精品解析：江苏省扬州市江都区2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷

八年级数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 用四舍五入法得到的近似数1.23，下列说法正确的是（ ） A 精确到个位 B. 精确到十分位 C. 精确到百分位 D. 精确到千分位 2. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标可能是（ ） A B. C. D. 4. 将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数图像经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 请写出一个比小的正整数：______． 11. 在平面直角坐标系里，点关于x轴对称的点Q的坐标是________． 12. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF． 13. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为______． 14. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 15. 我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为__________尺． 16. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为______． 17. 如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是______． 18. 如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算． （1） （2） 20. 求下列各式中x的值． （1） （2） 21. 已知：如图，点E、F上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出向右平移6个单位得到的； （2）在网格中画出关于x轴对称的； （3）在x轴上画一点Q，使得的值最小． 23. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）若，求x的取值范围； （3）这个函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求的面积． 24. 如图，长方形中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①在边上取一点，使； ②在上作一点，使点到点和点的距离相等； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的面积． 25. 如图，． （1）若， ①如果，那么的度数为 ； ②猜想和的数量关系并证明； （2）如果，与有什么位置关系？请证明你的结论． 26. 一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离与行驶的时间之间的函数关系分别如图中折线和线段所示． （1）甲、乙两地相距 ，快车行驶速度是 ，慢车的行驶速度是 ； （2）求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义； （3）慢车出发多长时间后，两车相距？（请直接写出答案） 27. 【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： （1）该一次函数的“友好函数”为 ； （2）已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； （3）当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； （4）已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 28. 【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，则点A的坐标是 ； （3）如图3，直线l：分别交x轴、y轴于点A、B． ①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式； ②如图4，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 用四舍五入法得到的近似数1.23，下列说法正确的是（ ） A. 精确到个位 B. 精确到十分位 C. 精确到百分位 D. 精确到千分位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查近似数，确定数字3所在的数位即可得出结果． 【详解】解：数字3所在的数位为百分位， ∴1.23精确到百分位； 故选C． 2. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可． 【详解】A.，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意； B.，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意； C.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项符合题意； D.，，，符合全等直角三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征判断即可． 【详解】解：由题意可知，点M在第二象限． A．在第一象限，故本选项不符合题意； B．在第二象限，故本选项符合题意； C．在第三象限，故本选项不符合题意； D．在第四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 4. 将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，掌握“上加下减”的平移原则是解题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由上加下减”的原则可知： 将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是，即． 故选：C． 5. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理， 延长，交于点E，根据题意得到，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图，延长，交于点E， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴直线与直线的夹角为． 故选：B． 6. 已知一次函数的图像经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的基本概念和一次函数的图像，一次函数的图像经过点；当时，的值随着值的增大而增大；当时，的值随着值的增大而减小．解题的关键是熟练掌握对一次函数图像的影响．根据题意，y随x的增大而减小，则为负值，分别将各选项坐标代入函数，求出值，判断即可得出结论． 【详解】选项，当点坐标为时，将其代入解析式，得到，解得， ∴的值随着值的增大而增大 ∴选项不符合题意； 选项选项，当点A坐标为时，将其代入解析式，得到，解得， ∴的值随着值的增大而增大 ∴选项不符合题意； 选项，当点A坐标为时，将其代入解析式，得到，解得， ∴的值随着值的增大而增大 ∴选项不符合题意； 选项，当点A坐标为时，将其代入解析式，得到，解得， ∴的值随着值的增大而减小， ∴选项符合题意． 故选． 7. 如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线的定义和性质得，则选项B不符合题意；再证明，得，则选项C不符合题意；然后在中，由勾股定理求出，则，选项D不符合题意；进而证明不是等腰直角三角形，得，则选项A符合题意；即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ∴，故选项D不符合题意； ∵， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴不是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键． 8. 已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键． 先求出此直线交y轴于，交x轴于，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答， 【详解】解：当时，，则此直线交y轴于， 当时，，解得：，则此直线交x轴于， 当时，；当时，； 画出一次函数的图象如图所示： ， A．若且， ∴或， 当时，若，则，即，即A选项不符合题意； B．若且， ∴或或， 当时，若，则，即，即B选项不符合题意； C．若且， ∴， 当，则，即，即C选项不符合题意； D．若且， ∴， ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 请写出一个比小的正整数：______． 【答案】2（或1） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，先用“夹逼法”估算出在哪两个整数之间，即可得出结果． 【详解】解：， ， 比小的正整数可以是1或2， 故答案为：2（或1）． 11. 在平面直角坐标系里，点关于x轴对称的点Q的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；熟练掌握关于轴对称点的规则是解题的关键；根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】点与点Q关于x轴对称， 点Q的坐标是， 故答案为： 12. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF． 【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F 【解析】 【分析】判定一般三角形全等一共有四种方法，根据这四种方法一一选择即可． 【详解】解：添加BE=CF ∵BE=CF， ∴BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故答案为：AB=DE（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，根据判定的方法选择合适的方法，关键是要能熟练运用三角形的判定方法． 13. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2倍时，底边为， ∵， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2倍时，底边为， ∵， ∴不能构成三角形． ∴周长= 故答案为：． 14. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 15. 我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为__________尺． 【答案】 【解析】 【分析】设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：如图所示， 设木柱长为尺，根据题意得： ∵ 则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 16. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、作图—作角平分线，由勾股定理可得，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当时，当时，根据三角形内角和定理并结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图： ， ∵， ∴， ∴； 当时，如图： ， ∵， ∴， ∴； ∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，为锐角三角形时， ∴， 故答案为：． 18. 如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出两点坐标，直线上时的函数值，根据动点P在的内部列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴， ∵动点P在的内部， ∴且， ∴； 故答案为： 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先开方，再进行加减运算即可； （2）先去绝对值，进行乘方运算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. 求下列各式中x的值． （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用立方根的定义，解方程即可； （2）利用平方根，解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴． 【小问2详解】 ， ∴， ∴或， ∴或． 21. 已知：如图，点E、F在上，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再由计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出向右平移6个单位得到的； （2）在网格中画出关于x轴对称的； （3）在x轴上画一点Q，使得的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平移、轴对称变换、线段和最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）利用坐标平移的规律分别作出A，B，C的对应点依次连接即可； （2）利用对称的性质分别作出点的对应点依次连接即可； （3）连接交x轴于点Q，点Q即为所求作． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作． 【小问2详解】 解：如图，即为所求作． 【小问3详解】 解：如图，点Q即为所求作． 23. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）若，求x的取值范围； （3）这个函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式、解一元一次不等式、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，解一元一次不等式即可得解； （3）求出、的坐标，从而可得、长，再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵y与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：； 【小问3详解】 解：在中，当时，，即， ∴， 当时，，解得，即， ∴， ∴的面积为． 24. 如图，长方形中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①在边上取一点，使； ②在上作一点，使点到点和点的距离相等； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的面积． 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查线段的尺规作图，垂直平分线的尺规作图，勾股定理的应用，解题的关键是掌握线段的尺规作图，垂直平分线的尺规作图，勾股定理的应用． （1）①以点为圆心，长为半径画弧，交于即为点；②连接，作线段的垂直平分线，交于点，即为所求； （2）由作图可得，，根据勾股定理，求出，根据，求出；再根据垂直平分线的性质，可得，设，根据勾股定理，求出，再根据，即可． 【小问1详解】 解：①以点为圆心，长为半径画弧，交于，即为点；如下图： ②连接，作线段的垂直平分线，交于点，即为所求，如下图： 【小问2详解】 解：连接， 由作图可得，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，． （1）若， ①如果，那么的度数为 ； ②猜想和的数量关系并证明； （2）如果，与有什么位置关系？请证明你的结论． 【答案】（1）①40②，证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）①等边对等角，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得出结果； ②同①即可得出结论； （2）根据等边对等角，结合，推出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴； 故答案为：； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离与行驶的时间之间的函数关系分别如图中折线和线段所示． （1）甲、乙两地相距 ，快车行驶速度是 ，慢车的行驶速度是 ； （2）求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义； （3）慢车出发多长时间后，两车相距？（请直接写出答案） 【答案】（1）600，100，50 （2），点E的实际意义为快车行驶时，与慢车在距离甲地处相遇 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）通过图象获取信息，利用路程除以时间求出速度即可； （2）求出的解析式，联立求出点的坐标，根据交点表示相遇，解释点的实际意义即可； （3）分快车到达乙地和从乙地返回，两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：甲、乙两地相距， 快车的速度为：； 慢车的速度为：； 故答案为：600，100，50； 【小问2详解】 ∵快车到达乙地后停留了，沿原路仍以原速度返回甲地， ∴点，即：， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴； ∵慢车的速度为， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴，实际意义为快车行驶时，与慢车在距离甲地处相遇； 【小问3详解】 ①当快车到达乙地之前：，解得：； ②当快车从乙地返回时，，解得：或； 答：慢车出发或或后，两车相距． 27. 【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”． 例如：一次函数，它的“友好函数”为； 【定义2】平面直角坐标系中将经过点且垂直于轴的直线记为直线． 已知一次函数，请回答下列问题： （1）该一次函数的“友好函数”为 ； （2）已知点在该一次函数的“友好函数”的图像上，求的值； （3）当时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值； （4）已知直线与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解答本题的关键． （1）依据题意，根据“友好函数”的定义，由当时，，从而当时，，进而可以得解； （2）依据题意，分和，结合点在该一次函数的“友好函数”的图象上，进而建立方程求出，即可得解； （3）依据题意，分和，根据一次函数的性质求出最大值和最小值即可； （4）依据题意，画出一次函数的“友好函数”的图象，进而结合直线与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，根据“友好函数”的定义， 当时，， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，符合题意； 当时， 点在该一次函数的“友好函数”的图像上， ， ，不符合题意； 综上，； 【小问3详解】 解：当时，，随的增大而减小， 当时，有最大值为，当时，临近最小值为； 当时，，随的增大而增大， 当时，有最小值为，当时，有最大值为； 综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为，最小值为； 【小问4详解】 解：由题意，画出一次函数的“友好函数”的图象如下： 直线与该一次函数“友好函数”的图像只有一个交点， ． 28. 【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，则点A的坐标是 ； （3）如图3，直线l：分别交x轴、y轴于点A、B． ①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式； ②如图4，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）见解析（2）（3）①② 【解析】 【分析】（1）同角的余角相等，求出，利用证明即可； （2）根据（1）中结论得到，求出点坐标即可； （3）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作，设，易得，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；②过点作轴，过点作轴，设，易得，求出点坐标，利用勾股定理结合完全平方式的非负性，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵点B的坐标为， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作， 设，则：， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同法（1）可得：， ∴， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴； ②过点作轴，过点作轴，设，则：， 同法可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$