2025年九年级数学中考一轮复习《圆综合解答题》专题提升训练

2025年春九年级数学中考一轮复习《圆综合解答题》专题提升训练（附答案） 1．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，的平分线交⊙O于C，过C作AE的垂线交AE于D，交AB的延长线于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，， ①求⊙O的半径； ②在AC上取一点H，满足，求BH的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G． （1）求证：∠AED＝∠CAD； （2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG·EA； （3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长． 3．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC、AC于点D、E． （1）求证：BD＝CD； （2）若∠ABC＝63°，求∠BDE的度数； （3）过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，当AO＝DF＝4时，求图中阴影部分的面积． 4．如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O （1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线 （2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由． 5．已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证： （3）若，，求的长． 6．已知：上两个定点，和两个动点，，与交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若，是直径，求证：． （3）如图3，若，，的半径为4，求的长． 7．如图，AB、CD都是⊙O的直径，连接AD，BC． （1）求证：AD＝BC； （2）过D点作⊙O的切线DE交BA的延长线于点E，F是BE上一点，连接CF交⊙O于点M，若ED＝CF，求证：∠BED＝∠CFB． （3）在（2）的条件下，连接DM交EB于点N，连接CN，若tan∠CNO＝，ON＝，求DE的长． 8．定义：如图①，的半径为r，若点在射线上，且，则称点是点P关于的“反演点”． （1）如图①，设射线与交于点A，若点是点P关于的“反演点”，且，求证：点为线段的一个黄金分割点； （2）如图②，若点是点P关于的“反演点”，过点作，交于点B，连接，求证：为的切线； （3）如图③，在中，，以为直径作，若点P为边上一动点，点是点P关于的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段长度的取值范围是_____________． 9．如图1，为的直径，于点，点为上一点，的延长线交于点，．点为的中点，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：； （3）如图2，连接并延长，过点作，交的延长线于点，求证：是的切线． 10．如图，在直角坐标系中，的圆心在轴上，与轴交于点、，与轴交于点、，过点作的切线交轴于点，若点的坐标为，点的坐标为． （1）求证：； （2）求点的坐标； （3）若点为上任意一点，连接、，问的比值是否发生变化?若不变求出此值；若变化，说明变化规律． 11．如图，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE=FG． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若sinF=，BC=． ①求⊙O的半径； ②若CD的延长线与FE的延长线交于点M，求DM的长度． 12．如图，⊙O的半径为2，直线CD经过圆心O，交⊙O于C，D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN． （1）当点M在⊙O内部时，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程； （2）当点M在⊙O外部时，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M在⊙O外部时，如图三，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积． 参考答案 1．解：(1)连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC是的平分线， ∴∠BAC=∠DAC， ∴∠OCA =∠DAC， ∴OC∥AD， ∴FD ⊥AD， ∴FD ⊥OC， ∴DF是⊙O的切线； (2)①如图，过点O作OG⊥AD，垂足为G，根据（1）知FD ⊥AD，FD ⊥OC， ∴四边形OCDG是矩形， ∴OG=8，DG=OC=EG+4=AG+4， 在直角三角形AOG中， ， ∴， 解得AG=， ∴+4=OC， 解得OC=10， ∴圆的半径为10； ②如图，连接BC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FOC=2∠OAC， ∵DF是⊙O的切线， ∴∠OCF=90°， ∴∠FOC+∠BFD=90°， ∵， ∴2∠OAC+2∠ABH=90°， ∴∠OAC+∠ABH=45°， ∵∠BHC=∠OAC+∠ABH， ∴∠BHC=45°， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠HBC=45°， ∴BC=HC； 在直角三角形ADC中， ， ∴， 在直角三角形ABC中， ， ∴BC=， 在直角三角形BCH中， ∴BH=BC=. 2．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AC⊥AB， ∴∠CAB=90°， ∴∠ABD=∠CAD， ∵， ∴∠AED=∠ABD， ∴∠AED=∠CAD； （2）证明：∵点E是劣弧BD的中点， ∴ ∴∠EDB=∠DAE， ∵∠DEG=∠AED， ∴△EDG∽△EAD， ∴， ∴ED2=EG•EA； （3）解：连接OE， ∵点E是劣弧BD的中点， ∴∠DAE=∠EAB， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠AEO， ∴∠AEO=∠DAE， ∴OE∥AD， ∴， ∵BO=BF=OA，DE=1.5， ∴， ∴EF=3． 3．解：（1）连接AD， ∵AB是⊙O的直径，故∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）∵AB＝AC， ∴， ∵∠ABC＝63°， ∴∠BAC＝180°﹣63°﹣63°＝54°； ∵四边形ABDE是圆内接四边形 ∴∠BDE=180°﹣54°=126° （3）连接OD， ∵DF是圆的切线， ∴∠ODF＝90°， 在⊙O中，OA＝OD， 而OA＝DF＝4，则DO＝DF＝4， 故∠FOD＝45°， ∴S阴影＝S△ODF﹣S扇形OBD4×48﹣2π． 4．解：（1）如图，过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N． 由题意可知四边形BCNM为矩形， ∴MN=AD=3， ∵O为圆心，即O为DE中点， ∴N为DC中点，即线段ON为中位线， 又∵， ∴， ∴OM=MN-ON=3-1=2． 在中，． ∴OD=DE=OM=2． 即AB为⊙O的切线． （2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG， ∵DE为直径， ∴． ∴， ∴CG为直径． ∴， ∵E为BC中点， ∴G为AD中点， 在中，FG为中线， ∴AG=DG=FG， 在和中， ， ∴． ∴CF=CD． （3）如图，取AD中点H，连接CH、FH、FD． 由（2）可知， 在中，， ∵． ∴当F点在CH上时CF长有最小值，最小值为． 5．解：（1）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即°， ∴， ∴是的切线； （2）连接，如图2所示： 图2 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，如图3所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 6．证明：（1）∵，， ∴， ∴， ∴． （2）如图，连接交于，连接OC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是圆心， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，连接 OA并延长交⊙O于点F，连接DF， ∵AC⊥BD， ∴∠EDC+∠ECD=90°， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ADF=90°， ∴∠FAD+∠AFD=90°， ∵∠AFD=∠ECD， ∴∠EDC=∠FAD， ∴, ∴BC=DF=4， 又∵⊙O的半径为4， ∴AF=8， ∴在Rt△ADF中，． 7．（1）证明：∵AB、CD是⊙O的直径， ∴OA＝OB，OC＝OD． ∵∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD≌△BOC(SAS)． ∴.AD＝BC． （2）证明：如图2，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DG⊥AB于G， ∵∠DOG＝∠COH，∠DGO＝∠CHO＝90°，OD=OC， ∴△ODG≌△OCH（AAS）． ∴DG＝CH． 在Rt△EGD和Rt△FHC中， ∵DE＝CF，DG＝CH， ∴Rt△EGD≌Rt△FHC(HL)． ∴∠BED＝∠CFB． （3）解：如图3，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DG⊥AB于G， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠MDE＝∠MCD． ∵∠BED＝∠CFB， ∴△DEN∽△CFO． ∴∠DNE＝∠COF． ∴∠DNO＝∠DON． ∴DN＝DO． ∵DG⊥AB，ON＝， ∴OG＝GN＝ON＝． ∵△OGD≌△OHC， ∴OG＝OH＝． ∴NH＝． 在Rt△CNH中，tan∠CNH＝， 即． ∴CH＝． ∴DG＝． 在Rt△ODG中，由勾股定理得：OD＝． ∵∠ODE＝∠OGD，∠DOE＝∠GOD， ∴△ODE∽△OGD． ∴． 即． ∴DE＝10． 8．（1）证明：∵OP'＝PA， ∴PP'＝PA+AP'＝OP'+P'A＝r， 由已知得OP•OP'＝r2， ∴OP•OP'＝P'P2，即 ∴点P'为线段OP的一个黄金分割点； （2）证明：∵P'B⊥OP， ∴∠OP'B＝90°， ∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴PB⊥OB， ∴PB为⊙O的切线； （3）解：如图③，过点O作OH⊥CD于H，连接OD， ∵CE＝6， ∴⊙O的半径为3，即r＝3， ∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”， ∴OP•OP'＝32＝9， ∴OP'＝， ∵∠CEB＝90°，CE＝6，DE＝8， ∴CD＝=10， sin∠C＝， sin∠C＝ ∴OH＝OC＝， 由勾股定理得：OD＝， ∵OP'＝，OH≤OP≤OD， ∴． 故答案为：． 9．解： （1）等腰三角形 证明：如图1 连接 ∵为的直径，于点 ∴ ∵（同弧所对圆周角相等） ∵，∴ ∴，∴． ∴是等腰三角形 （2）如图2 连接，， 在与中 ∴≌ ∴ ∵  点为的中点 ∴ 利用角平分线的性质得． （3）∵≌ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴、、三点共线 ∵，， ∴四边形 为矩形 ∴ ∴是的切 10．解：（1）连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ； （2）如图， ，， ， ， ， 设， ，， ，， 在中， ，， 由得， ， 解得，即， ． ， ， ， 点的坐标为 （3）不变，等于． 连接，如图， （已证），， ． ， ， 不变，等于． 11．解：（1）连接OE， ∵H是AB的中点，CD是直径， ∴CH⊥AB， ∴∠GCH+∠CGH=90°． ∵FE=FG， ∴∠FGE=∠FEG． ∵OE=OC， ∴∠OCE=∠OEC， 又∵∠CGH=∠EGF， ∴∠FEO=∠FEG+∠CEO=∠CGH+∠GCH=90°， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：①∵EF∥BC，CD⊥AB， ∴∠F=∠CBH，∠BHC=90°． 在Rt△BCH中，BC=5，sinB=sinF=， ∴CH=BC•sinB=5=3， 由勾股定理得：HB==4， 连接OB，设半径为r， 则在Rt△OHB中，由勾股定理得：OH2+BH2=OB2， ∴， 解得：r=， ∴⊙O的半径为． ②∵EF∥BC， ∴∠M=∠BCH， ∴sinM=sin∠BCH=． 在Rt△OEM中，OM=， ∴DM=OM﹣OD=． 12．解：（1）PN与⊙O相切．证明如下： 连接ON，则∠ONA=∠OAN， ∵PM=PN， ∴∠PNM=∠PMN． ∵∠AMO=∠PMN， ∴∠PNM=∠AMO． ∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°． ∵ON是⊙O的半径， ∴PN与⊙O相切． （2）成立．理由如下： 连接ON，则∠ONA=∠OAN． ∵PM=PN， ∴∠PNM=∠PMN． 在Rt△AOM中， ∵∠OMA+∠OAM=90°， ∴∠PNM+∠ONA=90°． ∴∠PNO=180°﹣90°=90°． ∵ON是⊙O的半径， ∴PN与⊙O相切． （3）连接ON，由（2）可知∠ONP=90°， ∵∠AMO=15°，PM=PN， ∴∠PNM=15°，∠OPN=30°． ∴∠PON=60°，∠AON=30°． 作NE⊥OD，垂足为点E， 则NE=ON•sin60°． ∴ 故阴影面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$