而＝＝， ∵＝2， ∴，即， 解得m＝， 经检验m＝是原方程的解， 故答案为：． 6．解：过D点作DF∥BE， ∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE， ∴F为EC中点，AD⊥DF， ∵AD＝BE＝12，则DF＝6，AF＝＝＝6， ∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE， ∴∠ABG＝∠DBG，∠AGB＝∠DGB＝90°， ∵BG＝BG， ∴△ABG≌△DBG（ASA）， ∴AG＝DG， ∴G为AD中点， ∴E为AF中点， ∴AC＝AF＝×6＝9． 故答案为：9． 三．解答题（共1小题） 7．解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y＝（x＞0）得： k＝1×8＝8，y＝， ∴k＝8； （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 根据题意得：， 解得：k＝，b＝﹣3， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3； 设M（t，），N（t，t﹣3）， 则MN＝﹣t+3， ∴△BMN的面积S＝（﹣t+3）t＝﹣t2+t+4＝﹣（t﹣3）2+， ∴△BMN的面积S是t的二次函数， ∵﹣＜0， ∴S有最大值， 当t＝3时，△BMN的面积的最大值为； （3）∵MA⊥AB， ∴设直线MA的解析式为：y＝﹣2x+c， 把点A（8，1）代入得：c＝17， ∴直线AM的解析式为：y＝﹣2x+17， 解方程组 得： 或 （舍去）， ∴M的坐标为（，16）， ∴t＝． $$初中数学自主招生题选05 一．选择题（共3小题） 1．已知数列2008，2009，1，﹣2008，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于（　　） A．1 B．4018 C．2010 D．0 2．若x2+x﹣2018＝0，的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 3．不超过（2+）6的最大整数是（　　） A．2700 B．2701 C．2702 D．2703 二．填空题（共3小题） 4．如图，设点P在函数y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，若四边形PAOB的面积为4，则m﹣n＝　 　． 5．已知有理数x满足2（x+1）+≥x﹣1，则|2x﹣1|+|x﹣4|的最小值为　 　． 6．某学习小组由教师和学生组成，以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数，该小组人数的最小值为　 　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选05 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．解：第一项2008； 第二项2009； 第三项1； 第四项﹣2008； 第五项﹣2009； 第六项﹣1； 第七项2008； 第八项2009； ∴数列的周期为6，且前六项之和为0． ∵2014÷6＝335…4． ∴S2014＝2008+2009+1﹣2008＝2010． 故选：C． 2．解：∵x2+x﹣2018＝0， ∴x2+x＝2018， ∵＝＝＝＝＝x2+x+2， 原式＝2018+2＝2020， 故选：D． 3．解：令a＝2﹣，b＝2+， ∴a+b＝4，ab＝1， ∴a6+b6＝（a2+b2）3﹣3a2b2（a2+b2）＝143﹣3×14＝2702， ∵0＜a＜1， ∴2701＜b6＜2702， 故选：B． 二．填空题（共3小题） 4．解：根据题意，S四边形PCOD＝m，S△BOD＝n，S△AOC＝n ∴四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝m﹣n﹣n＝4， ∴m﹣n＝4． 故答案为：4 5．解：解不等式2（x+1）+≥x﹣1得x≤2， ∴≤x≤2时，|2x﹣1|+|x﹣4|有最小值，此最小值是． 故答案是：． 6．解：设男学生人数为x人，女学生人数为y人，教师人数为z人，则 ，即z＜y＜x＜2z， 即z最小为3才能满足条件， 此时x最小为5，y最小为4， 即该小组人数的最小值为5+4+3＝12． 故答案为：12． $$初中数学自主招生题选04 一．选择题（共2小题） 1．如图，P（m，m）是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（　　） A． B．3 C． D． 2．如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在BC边上，折痕EF∥BC，得到△EFG；再继续将纸片沿△BEG的对称轴EM折叠，依照上述做法，再将△CFG折叠，最终得到矩形EMNF，若△ABC中，BC和AG的长分别为4和6，则矩形EMNF的面积为（　　） A．5 B．6 C．9 D．12 二．填空题（共2小题） 3．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分，则a+b的值为　 　． 4．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，CD⊥AB于D点，BC＝1，点P是直线BC上一动点，连接AP．若点E是AP的中点，则DE的最小值是　 　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选04 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．解：作PD⊥OB， ∵P（m，m）是反比例函数y＝在第一象限内的图象上一点， ∴m＝，解得：m＝3， ∴PD＝3， ∵△ABP是等边三角形， ∴BD＝PD＝， ∴S△POB＝OB•PD＝（OD+BD）•PD＝， 故选：D． 2．解：由翻折的性质：△AEF≌△GEF， ∴EM＝FN＝AG＝3， 同理：△EBM≌△EGM，△FCN≌△FGN， ∴，， ∴， ∴S矩形EMNF＝MN•EM＝3×2＝6， 故选：B． 二．填空题（共2小题） 3．解：∵（﹣）2＝3+﹣4+3﹣＝2， ∴﹣的整数部分是1， ∴a＝﹣1， ∵（﹣）2＝6+3﹣6+6﹣3＝6． ∴﹣的整数部分是2， ∴b＝﹣2， ∴a+b＝﹣1+﹣2＝+﹣3． 故答案为：+﹣3． 4．解：延长AB到F点，使DF＝AD，连接CF，作FH⊥BC于H，如图， 在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°， ∴AC＝BC＝，∠ABC＝60°， 在Rt△BCD中，BD＝BC＝，CD＝BD＝， 在Rt△CDF中，DF＝CD＝×＝， ∴BF＝1， 在Rt△BFH中，BH＝，FH＝BH＝， ∵DA＝DF，AE＝EP， ∴DE为△AFP的中位线， ∴DE＝FP， 当点P在H点的位置时，FP的值最小， ∴DE的最小值为． 故答案为． $$初中数学自主招生题选08 一．选择题（共3小题） 1．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息分开可以从不同的路线同时传递，则单位的时间内传递的最大信息量为（　　） A．19 B．20 C．24 D．25 2．已知四边形四条边长分别是a，b，c，d，若a2+b2+c2+d2＝ab+bc+cd+da，则此四边形的形状是（　　） A．正方形 B．平行四边形但不一定是矩形和菱形 C．矩形但不一定是菱形 D．菱形但不一定是矩形 3．一人写好4封信和4个信封，但他随便将4封信装进4个信封里，结果竟然全部装错了．现问这种全部装错的情况有（　　） A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 二．填空题（共3小题） 4．若x﹣＝3，则＝　 　． 5．直线l的方程为x+my﹣1+2m＝0，则不论m取任何实数，直线l必过定点　 　． 6．如图是一个残缺的3×3幻方，此幻方每一行每一列及每一条对角线上的三个数之和的值都相等，则x的值为　 　． 4017 2012 4015 11 2014 9 x 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选08 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．解：依题意，首先找出A到B的路线， ①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量，从结点A向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是4个和3个，此时信息量为3+4＝7个． ②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B，所以此时信息量为6+6＝12个． ③综合以上结果，单位时间内从结点A向结点B传递的最大信息量是3+4+6+6＝7+12＝19个． 故选：A． 2．解：∵a2+b2+c2+d2＝ab+bc+cd+da， ∴2（a2+b2+c2+d2）＝2（ab+bc+cd+da） ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（d﹣a）2＝0 即a＝b＝c＝d 根据菱形的判定，可知此四边形为菱形，但不一定是矩形． 故选：D． 3．解：设四封信编号为A、B、C、D，对应的信封分别是a、b、c、d， 解法一：根据题意知，信封A中可以装信b、c、d，即装错信的情况有3种； 信封B装中可以装信a、c、d，即装错信的情况有3种； 信封C装中可以装信a、b、d，即装错信的情况有3种； 所以3+3+3＝9（种）． 即：共有9种情况． 解法二：根据题意知，信封A中可以装信b、c、d，即装错信的情况C种， 同理，信封B装中可以装信a、c、d，即装错信的情况C种，信封C装中可以装信a、b、d，即装错信的情况C种， 所以根据加法原理得到：3C＝9（种）． 故选：C． 二．填空题（共3小题） 4．解：∵x﹣＝3， ∴x2﹣2+＝9， 则x2+＝11， ∴＝＝＝， 故答案为：． 5．解：∵直线l的方程为x+my﹣1+2m＝0， ∴m（y+2）＝1﹣x， ∴不论m取任何实数，直线l必过定点（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）． 6．解：设第一列第一行的数为m， 依题意，得 解得 x＝4016． 故答案为：4016． $$初中数学自主招生题选01 一．选择题（共5小题） 1．满足的所有实数x的和为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．五张如图所示的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形ABCD中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（　　） A．a＝2b B．a＝3b C．3a＝2b D．2a＝3b+1 3．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（　　） A． B． C． D． 4．某校初三年级有四个班，每班挑选乒乓球男女运动员各一人，组成年级混合双打代表队．那么，四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是（　　） A． B． C． D． 5．设，则的整数部分是（　　） A．61 B．62 C．63 D．64 二．填空题（共1小题） 6．已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为　 　． 三．解答题（共1小题） 7．一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A距公路30km的地方有一居民点B，A、B之间的距离为90km．一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点．已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h，在草地上行驶的最快速度是30km/h．问司机应在公路上行驶多少千米？全部所用的行车时间最短？最短时间为多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选01 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．解：当2﹣x＝1，即x＝1时，满足题意． 当2﹣x＝﹣l，即x＝3时，由于，所以满足题意． 当2﹣x≠±1且2﹣x≠0，即x≠1 且x≠3 且x≠2时，令 x2﹣x﹣2＝0，得 x＝﹣1． 因此，所求和为 1+3+（﹣l）＝3． 故选：A． 2．解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝2b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a， ∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝3b+PC， ∴AE+a＝3b+PC，即AE﹣PC＝3b﹣a， ∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝2b×AE﹣a×PC＝2b（PC+3b﹣a）﹣aPC＝（2b﹣a）PC+6b2﹣2ab， 则2b﹣a＝0，即a＝2b， 故选：A． 3．解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n+2）； ∴+++…+ ＝+++…+ ＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣） ＝×（1+﹣﹣） ＝× ＝， 故选：D． 4．解：∵先把四个女运动员任意排列，设为ABCD， 和A配合的男运动员有4个选择； 和B配合的男运动员剩下3种选择； 和C配合的男运动员剩下2种选择； 最后一个和D配合． 所以总共有24种． ∴4男4女组成四队混合双打的情况共有：4×3×2＝24种， 设一、二、三、四班的男、女选手分别为A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4，则四队混合双打中，没有一对选手是同班同学的情景如下： 由上得共有9种情形． 故四对混合双打中，没有一对选手是同班同学的概率是：＝． 故选：C． 5．解：∵，2050﹣2018+1＝33， ∴M＞且M＜， ∴＜M＜， ∴＜＜， 即61＜＜62， ∵＞＞＞…＞， ∴M＞， ∴＜＝61， ∴61＜＜61， ∴的整数部分为61， 故选：A． 二．填空题（共1小题） 6．解：x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0 （x+y）2+（x+y）﹣12＝0， （x+y+4）（x+y﹣3）＝0 ∵x、y为非负数， ∴x+y+4＞0， ∴x+y＝3，即x＝3﹣y， ∴0≤x≤3，0≤y≤3， ∴x（1﹣y）＝（3﹣y）（1﹣y）＝（y﹣2）2﹣1≤3， 故答案为：3． 三．解答题（共1小题） 7．解：如图，作射线AM交BC的延长线于M，使得∠MAC＝30°，作DH⊥AM． ∵时间t＝＝（AD+BD），DH＝AD， ∴时间t＝（DH+BD）， ∴当D，H，B共线，且BH⊥AM时，时间t最小， 作BH′⊥AM于H′交AC于D′，此时时间最小值＝•BH′， ∵AB＝90km，BC＝30km， ∴AC＝60（km）， ∴CM＝AC•tan30°＝20（km）， 在Rt△BMH′中，BH′＝BM•cos30°＝（20+30）×＝（30+15）（km）， ∴t的最小值＝+．此时AD′＝． $$初中数学自主招生题选03 一．选择题（共3小题） 1．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（　　） A．1 B． C． D．2 2．已知k＝＝＝，且+n2+9＝6n，则关于自变量x的一次函数y＝kx﹣mn的图象一定经过第（　　）象限． A．一，二 B．三，四 C．二，三 D．一，四 3．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二．填空题（共1小题） 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为　 　． 三．解答题（共3小题） 5．1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min． 设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50） （Ⅰ）根据题意，填写下表： 上升时间/min 10 30 … x 1号探测气球所在位置的海拔/m 15 　 　 … 　 　 2号探测气球所在位置的海拔/m 　 　 30 … 　 　 （Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由； （Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？ 6．已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B＝∠ACB＝90°，∠BA′C′＝∠BAC＝30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D，连接BD． （1）当α＝60°时，A’B过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明； （2）当α＝90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． 7．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD＝BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的等量关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选03 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．解：（a﹣）• ＝ ＝ ＝a2+2a ∵a2+2a﹣1＝0， ∴a2+2a＝1， ∴原式＝1 故选：A． 2．解：∵k＝＝＝， ∴当a+b+c≠0时，k＝＝1， 当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，则k＝＝﹣2， ∵+n2+9＝6n， ∴+（n﹣3）2＝0， ∴m﹣5＝0，n﹣3＝0，解得m＝5，n＝3， 当k＝1时，一次函数解析式为y＝x﹣15，图象经过第一、三、四象限， 当k＝﹣2时，一次函数解析式为y＝﹣x﹣15，图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数y＝kx﹣mn的图象一定经过第三、四象限． 故选：B． 3．解：如图1，， 设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l， 则l＝2（a+2b+c）， 根据图示，可得 （1）﹣（2），可得：a﹣b＝b﹣c， ∴2b＝a+c， ∴l＝2（a+2b+c）＝2×2（a+c）＝4（a+c），或l＝2（a+2b+c）＝2×4b＝8b， ∴2（a+c）＝，4b＝， ∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，的值一定， ∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道． ∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②． 故选：A． 二．填空题（共1小题） 4．解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB＝S矩形ABCD， ∴AB•h＝AB•AD， ∴h＝AD＝2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4， ∴BE＝＝＝， 即PA+PB的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共3小题） 5．解：（Ⅰ）根据题意得：1号探测气球所在位置的海拔：m1＝x+5，2号探测气球所在位置的海拔：m2＝0.5x+15； 当x＝30时，m1＝30+5＝35；当x＝10时，m2＝5+15＝20， 故答案为：35，x+5，20，0.5x+15． （Ⅱ）两个气球能位于同一高度， 根据题意得：x+5＝0.5x+15， 解得：x＝20，有x+5＝25， 答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度． （Ⅲ）当30≤x≤50时， 由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球， 设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym， 则y＝（x+5）﹣（0.5x+15）＝0.5x﹣10， ∵0.5＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝50时，y取得最大值15， 答：两个气球所在位置海拔最多相差15m． 6．解：（1）当α＝60°时，BD⊥A'A． （2）补全图形如图2，BD⊥A'A仍然成立； （3）猜想BD⊥A'A仍然成立． 证明：作AE⊥C'C，A'F⊥C'C，垂足分别为点E，F，如图3， 则∠AEC＝∠A'FC'＝90°． ∵BC＝BC'， ∴∠BCC'＝∠BC'C． ∵∠ACB＝∠A'C'B＝90°， ∴∠ACE+∠BCC'＝90°，∠A'C'F+∠BC'C＝90°． ∴∠ACE＝∠A'C'F． 在△AEC和△A'FC'中， ∴△AEC≌△A'FC'． ∴AE＝A'F． 在△AED和△A'FD中， ∴△AED≌△A'FD． ∴AD＝A'D． ∵AB＝A'B， ∴△ABA'为等腰三角形． ∴BD⊥A'A． 7．证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF ∵BD+CD＝BC， ∴CF+CD＝BC； （2）CF﹣CD＝BC； 理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF（SAS） ∴BD＝CF ∴BC+CD＝CF， ∴CF﹣CD＝BC； （3）①CD﹣CF＝BC 理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AB＝AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF， ∴CD﹣BC＝CF， ∴CD﹣CF＝BC； ②由①知，△BAD≌△CAF， ∴∠ACF＝∠ABD， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝135°， ∴∠ACF＝∠ABD＝135°， ∴∠FCD＝90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O． ∴DF＝AD＝2，O为DF中点． ∴OC＝DF＝． $$初中数学自主招生题选07 一．选择题（共3小题） 1．已知x＝22，y＝﹣7，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D．4 3．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑，白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第n+2段与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2016条棱分别停止在在正方体顶点处时，它们之间的距离是（　　） A．0 B．1 C． D． 二．填空题（共4小题） 4．在平面直角坐标中，点A（0，8），点B（6，0），动点C在x轴负半轴上，动点D在y轴负半轴上运动，且CD＝10，若N、M分别为AB、CD的中点，则线段MN的最大值为　 　． 5．若a4+b4＝a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2＝　 　． 6．黄冈中学邀请一批专家来为理科实验班的学生举办5期知识讲座，其中Q大学教授3人，不参加最后一期讲座，B大学教授2人，不参加相邻两期讲座，则共有　 　种安排方法． 7．某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价（单位：元）分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9，旅游团领队交代每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于　 　． 三．解答题（共1小题） 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°，BD＝1，DC＝，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE． （1）求∠EBC； （2）求AB长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选07 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．解：原式＝﹣ ＝ ＝ ＝， 当x＝22，y＝﹣7时，原式＝＝1． 2．解：在Rt△AOB中，AO2＝AB2﹣BO2； Rt△DOC中可得：DO2＝DC2﹣CO2； ∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2﹣BO2+DC2﹣CO2＝18， 即可得AD＝＝3． 故选：A． 3．解：根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点． 乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA． 因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱， 因为2016÷6＝336，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2016条棱分别停止的点都是A，所以它们之间的距离是0． 故选：A． 二．填空题（共4小题） 4．解：如图，连接OM、ON， 在△OMN中，OM+ON＞MN， ∴若MN最大时，则O，M，N三点共线，即MN＝OM+ON时，MN最大． ∵点A（0，8），点B（6，0）， ∴OA＝8，OB＝6． 在直角△AOB中，由勾股定理知：AB＝＝＝10． ∵N为AB的中点， ∴ON＝AB＝5． 在直角△COD中，CD＝10，点M是CD的中点， ∴OM＝CD＝5． ∴MN＝OM+ON＝10． 故答案是：10． 5．解：有a4+b4＝a2﹣2a2b2+b2+6， 变形后 （a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0， （a2+b2﹣3）（a2+b2+2）＝0， 又a2+b2≥0， 即a2+b2＝3， 故答案为3． 6．解：由题意，先安排最后一期讲座，有＝2（种）方法， 再安排B大学另外一名教授，有＝3（种）方法， 最后Q大学教授3人，进行全排，有＝6（种）方法， 2×3×6＝36（种）． 故共有36种安排方法． 故答案为：36． 7．解：因为每份菜单价（单位：元）分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9，共9种菜，所有符合要求的购菜方案为：1+9，2+8，3+7，4+6，1+2+7，1+3+6，1+4+5，2+3+5，1+2+3+4，共9种，又共有92人就餐， 所以 92÷9＝10…2． 所以 至少有一个方案的人数不少于 11． 故答案是：11人． 三．解答题（共1小题） 8．（1）证明：由题意△ADE≌△ADC， ∴ED＝CD＝，∠ADE＝∠ADC＝45°，∠EDC＝90°， ∵BD＝1， 在Rt△EDB中，tan∠EBD＝， ∴∠EBC＝60°． （2）解：在AB上截取点F，使得DF＝BD， ∴∠DBF＝∠DFB＝30°，BD＝FD＝1， 易知BF＝， ∴∠FDA＝∠FAD＝15°，AF＝DF＝1， ∴AB＝BF+AF＝+1， 方法二：作AM⊥BC于M． ∵∠ADM＝45°， ∴DM＝AM， ∵∠ABM＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴AM＝， 在Rt△ABM中，sin30°＝， ∴AB＝2AM＝+1． $$初中数学自主招生题选02 一．选择题（共4小题） 1．如图图形都是由同样大小的黑色圆点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个黑色圆点，第②个图形中一共有15个黑色圆点，第③个图形中一共有28个黑色圆点，……，按此规律排列下去，第⑥个图形中的黑色圆点的个数为（　　） A．45 B．61 C．66 D．91 2．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3．若关于x的方程＝﹣的解为整数，且不等式组无解，则所有满足条件的非负整数a的和为（　　） A．2 B．3 C．7 D．10 4．若函数，则当自变量x取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是（　　） A．540 B．390 C．194 D．197 二．填空题（共3小题） 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝21，则S2的值是　 　． 6．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1、l2，过点A1（1，﹣）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为　 　． 7．如图，点E、F分别是边长为2的正方形ABCD边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接DE、AF相交于P点，作PN⊥CD于N点，PM⊥BC于M点，连接MN，则MN长的最小值为　 　． 三．解答题（共1小题） 8．一个三位自然数是s，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数s′（s′可以与s相同），设s′＝，在s′所有的可能情况中，当|x+3y﹣z|最大时，我们称此时的s′是s的“梦想数”，并规定P（s）＝x2+3y2﹣z2．例如127按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为|2+3﹣7|＝2，|1+21﹣2|＝20，|7+6﹣1|＝12，2＜12＜20， 所以172是127的“梦想数”，此时，P（127）＝12+3×72﹣22＝144． （1）求512的“梦想数”及P（512）的值； （2）设三位自然数S＝交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若29s+7s′＝4887，且P（s）能被7整除，求s的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 八年级数学自主招生题选02 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 1．解：通过观察，得到： 第①个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+1×2＝6， 第②个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+2×3＝15， 第③个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+7+3×4＝28， …， 所以第n个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）+n（n+1）， 当n＝6时，1+3+5+7+9+11+13+6×7＝91， 故选：D． 2．解：由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角， 那么所剪出的平面图形是360°÷60°＝6边形． 故选：D． 3．解：＝﹣， 去分母，方程两边同时乘以x﹣3， ax＝3+a+x， x＝，且x≠3， ， 由①得：x＞5， 由②得：x＜a， ∵不等式组无解， ∴a≤5， 当a＝0时，x＝＝﹣3， 当a＝1时，x＝无意义， 当a＝2时，x＝＝5， 当a＝3时，x＝＝3分式方程无解，不符合题意， 当a＝4时，x＝＝， 当a＝5时，x＝＝2， ∵x是整数，a是非负整数， ∴a＝0，2，5， 所有满足条件的非负整数a的和为7， 故选：C． 4．解：∵x2﹣100x+196＝（x﹣2）（x﹣98） ∴当2≤x≤98时，|x2﹣100x+196|＝﹣（x2﹣100x+196）， 当自变量x取2到98时函数值为0， 而当x取1，99，100时，|x2﹣100x+196|＝x2﹣100x+196， 所以，所求和为（1﹣2）（1﹣98）+（99﹣2）（99﹣98）+（100﹣2）（100﹣98）＝97+97+196＝390． 故选：B． 二．填空题（共3小题） 5．解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝21， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝21， ∴x+4y＝7， ∴S2＝x+4y＝7． 故答案为7 6．解：∵过点A1（1，﹣）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，……依次进行下去， ∴A1与A2横坐标相同，A2与A3纵坐标相同， ∴当x＝1时，y＝1， ∴A2（1，1）， ∴当y＝1时，x＝﹣2， A3（﹣2，1）， 同理可得：A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），A6（4，4），A7（﹣8，4），A8（﹣8，﹣8）… ∴A2n﹣1的横坐标为（﹣2）n﹣1， ∴点A2019的横坐标（﹣2）1009＝﹣21009． 故答案为﹣21009． 7．解：如图所示：取AD的中点G，连接GP、PC． ∵∠PNC＝∠PMC＝∠C＝90°， ∴四边形PNCM为矩形， ∴MN＝PC． ∵BE＝CF， ∴CE＝DF． 在△ADF和△DCE中，DF＝CE，∠ECD＝∠ADF，AD＝DC， ∴△ADF≌△DCE． ∴∠DAF＝∠EDC． ∵∠ADP+∠EDC＝90°， ∴∠DAP+∠ADP＝90°， ∴PG＝AD＝1． 在Rt△CDG中，由勾股定理得：CG＝＝． ∵PG为等值， ∴当点P、G、C在一条直线上时，PC有最小值，最小值＝CG﹣PG＝﹣1． ∴MN的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 三．解答题（共1小题） 8．解：（1）∵512按上述方法可得到新数有：152，215，521， ∵|1+3×5﹣2|＝14，|2+3×1﹣5|＝0，|5+3×2﹣1|＝10 ∴14＞10＞0 ∴152是512的“梦想数”． P（512）＝1+3×25﹣4＝72 （2）∵S＝ ∴s'＝ ∵29s+7s′＝4887 ∴29（100+10a+b）+7（100+10b+a）＝4887 ∴3a+b＝13 ∵a，b为自然数 ∴a＝2，b＝7 a＝3，b＝4 a＝4，b＝1 ∴三位数为127，134，141 ∴P（127）＝12+3×72﹣22＝144，P（134）＝42+3×32﹣12＝42，P（141）＝12+3×42﹣12＝48 又∵P（s）能被7整除 ∴s＝134 $$