6.3.2 6.3.3 6.3.4 平面向量的坐标表示（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

平面向量及其应用 第六章 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　平面向量的正交分解及坐标表示 互相垂直 返回目录 数学　必修 第二册 单位 向量 xi＋yj (x，y) 返回目录 数学　必修 第二册 x y a＝(x，y) (1,0) (0,1) 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　平面向量的坐标运算 和 (x1＋x2，y1＋y2) 差 (x1－x2，y1－y2) 返回目录 数学　必修 第二册 (λx1，λy1) 终点 起点 (x2－x1，y2－y1) 返回目录 数学　必修 第二册 要点三　两向量共线的坐标表示 a∥b 相应的坐标 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　平面向量的坐标表示 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　平面向量的坐标运算 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　向量共线的坐标运算 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究四　三点共线问题 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算(重点).3.发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养． 1．正交分解的定义 把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量作正交分解． 2．向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个______ _____分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝__________.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对__________叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 3．向量的坐标表示 在向量a＝(x，y)的直角坐标平面中，_____叫做a在x轴上的坐标，_____叫做a在y轴上的坐标，___________叫做向量a的坐标表示． 4．在向量的直角坐标平面中，i＝______，j＝________，0＝(0,0)． 思考：(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系？ (2)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 提示　(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时)． (2)区别：①表示形式不同，a＝(x，y)，点A(x，y)；②意义不同，点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，而向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R. 运算 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a＋b＝_________________ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a－b＝_________________ 运算 文字描述 符号表示 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝_________________ 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_______的坐标减去_______的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_________________ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. (1)由于规定零向量与任一向量平行，所以a∥b⇔x1y2－x2y1＝0对任意向量都成立． (2)特别地，当x2y2≠0时，我们有________⇔_____＝_____，其文字表述是“两个向量平行的条件是____________成比例”． 　 思考：已知向量a＝(x，y)，与a共线的单位向量的坐标是什么？ 提示　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) (3)若把向量平移到，则和的坐标相同．(　　) (4)两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)平行的条件x1y2－x2y1＝0可以写成＝.(　　) 解析　(1)正确，由平面向量的坐标表示的定义可得． (2)错误，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (3)正确，平面向量在平面内可自由平移． (4)错误，当x2y2≠0时，x1y2－x2y1＝0可以写成＝；当x2y2＝0时，x1y2－x2y1＝0不可以写成＝. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 解题技巧　 向量的坐标的求法 (1)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标． (2)求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． 【例题1】 如图，向量a，b，c的坐标分别是_______，________，________. 解析　将各向量分别向基底i，j所在的直线分解，则a＝－4i＋0·j，b＝0·i＋6j，c＝－2i－5j，所以a＝(－4,0)，b＝(0,6)，c＝(－2，－5)． 答案　(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) 【变式1】 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°. (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． 解析　(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)． (2)＝－＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． 规律总结　 平面向量的坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再根据向量线性运算的法则进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【例题2】 (1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求2a＋b，a－2b的坐标． (2)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋. 解析　(1)2a＋b＝2(－1,2)＋(3，－5)＝(1，－1)，a－2b＝(－1,2)－2(3，－5)＝(－7,12)． (2)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以＝(7－4，5－6)＝(3，－1)，＝(1－4,8－6)＝(－3,2)，所以＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，－＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)，2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)＝(6，－2)＋＝. 【变式2】 (1)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，c＝(5,2)，求6a＋b－2c． (2)在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，点M，N分别是AB，AC的中点，点D是BC的中点，MN与AD交于点F，求的坐标． 解析　(1)因为a＝(3,2)，b＝(－1,3)，c＝(5,2)，所以6a＋b－2c＝6(3,2)＋(－1,3)－2(5,2)＝(18,12)＋(－1,3)－(10,4)＝(7,11)． (2)因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．又D是BC的中点，所以＝(＋)＝.因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点．所以＝－＝. 规律总结　 (1)向量共线的判定方法：①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b；②利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． ①b≠0，a＝λb．这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． ②x1y2－x2y1＝0.这是坐标运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征． ③当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 【例题3】 已知M(1,0)，N(0,1)，P(2,1)，Q(1，y)，且∥，求y的值． 解析　方法一　因为M(1,0)，N(0,1)，P(2,1)，Q(1，y)，所以＝(－1,1)，＝(－1，y－1)．因为∥，所以(－1)×(y－1)－1×(－1)＝0，解得y＝2. 方法二　因为∥，故有且仅有一个实数λ，使＝λ.因为M(1,0)，N(0,1)，P(2,1)，Q(1，y)，所以＝(－1，1)，＝(－1，y－1)，所以(－1，y－1)＝λ(－1,1)＝(－λ，λ)．所以解得y＝2. 【变式3】 (1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？ (2)如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标． 解析　(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行且方向相反． (2)设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)， 则＝－＝(4t,4t)－(4,0) ＝(4t－4,4t)， ＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝，所以＝(4t,4t)＝(3,3)． 所以点P的坐标为(3,3)． 规律总结　 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，证明三点A，B，C共线的常用方法． (1)几何法：kAB＝kBc． (2)向量法：＝λ. (3)坐标法：＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x2，y3－y2)，再利用∥的充要条件证明． 【例题4】 已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证： A，B，C三点共线． 证明　因为＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，所以＝，即与共线．又因为与有公共点A，所以A，B，C三点共线． 【变式4】 设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解析　若A，B，C三点共线，则，共线．因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k的值为－2或11时，A，B，C三点共线． 1．若点A(1,1)，B(－1,1)，则向量＝(　　) A．(0,2) B．(2,0) C．(－2,0) D．(0，－2) 答案　C　 解析　由题意知＝(－1,1)－(1,1)＝(－2,0)．故选C项． 2．若a＝(2,3)，b＝(－3,1)，则a＋b＝(　　) A．(1，－4) B．(－1,4) C．(－1，－4) D．(4，－1) 答案　B 解析　a＋b＝(2,3)＋(－3,1)＝(－1,4)．故选B项． 3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是_______. 解析　依题意得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)，因为a＋b与4b－2a平行，所以3(4x－2)－6(x＋1)＝0，解得x＝2.所以实数x的值是2. 答案　2 4．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC， AD∥BC，已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则点D的坐标为______． 解析　由题意得四边形ABCD是平行四边形，在▱ABCD中， ＝，所以－＝－，所以＝＋－＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即点D的坐标为(0，－2)． 答案　(0，－2) $$