6.2.1 6.2.2 第1课时 排列与排列数（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

计数原理 第六章 6.2　排列与组合 6.2.1　排　列 6.2.2　排列数 返回目录 数学　选择性必修 第三册 第1课时　排列与排列数 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点一　排列 一定的顺序 元素 排列顺序 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点二　排列数 所有不 同排列 返回目录 数学　选择性必修 第三册 n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1) n！ 1 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　排列的有关概念 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　排列数的计算公式 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　用列举法解决排列问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 课标要求 学法指导 1．通过实例，理解排列的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式. 1．注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念． 2．排列的基础是分步乘法计数原理，排列数公式的推导过程是分步乘法计数原理的一个重要应用，要能利用排列数公式进行排列数的运算及排列数恒等式的简单证明． 3．对于排列的应用题，其解法没有明显的规律，解题时往往可以从多种途径考虑，因此要重视对排列问题解题策略的累积． 4．通过学习排列的概念、排列数公式的应用与计算，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 提示　2种，男—师—女，女—师—男． 问题导入 在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中间． 问题1：男生在校长左边和女生在校长左边的排法相同吗？ 提示　不相同． 问题2：有几种排法？ 问题3：若获奖的是三位同学，这三人站成一排合影留念，有几种不同的排法？ 提示　6种，设三位同学分别是A，B，C，则排法是ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA. 微梳理 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照_______________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的______完全相同，且元素的____________也相同． 思考：(1)每一个排列中元素的位置是确定的吗？ (2)排列定义中的两个要素是什么？ 提示　(1)是，元素在排列中的位置不同排列也就不同． (2)一是“取出不同的元素”，二是“将元素按一定的顺序排列”． 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______ ________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_____表示 全排列 n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，且A＝n×(n－1)×(n－2)×(n－3)×…×3×2×1 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 A 排列数公式 乘积式 A＝___________________________________ 阶乘式 A＝_________ 性质 A＝______, 0！＝______ 备注 n，m∈N*，且m≤n 思考：(1)“得到从n个不同元素中取出m个元素的一个排列”的含义是什么？ (2)排列与排列数有何区别？ 提示　(1)包括两个方面：①从n个不同元素中取出m个元素；②按照一定的顺序排列． (2)“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．(　　) (2)在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．(　　) (3)用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数，123与321是不相同的排列．(　　) (4)若A＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.(　　) 解析　(1)错误．排列数是从若干个元素中取出若干个元素的排列的个数，所以排列数一定是整数． (2)错误．在排列问题中，总体中的元素不能重复． (3)正确．根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列． (4)错误．在A中m表示连乘因数的个数，所以n＝10，m＝5. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 【例题1】 判断下列问题是否是排列问题． (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1到10这十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ (3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？ 解析　(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个元素的位置无关，所以这不是排列问题． (2)是．由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标，哪一个数是纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题． (3)不是．因为从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会，只要求选出即可，不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题． (4)是．因为从一个门进，从另一个门出是有顺序的，所以这是排列问题． (5)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，有顺序之分，所以这是排列问题． 规律总结 判断一个问题是否为排列问题的依据 (1)判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序，有顺序且是从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同元素的问题就是排列，否则就不是排列． (2)检验是否有顺序的方法就是变换其中两个元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 【变式1】 (1)(多选)下列问题是排列问题的是(　　) A．求从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组的方法种数 B．求从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动的方法种数 C．求从a，b，c，d中选出3个字母的方法种数 D．求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数的个数 (2)下列问题哪些可归结为排列问题(不要求计算)? 从4个数字3,5,7,9中每次取出两个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为对数的底数，一个为对数的真数；⑥一个为被开方数，一个为根指数． 解析　(1)对于A项，从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组，与顺序有关，是排列问题；对于B项，从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，只要求选出即可，不是排列问题；对于C项，从a，b，c，d中选出3个字母，只要求选出即可，不是排列问题；对于D项，从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数，需要先选出再排序，是排列问题．故选AD项． 答案　AD (2)从4个不同的数字中，每次取出两个相加、相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以①③不是排列问题； 相减，相除，一个为对数的底数、一个为对数的真数，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述四种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关，所以②④⑤⑥是排列问题． 【例题2】 (1)＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 (2)设m∈N*，则乘积m(m＋1)(m＋2)·…·(m＋20)可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 解析　(1)因为A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.故选D项． (2)由排列数公式可知，A＝(m＋20)(m＋19)·…·(m＋1)m.故选D项． 答案　(1)D　(2)D 规律总结 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． [注意] A中隐含了3个条件：①m，n∈N*；②m≤n；③A的运算结果为正整数． 【变式2】 (1)4×5×6×…×(n－1)×n＝(　　) A．A B．An C．(n－4)! D．An (2)已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (3)满足不等式>12的n的最小值为____. 解析　(1)从4,5，…到n共n－4＋1＝n－3(个)数，所以根据排列数公式，4×5×6×…×(n－1)×n＝A.故选D项． (2)A－A＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，化简得2n＝10，所以n＝5.故选B项． (3)由排列数公式得>12，即(n－5)·(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N*，所以n的最小值为10. 答案　(1)D　(2)B　(3)10 【例题3】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个组成两位数，可以组成哪些两位数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 解析　(1)由题意画树状图，如图所示． 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． (2)由题意画树状图，如图所示． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 规律总结 利用树状图解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：适用于解决排列元素个数不多的问题． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列． 【变式3】 (1)A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．12 (2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有____种机票． 解析　(1)列举如下：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．故选C项． (2)列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种． 答案　(1)C　(2)12 1．9×10×11×…×20可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 答案　C 解析　A＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18 ×…×9.故选C项． 2．(多选)下列问题属于排列问题的有(　　) A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地 C．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作为logab中的底数与真数 D．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 答案　AC 解析　由题可知，A，C项中元素的选取有顺序，B，D项中元素的选取无顺序，由此可判断出A，C项是排列问题．故选AC项． 3．从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列有(　　) A．7个 B．8个 C．12个 D．24个 答案　C 解析　画出树状图如图所示，因此所有的排列为ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc，共12个．故选C项． 4．计算：＝______. 解析　方法一　 ＝ ＝ ＝. 方法二　＝＝＝. 方法三　＝ ＝ ＝ ＝. 答案　 $$