2025年九年级数学中考一轮复习 圆综合解答题 专题提升训练

2025年九年级数学中考一轮复习 《圆综合解答题》专题提升训练 1．如图，内接于⊙，⊙的弦交于点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接交于点，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，，若，的面积为6，求线段的长． 2．如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 3．如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点P，若，求的长度． 4．如图，在中，．以为直径的与交于点，与交于点，点在边的延长线上，且． (1)证明：是的切线； (2)过点作，垂足为．若，，求的半径． 5．已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 6．如图，在中，，平分交于点 D ，O 为上一点，经 过点 A 、D 的分别交，于点 E ，F ，连接交于点 G． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 7．已知：内接于，，延长交于点，过点作交于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点作，垂足为，交于点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，点为弧上一点，若，，，求的长． 8．如图，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．在中，延长直径至点，以为一边的等腰三角形，，底边与交于点，直线是的切线，交于点． (1)如图①，当时，求和的大小； (2)如图②，当且直线恰与相切．若，求的长． 10．等边三角形的边长，点是直线上一动点，以为直径作 (1)如图1，已知点在边上，且与边交于点，当与相似时，求的长； (2)当与的某一边所在的直线相切时，的值为 ； (3)如图2，若，，与边相交于另一点，与边相交于，连接，设的面积为，试求出与之间的函数关系． 11．四边形是的内接矩形，点E是上的一动点，连接，，，其中交于点F． (1)如1图，当时， ①求证：； ②若，连接，．求证：四边形是菱形． (2)如2图，若，，请用含k的式子表示的值． 12．如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若为直径，如图2，求的值； (3)若，且，求的值． 13．如图，是的外接圆，是的直径．连结，过点B作，交于点D，连结，． (1)猜想与的数量关系，并证明你的结论． (2)当时，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数表达式．并求出当四边形的面积为时，的长． (3)在（2）的条件下，将绕点D逆时针旋转度得，当的一个顶点（点D除外）落在上时，直接写出线段的长度为______． 14．如图，在等腰中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，． (1)_____． (2)当时，求的值； (3)设，， ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围； ②设的面积为，的面积为，求的最小值． 15．问题背景：已知点A是半径为r的圆O上的定点，连接，将线段绕点O逆时针方向旋转得到，连接，过点A作圆O的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 初步感知： （1）如图1，当时，________； 问题探究： （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线、相交于点F． ①如图2，当时，求证：不论在给定的范围内如何变化，总是成立． ②如图3，当，时，请补全图形，并求出及的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考一轮复习《圆综合解答题》专题提升训练》参考答案 1．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和角的等量关系求出，即可证明； （2）根据直径所对应的圆周角是，结合第（1）问，利用角的等量关系求出，即可证明； （3）连接，过点作于，过点作于；由（1）知，从而得，则；由对顶角相等及同弧对的圆周角相等，可得；设，由（2）及已知易得，从而，则；设，则，; 由等腰直角三角形的性质及勾股定理分别求得，由面积关系建立方程即可求得的值；再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作⊙的直径，连接，如图， 是⊙的直径， ， ， ， 由（1）得， 又， ， ， ． （3）解：如图，连接，过点作于，过点作于； 由（1）知； ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则； 由（2）知， ∴，； ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则； ∵， ∴，; ∵，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）； ∴，， 由勾股定理得：； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点的综合运用，第（3）小题得到是解题的关键． 2．(1)= (2)见解析 (3)， 【分析】（1）由旋转及等腰三角形可得答案； （2）由旋转得，再由（1）得出的，即可证明； （3）由三线合一证明出，再由全等得出，即，再按弧长公式计算即可． 本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键． 【详解】（1）∵， ∴， 由旋转，得， ∴， 故答案为：=； （2）证明：由旋转可知， ∴， 又∵，， ∴； （3）∵当为直径时，以为半径的⊙O切CD于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴点A，O，D在同一直线上， ∴， ∴的值为， ∴， ∴优弧==. 3．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，推出，即可证明结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而推出，利用相似三角形对应线段成比例证明即可； （3）令与的交点为，先证明四边形是矩形，再利用垂径定理，得出，设的半径为，利用勾股定理，依次求出，，，，再证明，利用相似三角形对应线段成比例求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）证明：如图，连接， 是直径， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，令与的交点为， 是直径， ， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径，， ， 设的半径为，则，，， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂径定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆与几何的综合，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，圆的切线的判定和性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，圆的切线的判定和性质． （1）连接，根据题意，可得，根据等腰三角形三线合一，可得，再根据，等量代换，得到，即可； （2）根据题意，则，根据直角的性质，可得，等角对等边，可得，根据勾股定理求出，推出，根据相似三角形的判定和性质，可得，得到，求出，即可得到半径． 【详解】（1）解：证明如下： 连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为直径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 5．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，作于点，由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，则，据此求解； （2）连接，由两角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由对顶角的性质可得，则，推出，据此证明； （3）作的垂直平分线，交于，则，由外角的性质可得，由（2）知，则，结合三角函数的概念可得 ，设，由勾股定理可得，表示出，进而可得，由圆周角定理可得，由两角对应相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：连接，作于点，如图所示： ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ，， ， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：作的垂直平分线，交于，连接，如图所示： ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， 设，，， ， ， 在中，，则， ， 是直径， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查圆综合，难度较大，涉及等腰三角形性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、对顶角相等、垂直平分线性质、外角性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 6．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）连接，由为角平分线得到一对角相等再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到与平行，得到与垂直，即可得证； （2）连接，，证明，由相似三角形的性质即可证得结论； （3）设圆的半径为r，由的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到与平行，得到，进而求出的长，再根据（2）的结论即可求得的长． 【详解】（1）解：连接， ， ∵平分交于点 D ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）解： 在中，， 设圆的半径为r， ∴，解得：， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴，即：， 解得：， ∴． 7．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理推论可得，根据等腰三角形底边上的高和顶角的平分线重合可得，连接，根据圆周角所对的弦是直径可得是的直径，根据直径所对的圆周角是可得，即可证明； （2）连接，根据同位角相等，两直线平行可得，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等可得，根据三个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，即可证明； （3）设，则，根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据三角形内角和是求得，过点作交于点，在上取点，使得，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等腰三角形底边上的高和顶角的平分线重合可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，推得，根据三角形内角和是推得，根据等角对等边可得，求得，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴， 连接，如图： ∵， 即， ∴是的直径， ∴， 即， ∴， 即． （2）证明：连接，如图： ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 过点作交于点，在上取点，使得，如图： 则， ∴， 在中，， 即， ∴， 即， ∴， 即， ∴， 故，， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角的相关定理，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，勾股定理等．作出辅助线，熟练掌握三角形有关的性质定理是解题的关键． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，得，由，得，根据平行线的判定得，根据平行线的性质得，根据垂线定义得； （2）根据，得出，证明，得出，，进而求得，，根据，求得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 即 解得：， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．(1)， (2) 【分析】（）根据等腰三角形的判定与性质可知，最后利用平行线的判定与性质以及切线的性质即可解答； （）根据等边三角形的判定与性质可知，再利用切线的性质及角平分线的判定可知，最后利用锐角三角函数及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵直线是的切线， ∴， ∵，，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线，是的切线， ∴， ∴，，又， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，切线的性质、等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定与性质以及切线的性质是解题的关键． 10．(1)的长为 (2)，， (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质可得当时，，，结合等边三角形的性质，锐角三角函数的计算即可求解； （2）当时，是的切线，根据等腰三角形的“三线合一”即可求解； （3）如图所示，过点作于点，连接，根据特殊角的锐角三角函数，中位线等知识可得关于的数量关系，结合三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的直径， ∴，即， ∴，， 当时，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的长为； （2）解：第一种情况，如图所示，点是直线上一动点，是的直径， 当时，是的切线， ∵是等边三角形， ∴，， ∴； 第二种情况，如图所示，与相切时，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，则， ∴； 同理，如图所示，当与线段相切时，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，，； （3）解：如图所示，过点作于点，连接， 已知，是直径，， ∴， ∴在中，，， ∴，，则， ∵， ∴，即点是中点，且点是中点， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，中位线，“三线合一”，圆与三角形的综合，相似三角形的判定和性质，切线的性质，锐角三角函数的计算，掌握圆与三角形的综合，锐角三角形的计算方法是解题的关键． 11．(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】本题考查了圆与相似三角形综合；利用相似三角形和三角函数转换线段比是解题关键． （1）①由得，进而可得，再用AAS即可证明结论．②连接、、，可证明，是等边三角形，进而可得四边相等，即可得出结论． （2）由可证明，进而可得，再证明，可得，即得，由此即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ②证明：如图1，连接、、， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 （2）证明：如图2，连接，过点E作于点， ∵， ∴是的直径， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ 12．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，再根据同一个圆中，相等的圆心角所对的弦相等即可证明； （2）延长到点E，使得，连接，由四点共圆，可得，则，再由直径所对的圆周角为，得，，再由勾股定理可得，即可得出的值． （3）由题意可得，设，得出，证出，，再由求出，再由得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长到点E，使得，连接， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴； 又由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，； ∵为直径， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ， ． （3）解：由题可知：，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 且，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得（负值已舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆的综合性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 13．(1)，证明见解析 (2)；的长为 (3)或 【分析】（1）延长交于点，利用圆周角定理得到，再利用平行线的性质得到，利用垂径定理可得，最后利用线段垂直平分线的判定定理即可解答； （2）设与交于点，根据三线合一性质，结合（1）中的结论得到，再利用圆周角定理可求得，进而证出是等边三角形以及，得出，再利用锐角三角函数的知识求出，再利用面积公式即可求出y关于x的函数表达式；令，解出对应的值即可求出的长； （3）分2种情况：①当落在上时；②当落在上时，画出对应的图形，结合（2）中的结论，利用旋转和等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，延长交于点， 是的直径， ， ， 又， ， ， 是的垂直平分线， 又点在直线上， ． （2）解：如图，设与交于点， 由（1）得，，， 平分， ， ， ， 又， ， 又， ， ，， 是等边三角形，， ，， 在中，， ， ， ； 令，则有， 解得：，（舍去负值）， 当四边形的面积为时，的长为． （3）解：①当落在上时， 由（2）得，，是等边三角形， ， 由旋转的性质得，， ， 点与点重合， ； ②当落在上时，连接、， 由（2）得，，，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， 由旋转的性质得，，，， ， 四边形是菱形， ，， ，， 四点共线， ． 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合、圆周角定理、特殊角的三角函数值、二次函数的应用、旋转的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，结合图形添加适当的辅助线并灵活运用图形的性质是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 14．(1) (2) (3)①；②1 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，即可求解； （2）方法一：由勾股定理得， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得；方法二：由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）①由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，，代入 ，即可求解； 方法二：如图，过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得， 即可求解； ②由相似三角形的性质得，，令，化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ， 故答案为：； （2）解：方法一：，， ，， ， ，是中点， 是中点， ， ， ， ， 又， ， ， ； 方法二： ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①在中， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知 ， 整理得：， ， ， 解得：， ， 自变量的范围是， 故； 方法二：如图，过作于， 在中 ， ， 解得：， 解得：， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 取值范围求法见方法一， 故； ②， ， 令， ， 当时，的最小值为1． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值等；掌握圆的基本性质，能熟练利用勾股定理，相似三角形的判定及性质及二次函数的性质求最值是解题的关键． 15．（1）；（2）见解析；（3）①见解析；②图见解析，， 【分析】本题主要考查了圆的综合题以及切线的性质，锐角三角函数，全等的判定和性质，相似的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据等腰的角度和切线的性质即可求出； （2）因为，且，要证，实际要证，根据我们证线段相等的思路：（1）同一个三角形证等腰（2）不同三角形证全等，可证即可； （3）由得，再作，证得到，通过设边长，再利用勾股定理，建立勾股方程即可找到线段之间的关系． 【详解】（1）且， 是等边三角形， ， 直线是圆的切线，为切点， ，即， ， 故答案为：； （2）证明：四边形是矩形，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 即无论在给定的范围内如何变化，总成立． （3）①补全图形如图， 是切线， ， ， ， 设，则， ， ，， ，， 即点在线段上， ． ②：由，得 ， 又， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$