6.2.4 向量的数量积（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

平面向量及其应用 第六章 6.2　平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　向量的数量积 非零 ∠AOB＝θ 返回目录 数学　必修 第二册 同向 垂直 反向 返回目录 数学　必修 第二册 数量积 内积 a·b＝|a||b|cos θ 0 功 W＝F·s＝|F||s|cos θ 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　投影与投影向量 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 |a|cos θ e 返回目录 数学　必修 第二册 要点三　向量数量积的性质和运算律 a·b＝0 |a||b| －|a||b| 返回目录 数学　必修 第二册 b·a a·(λb) a·c＋b·c 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　求向量的数量积 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　向量的模 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　向量的夹角 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究四　向量的垂直问题 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积(重难点).2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(重点).4.发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养． 1．向量的夹角 条件 已知两个_____向量a，b，O是平面上的任意一点 产生 过程 作向量＝a，＝b，则__________ 叫做向量a与b的夹角 范围 0≤θ ≤π 特殊 情况 θ＝0 a与b_______ θ＝ a与b_______，记作a⊥b θ＝π a与b_______ 2.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做向量a与b的_______(或______)，记作a·b，即_____________.规定：零向量与任一向量的数量积为_____. 3．向量的数量积的物理背景 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的____W就等于力F与位移s的数量积，即____________________，其中θ是F与s的夹角． 思考：(1)向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别？ (2)可以把“a·b”写成“ab”或“a×b”吗？ 提示　(1)向量的数量积的运算结果是数量，只有大小，没有方向；向量的线性运算结果是向量，既有大小又有方向． (2)不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式． 1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． 3．(1)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量与e，a，θ之间的关系为：对于任意的θ∈[0，π]，都有＝_________. (2)|a|cos θ(|b|cos θ)为向量a在b上(b在a上)的投影的数量． 1．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b ⇔________. (3)当a与b同向时，a·b＝_______；当a与b反向时，a·b＝______.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝＝. (4)cos θ＝_____. (5)|a·b|≤|a||b|. 2．向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝______(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_________(结合律)； (3)(a＋b)·c＝__________(分配律)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c．(　　) (3)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角．(　　) (4)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) 解析　(1)错误，两个向量的数量积是实数． (2)错误，若a·b＝b·c＝0，则向量a，c不一定相等，它们可能只是都与b垂直的向量． (3)错误，若a·b＜0，则a与b的夹角可能为180°. (4)错误，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 规律总结　 求平面向量数量积的方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)运算律转化法：根据数量积的运算律，由(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d可得如下运算公式：(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2；(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2. (3)利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解． 【例题1】 (1)如图，正△ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝_______. (2)(2022·全国甲)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝_______. 解析　(1)因为△ABC是边长为的正三角形，所以|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，所以a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3. (2)由题意得a·b＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11. 答案　(1)－3　(2)11 【变式1】 (1)已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝3，则a·b＝_______；(a＋2b)·(a－b)＝_______. (2)在△ABC中，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝AC＝4，·＝8，则·的值为_______. 解析　(1)由已知可得a·b＝|a||b|cos θ＝1×3×cos 60°＝，(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋－2×9＝－. (2)由题意可作出如图所示的示意图．由M为AB的中点，得＝－2，由N为BC的中点，得＝(＋)，则·＝(＋)·(＋)＝·(＋)＝ ·(＋)＝2－2－·＝4 －8－2＝－6. 答案　(1)　－　(2)－6 解题技巧　 解决与向量的模有关问题的基本思路 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据．根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化． 【例题2】 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求下列各式的值． (1)|a＋b|； (2)|3a－4b|； (3)|(a＋b)·(a－2b)|. 解析　由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4. (1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2. (2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝4. (3)因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，所以|(a＋b)·(a－2b)|＝12. 【变式2】 (1)设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为－b，则|a－b|＝(　　) A．1 B． C． D．2 (2)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝_______. 答案　(1)C　(2)3 解析　(1)因为a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为－b，所以·＝(a·b)·b＝－b，则a·b＝－，所以|a－b|＝＝＝＝.故选C项． (2)由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，因为|a|＝3，a·b＝1，所以32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3. 解题技巧　 用数量积求向量的夹角应注意的问题 (1)平面向量a，b的夹角θ的求解步骤：①计算a·b，|a|，|b|；②计算cos θ＝；③借助θ∈[0，π]求出θ的值． (2)数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或0，数量积等于0说明两非零向量的夹角为直角，数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或π. 【例题3】 设m和n是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 解析　由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为60°，得m·n＝，则|a|＝|2m＋n|＝＝＝，|b|＝＝＝，所以a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以θ＝120°，所以a，b的夹角为120°. 【变式3】 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝，即|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.又 θ∈[0，π]，所以θ＝.所以a，b的夹角为.故选A项． 规律总结　 两个非零向量的数量积为0是这两个向量互相垂直的充要条件．这一充要条件是解决向量垂直问题的重要工具，应用这一工具时需注意整体意识的应用，如将向量的线性组合视为一个向量，同时注意公式a2＝a·a＝|a|2的应用． 【例题4】 不共线向量a与b满足什么条件时，a＋b与a－b互相垂直？ 解析　若(a＋b)⊥(a－b)，则(a＋b)·(a－b)＝0，整理得a2＝b2，即|a|＝|b|.所以当向量a与b的模相等时，a＋b与a－b互相垂直． 【变式4】 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，试问当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？ 解析　因为(ka－b)⊥(a＋2b)，所以(ka－b)·(a＋2b)＝0，即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，所以k＝.所以当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直． 1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，即cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.故选C项． 2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝a2－mb·a＝32－m×2×3×cos 60°＝9－3m＝0，解得m＝3.故选D项． 3．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝_____，·＝_____. 解析　由题意得||＝||＝4，||＝4，所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16. 答案　0　－16 4．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为______，投影的数量为_______． 解析　因为cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)，所以所求投影向量为|a|cos θ e＝e，投影的数量为|a|cos θ＝. 答案　e　 $$