6.1 平面向量的概念（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

平面向量及其应用 第六章 6.1　平面向量的概念 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　向量的定义与表示 大小 方向 方向 起点、方向、长度 返回目录 数学　必修 第二册 大小 方向 大小 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　向量的相关概念 长度为0 长度等于1个单位长度 相等 相同 a＝b 相同或相反 共线向量 a∥b 平行 0∥a 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　向量的有关概念 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　向量的表示 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　共线向量和相等向量 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.发展数学抽象和直观想象的核心素养． 1．向量的定义 在数学中，把既有________又有________的量叫做向量． 2．有向线段 具有________的线段叫做有向线段，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素：____________________. ||，|a| 3．向量的表示方法 (1)几何表示：向量可以用_____________来表示，我们把这个向量记作向量.有向线段的长度||表示向量的______，有向线段的方向表示向量的_______. (2)字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示，书写时必须加箭头，即为___，___，___，…. 4．向量的长度 (1)定义：向量的______称为向量的长度(或称模)． (2)表示：向量，a的长度分别记作______________. 有向线段 思考：(1)向量与数量有什么区别？ (2)向量就是有向线段吗？为什么？ 提示　(1)数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． (2)不是．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此向量和有向线段是两个不同的概念．向量可以平行移动，而有向线段是固定的线段．向量可以用有向线段来表示． 练习：给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案　C 解析　质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．故选C项． 1．特殊向量 (1)零向量：____________的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：_____________________的向量，叫做单位向量． 2．相等向量与共线向量 (1)相等向量：长度_____且方向______的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作______. (2)平行向量：方向__________的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做_________；向量a与b平行，记作______；规定零向量与任意向量_____，即对于任意向量a，都有_____. 思考：向量平行与几何中的平行一样吗？ 提示　不一样．向量中的平行包括两种情况：一是表示向量的有向线段所在直线重合；二是表示向量的有向线段所在直线是两条平行直线．而几何中的平行不包括直线重合． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量能比较大小.(　　) (2)相等向量一定是共线向量.(　　) (3)共线向量一定是相等向量.(　　) (4)向量的模是一个正实数.(　　) 解析　(1)错误，两个向量不能比较大小． (2)正确，相等向量方向相同，所以是共线向量． (3)错误，共线向量方向可能相反，长度也可能不相等，所以共线向量不一定是相等向量． (4)错误，向量的模可能为0. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 规律总结　 向量及有关概念的理解 (1)向量由大小和方向确定，与起点无关． (2)零向量是一种特殊的向量，零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (3)单位向量是长度为1的向量，是一类向量的统称．单位向量不一定相等，容易忽略向量的方向． (4)当两共线向量的方向相同且模相等时，这两共线向量为相等向量． 【例题1】 判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)温度有零上和零下之分，所以温度是向量； (2)0＝0； (3)共线向量就是平行向量； (4)若a，b为非零向量，且|a|＝|b|，则a＝b； (5)与是相同的向量； (6)若＝，则A，B，C，D四点一定构成平行四边形． 解析　(1)不正确，因为温度只有大小没有方向． (2)不正确，0表示的是向量，而0表示的是数量，二者有本质上的区别． (3)正确，平行向量也叫做共线向量． (4)不正确，|a|＝|b|表示的仅仅是两个向量的模相等，但方向是不确定的． (5)不正确，与表示的是长度相等，方向相反的两个向量，不是相同的向量． (6)不正确，A，B，C，D四点可能在同一条直线上． 【变式1】 (1)下列各量中，向量有：________(填写序号)． ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． (2)(多选)下列命题中，错误的是(　　) A．若|a|＜|b|，则a＜b B．长度相等的向量都相等 C．共线的单位向量可能相等 D．若a∥b，b∥c，则a∥c 解析　(1)向量是有大小有方向的量，故符合的有风力、位移、人造卫星的速度、向心力、加速度．故答案为③⑤⑥⑧⑩. (2)对于A项，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故A项错误；对于B项，长度相等的向量方向不一定相同，如单位向量，故B项错误；对于C项，共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，故C项正确；对于 D项，b＝0时，a∥b，b∥c，但a与c不一定平行，故D项错误．故选ABD项． 答案　(1)③⑤⑥⑧⑩　(2)ABD 误区防错　 向量与有向线段的区别与联系 (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量． (2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段． (3)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点，必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量． 【例题2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)画出符合下列条件的向量． (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°； (2)，使||＝4，点B在点A正东； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°. 解析　(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量如图所示． (2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量如图所示． 【变式2】 一辆汽车先从点A出发向西行驶了100 km到达点B，然后改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达点D． (1)作出向量，，； (2)求||. 解析　(1)如图所示． (2)由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD．因为||＝||，所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km. 规律总结　 对共线向量和相等向量的理解 (1)共线向量仅仅指向量的方向相同或相反，相等向量指向量的大小和方向均相同． (2)任何一个向量和它本身是共线向量． (3)任何两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． (4)对于向量来讲，平行与共线等价，而线段的平行与共线是严格区分开的． 【例题3】 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝C． (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量． 解析　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. (2)与a共线的向量有，，，，，，，，. (3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. 【变式3】 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：＝. 解析　(1)因为在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，CE∥AF，CE＝AF， 所以四边形AFCE为平行四边形，所以CF∥AE，所以与向量共线的向量为，，. (2)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC． 因为E，F分别是DC，AB的中点，所以ED∥BF且ED＝BF， 所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝FD，BE∥FD，故＝. 1．下面几个命题： (1)若a＝b，则|a|＝|b|； (2)若|a|＝0，则a＝0； (3)若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； (4)若向量a，b满足则a＝B． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　对于(1)，相等向量的模相等，故(1)正确；对于(2)，向量a＝0，故(2)错误；对于(3)，当a，b中有一个为零向量时，其方向不确定，故(3)错误；对于(4)，a与b的方向可能相同，也可能相反，所以a与b不一定相等，故(4)错误．故选B项． 2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，则向量，，，，，中与平行的向量有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　根据向量的基本概念可知，与平行的向量有，，，共3个．故选C项． 3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________. 解析　由勾股定理知BC＝＝，所以||＝. 答案　 4．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)． 解析　若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b．故①③④都能使a∥b成立． 答案　①③④ $$