6.4.3 第1课时 余弦定理（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

平面向量及其应用 第六章 6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第一课时　余弦定理 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　余弦定理 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　解三角形 a b c 解三角形 返回目录 数学　必修 第二册 要点三　余弦定理在解三角形中的应用 两边及一角 三边 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　已知两边及一角解三角形 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　已知三边解三角形 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　应用余弦定理判断三角形的形状 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理(重点).2.发展逻辑推理和数学运算的核心素养． 余弦 定理 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于_______________ _______________________________________ 公式 表达 a2＝__________________， b2＝__________________， c2＝__________________ 余弦 定理 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝， b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边_____，_____，_____叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__________. 余弦定理可解决两类问题： (1)已知____________，求第三边和其他两角； (2)已知_______，求各角． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形．(　　) (2)在△ABC中，若BC2>AC2＋AB2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (3)在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一．(　　) (4)勾股定理是余弦定理的特殊情况．(　　) 解析　(1)正确，余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形． (2)正确，当BC2>AC2＋AB2时，cos A＝<0.因为0<A<π，所以A一定为钝角，所以△ABC为钝角三角形． (3)错误，当已知△ABC的两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边且唯一，因此△ABC唯一确定． (4)正确，当角C为直角时，cos C＝0，所以c2＝a2＋b2，所以勾股定理是余弦定理的特殊情况． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 规律总结　 (1)在已知两边及一角求第三边时，直接利用余弦定理求解即可． (2)在已知两边及其夹角求角时，要先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理的推论求解． 【例题1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解三角形． 解析　易知cos 15°＝cos(45°－30°)＝， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4， 所以c＝＝－. 所以cos A＝＝. 又0°＜A＜180°，所以A＝30°， 所以B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°. 【变式1】 在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案　D 解析　设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定理得19＝a2＋4－2×2×a×cos 120°，即a2＋2a－15＝0，解得a＝3(a＝－5舍去)，故BC＝3.故选D项． 规律总结　 已知三边解三角形的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为零，角为直角；值为负，角为钝角，结果唯一．若已知三边的关系，要看是否可以整体代入得到角的余弦值；若已知三边的比例关系，可以直接利用余弦定理求出角的余弦值，因为余弦定理变形式本身也是一个齐次的分式． 【例题2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，c＝3＋，解此三角形． 解析　由题意和余弦定理的推论可以得到cos A＝＝＝.又0°<A<180°，所以A＝45°.同理可得B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. 【变式2】 (1)在△ABC中，已知AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·＝(　　) A．19 B．－14 C．－18 D．－19 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　(1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝5，b＝6，c＝7，cos B＝＝＝，所以·＝7×5×＝－19.故选D项． (2)因为(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，所以A＝60°.故选B项． 答案　(1)D　(2)B 规律总结　 应用余弦定理判断三角形的形状，主要有两种途径： (1)化角为边，并常用余弦定理进行边角转换． (2)直接根据余弦定理的形式进行判断，判断时经常用到的结论： ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. 【例题3】 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a∶b∶c＝3∶5∶7，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos B＝c，则△ABC的形状是_______． 解析　(1)由题意设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，由于c>b>a，故角C是△ABC中最大的角．因为cos C＝＝＝－<0，所以C>90°，即△ABC是钝角三角形．故选C项． (2)由题设和余弦定理的推论得2×＝，化简得a2－b2＝0，即a＝b．所以△ABC是等腰三角形． 答案　(1)C　(2)等腰三角形 【变式3】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状． 解析　将余弦定理的推论cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件的方程中得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形． 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝(　　) A． B．8 C．10 D．7 答案　D 解析　由余弦定理得c2＝92＋(2)2－2×9×2×cos 150°＝147，所以c＝7.故选D项． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2＋c2＋bc，则A＝(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 答案　C 解析　由题意可得cos A＝＝－.又0°<A<180°，所以A＝120°.故选C项． 答案　B 3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 解析　方法一　由题意设a＝2，b＝3，c＝4，则cos C＝＝＝－<0，又0°<C<180°，故C为钝角，因此△ABC是钝角三角形．故选B项． 方法二　由题意设a＝2，b＝3，c＝4，则a2＋b2<c2，因此△ABC是钝角三角形．故选B项． 答案　B 4．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为 (　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 解析　因为sin2＝，所以＝，即cos A＝＝，化简得a2＋b2＝c2，由勾股定理知△ABC为直角三角形．故选B项． $$