三角函数应用 ——测量·方向·建模·安全2024-2025学年人教版数学九年级下册

《三角函数应用》 ——测量·方向·建模·安全 学习目标： ①掌握仰角俯角模型：能将实际问题转化为直角三角形，利用正切、正弦、余弦求解高度或距离。 ②熟练方向角分析：通过坐标系处理方位角问题，结合勾股定理与三角函数计算航行方向与距离。 ③理解坡度坡角应用：分解斜坡为直角边，结合仰角与坡角综合解题。 ④综合建模能力：灵活选择测角仪、平面镜等多方法解决复杂测量问题。 ⑤触礁安全判断：计算最短距离，结合圆域范围分析航行安全，设计安全航向。 课前回顾： 数学兴趣小组到风景名胜区测量一座塑像的高度．如图所示，塑像DE在高44m的小山CE上，在A处测得塑像底部E的仰角为22°，再沿AC方向前进50m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为45°，求塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4） 模块一：仰角俯角问题 知识清单： 仰角：视线与水平线向上的夹角； 俯角：视线与水平线向下的夹角。 【规律方法】 画图建模：标注仰角/俯角，构建直角三角形。 列方程：用正切公式表示不同位置的高度关系。 解方程：联立方程求未知边长或角度。 单位换算：注意千米→米、小时→秒等转换。 例题精讲： 【例1-1】嫦娥探测器由长征运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功！据悉，嫦娥六号探测器将完成人类历史上多个第一的壮举，全体国人翘首以待．如图一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时从位于距L6千米的地面R处的雷达站测得A的仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°．这枚火箭从A到B的平均速度是多少米每秒？（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93；sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02） 【例1-2】如图，某数学兴趣小组想测量一座塔的高度，他们在广场选择点A处，测得塔顶C的仰角为30°，然后沿着AD的方向前进60m，到达B点，在B处测得塔顶C的仰角为60°．（A、B、D三点在同一条直线上）．请你根据他们的测量数据计算塔CD的高度．（结果精确到整数，＝1.732） 对应练习： 【练1.1】位于十堰市郧阳区杨家山的革命烈士纪念碑是十堰市的标志性建筑，是为纪念鄂西北各县市的1609位在解放事业献身的革命烈士而兴建的，清明节前夕，某校开展了“清明祭英烈”活动，同时数学兴趣小组利用无人机测量纪念碑的高度，无人机在点A处测得纪念碑顶部点B的仰角为45°，纪念碑底部点C的俯角为61°，无人机与纪念碑的水平距离AD为9m，求纪念碑的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80） 【练1.2】小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内． 你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数） 模块二：方向角问题 知识清单： 方向角定义：以正北为基准，顺时针旋转的角度（如北偏东40°）。 坐标系辅助：用坐标表示位置，勾股定理求距离，三角函数求角度。 【规律方法】 建坐标系：确定原点，标注各点方位角。 分解位移：将航行路径分解为直角边，计算坐标增量。 勾股定理：求两点间直线距离。 例题精讲： 【例2-1】某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以40km/h的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以30km/h的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距100km． （1）求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求∠BOD的大小） （2）由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？ 【例2-2】某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为20海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶40（﹣1）海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上． （1）若过点P作PC⊥AB于点C，则PC：AC＝　 　；（直接写出计算结果） （2）求A，P两点之间的距离； （3）①若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． ②如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多 　 　°的方向航行能安全通过这一海域．（直接写出计算结果） 对应练习： 【练2.1】如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70°方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45°方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41） （1）求B处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）； （2）为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25°继续航行，通过计算说明船是否安全？ 【练2.2】在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距60海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）； （2）求救助船A、B分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 模块三：坡度坡角问题 知识清单： 坡度比i=垂直高度/水平宽度​，坡角为斜坡与水平面的夹角。 核心关系：i=tan(坡角)。 【规律方法】 分解斜坡：将斜坡影子分解为水平与竖直分量。 仰角结合：利用仰角正切求目标高度（如例3-1）。 方程联立：结合坡度比与仰角公式解未知量。 例题精讲： 【例3-1】某数学小组想测量山坡下一棵树的高度，同学们发现树的影子恰好落在地面和斜坡上，如图，此时测得树AB的影子分别落在了地面上的影子BC长为5m，落在斜坡上的影子CD长为3m，他们在D处测得树的顶端A的仰角为35°，求树高AB． （参考数据：≈1.73，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，结果保留一位小数） 对应练习： 【练3.1】教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：2.4，AB＝13米，AE＝29米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） （1）求点B距水平地面AE的高度； （2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由． 模块四：综合应用 知识清单： 多方法对比：测角仪（直接测量仰角）与平面镜（反射相似三角形）。 跨模块结合：方向角+仰角+勾股定理综合建模。 【规律方法】 选择最优方案：根据题目条件选择测角仪或平面镜法。 分步建模：先分解局部问题，再整合为整体模型 验证结果：通过不同方法交叉验证答案合理性（如例4-1）。 例题精讲： 【例4-1】某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD． 测量数据 ①DB＝10m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6m． ①EB＝10m； ②ED＝2m； ③CD＝1.6m． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan32.5≈0.64． ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度． 对应练习： 【练4.1】在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73，计算结果保留两位小数） 模块五：触礁安全问题 知识清单： 危险区域判定：圆心到航线的最短距离是否小于半径。 安全航向设计：调整方向角使路径避开危险区域。 【规律方法】 求最短距离：垂线段长度PC=面积/斜边长​。 比较半径：若𝑟PC<r，存在触礁危险。 正弦定理：计算安全航向角（如例5-1）。 例题精讲： 【例5-1】如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°． （1）求小岛C到航线AB的距离． （2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？ 对应练习： 【练5.1】如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时剥得灯塔在北偏东30°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 【课后作业】 1、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．（结果保留根号） 2、在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）． 3、随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活．小琪利用无人机从点O竖直上升到点A，测得点A到点C的距离为800m，此时点C的俯角为30°；64s后无人机到达点B，此时测得点C的俯角为45°，求无人机从点A到点B的平均速度．（结果精确到0.1m/s，参考数据： 4、如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯． （1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）； （2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574） 5、某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力超过6级，则称受台风影响． （1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最大风力为几级？ （2）求该城市O到A处的距离． （注：结果四舍五入保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7） 学科网（北京）股份有限公司 $$