6.2.1 6.2.2 第2课时 排列数的综合应用（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

计数原理 第六章 6.2　排列与组合 6.2.1　排　列 6.2.2　排列数 第2课时　排列数的综合应用 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 探究一　无限制条件的排列问题 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　有限制条件的排列问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 【例题1】 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书(每种不少于3本)，要选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解析　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法． (2)从7种不同的书中选3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法． 规律总结 无限制条件的排列问题的 常见类型及解题思路 无限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．n个不同的元素占据m个不同的位置，若n≥m，且每个位置只排一个元素，则有A种不同的排法；若n<m，且每个元素只占一个位置，则有A种不同的占法．简而言之，就是注意把握“固定元素”与“固定位置”的相对性和灵活性． 【变式1】 (1)(多选)将5名司机、5名售票员分配到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则所有分配方案的种数为(　　) A．14 400 B．240 C．AA D．2A (2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．A C．35 D．53 解析　(1)安排5名司机有A种方案，安排5名售票员有A种方案，根据分步乘法计数原理，共有AA＝14 400(种)方案．故选AC项． (2)把上午五节课看成“5个位置”，分别用1,2,3,4,5来表示，把语文、数学、英语看成“3个元素”，一种排课法可看作是从1,2,3,4,5这5个位置中取出3个位置分给语文、数学、英语，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.故选B项． 答案　(1)AC　(2)B 【例题2】 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数． (1)可组成多少个不同的四位数？ (2)可组成多少个不同的四位偶数？ 解析　(1)根据题意分步完成任务： 第一步，排千位数字，从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来排，有A＝5(种)不同排法； 第二步，排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个排列，有A＝5×4×3＝60(种)不同排法． 所以可组成5×60＝300(个)不同的四位数． (2)根据题意分类完成任务： 第一类，个位数字为0，则从1,2,3,4,5这5个数字中选3个排在千位、百位、十位，有A＝5×4×3＝60(种)不同排法； 第二类，个位数字为2或4，则0不能排在千位，有AAA＝2×4×4×3＝96(种)不同排法． 所以可组成60＋96＝156(个)不同的四位偶数． 规律总结 有限制条件的排列问题的三种解题思路 以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化为图形，即： [注意] 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 【变式2】 (1)由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数的个数是(　　) A．144 B．192 C．216 D．240 (2)有7名学生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数． ①全体排成一行，其中甲、乙必须在两边； ②全体排成一行，甲不站中间，也不站两边． 解析　(1)由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被5整除的五位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0. 当个位数字是0时，共有A＝120(种)情况； 当个位数字是5时，共有AA＝96(种)情况． 因此由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数的个数是120＋96＝216.故选C项． 答案　C (2)①元素分析法：甲、乙为特殊元素，故先安排甲、乙在两边，有A种排法，再安排其余5人，有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AA＝240(种)排法． ②位置分析法：分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种排法，然后再排其他位置，有A种排法，所以共有AA＝2 880(种)排法． 微专题 用方法·破解疑难 方法一　“捆绑法”解决相邻问题 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列． 【例题1】 有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同的排法种数是(　　) A．72 B．96 C．144 D．288 [解析] 第一步，把3名女生看成一个整体，即一个对象，4名男生看成一个整体，即一个对象，两个对象排成一排有A种排法；第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A种，男生“内部”的排法有A种．故符合题意的排法共有AAA＝288(种)．故选D项． [答案] D [名师点评] 上述解题方法称为“捆绑法”，解题思路是先整体再局部，主要用于解决对象相邻问题．事实上，相邻问题是有限制条件的排列问题． 【练习1】 (1)6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲、乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法种数为(　　) A．24 B．36 C．48 D．60 (2)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(　　) A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 解析　(1)根据题意，完成这件事可分三步：第一步，将甲、乙两本书摆放在两端，有A种摆法；第二步，将丙、丁两本书看成一个整体，考虑两本书的顺序有A种摆法；第三步，将丙、丁这个整体与另外2本书全排列，摆放在中间的3个位置，有A种摆法．根据分步乘法计数原理，共有AAA＝2×2×6＝24(种)不同的摆放方法．故选A项． (2)首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑B，C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，利用捆绑法可得4A种，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得A种，最后根据分步乘法计数原理，得4×A×A＝48(种)．故选B项． 答案　(1)A　(2)B 方法二　“插空法”解决不相邻问题 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中． 【例题2】 5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有(　　) A．86 400种 B．85 400种 C．84 400种 D．83 400种 [解析] 第1步，先排5位母亲的位置，有A种排法； 第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示： ______母亲______母亲______母亲______母亲______母亲______，共有A种排法． 根据分步乘法计数原理，符合条件的站法共有AA＝86 400(种)．故选A项． [答案] A [名师点评] 上述解题方法称为“插空法”，主要用于解决元素不相邻问题．事实上，“儿童不相邻”即元素的排列是有限制条件的，因此也是有限制条件的排列问题． 【练习2】 (1)为防范社会风险，更好地服务群众，某地公安局推出社区民警“驻村”工作模式，要求民警每周一到周五，把值班地点挪到村子中，该地某派出所计划下周的周一到周五派出本所甲、乙等5名优秀民警轮流“驻村”，每名民警安排1天值班，则甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有(　　) A．58种 B．60种 C．72种 D．78种 (2)若4名演讲比赛获奖的学生和3名指导教师站在一排拍照，则其中任意2名教师不相邻的站法有______种(用数字作答)． 解析　(1)排除甲、乙外的3人值班有A种方法，在4个空隙中取2个空隙插入甲、乙有A种方法，所以甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有AA＝72(种)．故选C项． (2)根据题意，分两步分析：先将4名演讲比赛获奖的学生全排列，有A＝24(种)站法，站好后有5个空位，在其中选三个空位，安排指导教师，有A＝60(种)情况．根据分步乘法计数原理，共有24×60＝1 440(种)符合题意的站法． 答案　(1)C　(2)1 440 方法三　“整体法”解决定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制直接排列，再除以定序元素的全排列即可． 【例题3】 书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为(　　) A．60 B．120 C．336 D．504 [解析] 方法一　新买3本书后，书架上共8本书，这8本书的不同排法有A种，而原有的5本书对应的不同排法有A种，所以不同的插法种数为＝A＝336.故选C项． 方法二　将新买的3本书逐一插进去：第1本书插入5本书形成的6个空隙中的1个，有6种插法；第2本书插入6本书形成的7个空隙中的1个，有7种插法；最后1本书插入7本书形成的8个空隙中的1个，有8种插法．根据分步乘法计数原理，不同的插法种数为6×7×8＝336.故选C项． [名师点评] 上述方法一称为“整体法”，“整体法”是解决定序问题的基本方法，解决此类问题时要先分清元素特征，再进行排列． 【练习3】 (1)某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会．晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有______种不同的排法(用数字作答)． (2)有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有______种排法． 解析　(1)在5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有A＝42(种)安排方法，再将剩下的5个位置安排给5个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有42×1＝42(种)不同的排法． (2)方法一　7名学生的排列方法共有A种，其中女生的排列方法有A种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故不同的排法共有＝A＝840(种)． 方法二　设想有7把椅子让4名男生去坐，共有A种方法，3名女生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有一种，故不同的坐法共有A＝840(种)． 答案　(1)42　(2)840 1．从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有(　　) A．11种 B．15种 C．30种 D．36种 答案　C 解析　从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有A＝30(种)．故选C项． 2．用数字2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　) A．120 B．72 C．60 D．48 答案　B 解析　由于五位数为偶数，因此个位数必为偶数，可在2,4,6中任选一个数，有3种选择，其他数位任意排列，根据分步乘法计数原理，所求偶数的个数为3A＝3×24＝72.故选B项． 3．小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排，则小明的父母都与他相邻的排法共有______种(用数字作答)． 解析　小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A＝2(种)排法，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A＝6(种)排法，此时共有2×6＝12(种)不同的排法． 答案　12 4．排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合条件的排法共有________种(用数字作答)． 解析　第一步，先排两头，从5个独唱节目中选2个排两头，有A种排法；第二步，排其余的3个独唱节目，然后把3个合唱节目插入到3个独唱节目产生的4个空位中，有AA种排法．根据分步乘法计数原理，符合条件的排法共有AAA＝2 880(种)． 答案　2 880 $$