精品解析：山东省聊城市冠县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束，答题卡和试题一并交回． 愿你放松心情，放飞思维，充分发挥，争取交一份圆满的答卷． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合要求； B、不是轴对称图形，故不符合要求； C、是轴对称图形，故符合要求； D、不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握轴对称的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义依次判断即可． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：是最简分式，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式． 3. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质逐项分析判定即可． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴，，即平分， ∴， 故选项A、C、D正确，不符合题意， 而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 4. 如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（ ）判定三角形全等． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由三边相等得，即由判定三角形全等． 【详解】解：根据题意，， 又，为公共边， ， 故选：B． 5. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)如图，下列判断正确的是(　 　) A. 甲的成绩比乙稳定 B. 甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 C. 甲的最好成绩比乙的最好成绩高 D. 甲的成绩的中位数比乙大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均数的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数和平均数．分别计算出两人成绩的平均数、中位数、最好成绩、方差可得出答案． 【详解】甲同学的成绩按从小到大顺序依次为：、、、、， 则其中位数为7，平均数为7，最好成绩是，方差为； 乙同学的成绩依次为：、、、、， 则其中位数为，平均数为，最好成绩是，方差为， 甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低． 故选：A． 6. 分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式为零的条件，利用平方根解方程．熟练掌握分式有意义的条件，分式为零的条件，利用平方根解方程，是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，且， ∴， 故选：A． 7. 如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称性质和全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，，， ，，即选项A、B正确； 由轴对称的性质得：， ，即，选项C正确； 由轴对称的性质得：，但不一定等于，即选项D不一定正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 8. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，画已知线段的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ∴， ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． ∴垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 9. 下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ） A. 一个角是的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 腰长相等的两个等腰直角三角形 D. 各有一个角是，腰长都为的两个等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定方法对选项这个进行判断．（如、、、等） 【详解】解：、不正确，因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等； 、不正确，因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，所以该项不正确； 、正确，因为符合； 、不正确，因为没有说明该角顶角还是底角． 故选：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系． 10. 如图，在△中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质推出，得到，而，得到，由等腰三角形三线合一的性质推出垂直平分，只有当时，，由三角形面积公式即可得到． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴垂直平分，故②符合题意； 如果， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 但和不一定相等，故③不符合题意； ∵的面积，的面积，， ∴，故④符合题意， ∴正确的是①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是______． 【答案】三个内角相等的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换,找到原命题的题设为等边三角形, 结论为三个内角相等,互换即可． 【详解】解:命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”. 【点睛】本题考查逆命题的概念,解决本题的关键是熟练掌握逆命题的概念,知道题设和结论互换． 12. 线段和的比例中项是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据比例中项的概念，比例中项的平方等于两条线段的乘积，列出比例式即可求解，本题考查了比例中项的概念，解题的关键是：比例中项作为线段长度，需舍去负根． 【详解】解：设两条线段的比例中项是， ，解得：，（舍）， 故答案为：1． 13. 抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）： 尺码 33 34 35 36 37 人数 7 6 15 1 1 这组数据的众数是______． 【答案】35码 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，根据一组数据中出现次数最多的数就是众数，即可作答． 【详解】解：依题意，尺码为35的人数是人，相对于其他尺码，人数是最多的， 这组数据的众数是35码， 故答案为：35码． 14. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键． 15. 如图，点D，E分别在的边上，且，点F在边的延长线上，若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角定理，根据、即可求解． 【详解】解：∵，点F在边的延长线上， ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为： 16. 如图，在五边形中，，，在边上分别找一点M，N，连接，则当的周长最小时，求的值是________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，当的周长最小时，周长为，再由对称性可得，则可求． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，， ，， ， 当的周长最小时，不等式取等号，即周长为， ， 、、共线，、、共线， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据得，再根据垂直定义得，进而根据直角三角形的两个锐角互余得，，由此得，则，即可作答．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 和是直角三角形， ，， 又有， ， ∵， ， ， 是等腰三角形． 18. 如图，已知点D、E为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点A作，垂足为H． ∵在中，（已知）（所作）， （等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又（已知）， （______）． 即：______． 又∵，垂足为H（所作）， ∴垂直平分． （______）． （______）． 【答案】；；；；等式的基本性质①；；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等边对等角 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．过点A作，垂足为．先根据三线合一得到，结合已知得到，进而得到为线段的垂直平分线，则有，根据等边对等角可得结论． 【详解】解：过点A作，垂足为． 在中，（已知）（所作）， （三线合一）． 又（已知）， （等式的基本性质①）． 即：． 又，垂足为（所作）， 为线段的垂直平分线． （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． （等边对等角）． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上求作点，使得最小，请你直接写出点坐标； （3）若点为轴上一动点，且满足的面积为1，请你直接写出点坐标． 【答案】（1）图见解析，点的坐标是 （2）图见解析，D点坐标是 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意和图形，可以画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得最小时点D所在的位置，然后写出D点坐标即可； （3）分3种情况结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标是； 【小问2详解】 解：作点A 关于y轴的对称点，连接与y轴交于点D，则此时最小，D点坐标是． 【小问3详解】 解： 如图，当时，． 如图，当P点横坐标大于1，时， ，不符合题意； 当P点横坐标小于1时，同理可求，不符合题意； 综上可知，当的面积为1时， 点坐标． 【点睛】本题考查作图-轴对称图象、最短路径问题，坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 化简与解方程． （1）； （2）． （3）； （4） 【答案】（1）原分式方程无解 （2） （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，熟练掌握分式方程的解法和分式的运算法则是解决本题的关键． （1）先等号两边同时乘以，再去括号，移项，再把的系数化为1，最后进行检验即可； （2）先等号两边同时乘以去分母，再去括号，移项，再把的系数化为1，最后进行检验即可； （3）先利用平方差公式，再计算乘法，最后计算减法即可． （4）先计算括号内，再利用平方差公式和完全平方公式，将除法转换成乘法计算即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 检验：把代入最简公分母：， 故是增根，原分式方程无解． 【小问2详解】 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解． 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 21. 阅读有益的课外书不但有助于学生开阔视野、培养广泛的兴趣爱好，而且可以增长见识某校为鼓励学生阅读课外书籍，组织八年级全体同学参加了假期海量读书活动，随机抽查了部分学生的读书本数，进行整理后绘制成如图所示的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）被抽取学生读书本数的中位数为 本； （2）请计算被抽取学生读书本数的平均数 （3）若参加此次读书活动的共有200名学生，请你估计读书本数不低于6本的学生有多少名？ 【答案】（1） （2）被抽取学生读书本数的平均数为本； （3）估计读书本数不低于6本的学生有名． 【解析】 【分析】本题考查了数据分析中的条形统计图、中位数、加权平均数、利用样本估算总体等知识，准确的分析条形统计图和正确的计算是解决本题的关键， （1）数据按照大小排好顺序后，最中间的数据的一个数或两个数的平均数就是中位数； （2）利用平均数公式求解即可； （3）用样本估算总体即可． 【小问1详解】 解：分析统计图中的数据可知，此次参加比赛成绩的人数是人，数据按照大小排好顺序后，最中间的两个数是6，6，故中位数是：； 【小问2详解】 解：（本）， ∴被抽取学生读书本数的平均数为本； 【小问3详解】 解：（名）， ∴估计读书本数不低于6本的学生有名． 22. 如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时，也等边三角形？请说明理由． 【答案】（1）4 （2）当时，也是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及一元一次方程的应用，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键． ()根据相遇问题，由路程速度时间，建立等式求出的值即可； ()根据若是等边三角形，此时点在上，点在上，且，进而得出，求出即可． 【小问1详解】 解：设点从出发到相遇所用时间是， 根据题意得： ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，若是等边三角形，此时点在上，点在上，， 和都是边长为4厘米的等边三角形， ， ， 则，即， 解得， ∴当时，也是等边三角形． 23. 项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． （2）完成任务二． 【答案】（1）；每枝种花卉单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键． （1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，根据用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可得到答案； （2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，可得方程，解分式方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元， 每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元， 每枝种花卉单价为元， 用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍， ； ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉单价为元； 故答案为：；每枝种花卉单价为元； 【小问2详解】 解：单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务， 完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为， 完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同， ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 24. （1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是平分线， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束，答题卡和试题一并交回． 愿你放松心情，放飞思维，充分发挥，争取交一份圆满的答卷． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 4. 如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（ ）判定三角形全等． A. B. C. D. 5. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)如图，下列判断正确的是(　 　) A. 甲的成绩比乙稳定 B. 甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 C. 甲的最好成绩比乙的最好成绩高 D. 甲的成绩的中位数比乙大 6. 分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A. B. C. D. 9. 下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ） A. 一个角是的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形 C. 腰长相等的两个等腰直角三角形 D. 各有一个角是，腰长都为的两个等腰三角形 10. 如图，在△中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 命题“等边三角形三个内角相等”的逆命题是______． 12. 线段和的比例中项是______． 13. 抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）： 尺码 33 34 35 36 37 人数 7 6 15 1 1 这组数据的众数是______． 14. 如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为____________． 15. 如图，点D，E分别在的边上，且，点F在边的延长线上，若，，则______． 16. 如图，在五边形中，，，在边上分别找一点M，N，连接，则当的周长最小时，求的值是________． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 18. 如图，已知点D、E为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点A作，垂足为H． ∵中，（已知）（所作）， （等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又（已知）， （______）． 即：______． 又∵，垂足为H（所作）， ∴垂直平分． （______）． （______）． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上求作点，使得最小，请你直接写出点坐标； （3）若点为轴上一动点，且满足的面积为1，请你直接写出点坐标． 20 化简与解方程． （1）； （2）． （3）； （4） 21. 阅读有益课外书不但有助于学生开阔视野、培养广泛的兴趣爱好，而且可以增长见识某校为鼓励学生阅读课外书籍，组织八年级全体同学参加了假期海量读书活动，随机抽查了部分学生的读书本数，进行整理后绘制成如图所示的统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）被抽取学生读书本数的中位数为 本； （2）请计算被抽取学生读书本数的平均数 （3）若参加此次读书活动的共有200名学生，请你估计读书本数不低于6本的学生有多少名？ 22. 如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间_______秒； （2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由． 23. 项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． （2）完成任务二． 24. （1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$