第1章 直角三角形 专项训练卷（一）勾股定理的应用2024-2025学年湘教版八年级数学下册

第1章《直角三角形》专项训练卷（一）勾股定理的应用 参考答案与试题解析 一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分） 1．（10分）（2024秋•栖霞市期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中形与数互相配合的重要性．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边AB（图形形式）长度为5，如图1；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边AB（图形形式）长度为，如图2． 利用数形结合的思想解决下面问题： 已知a+b＝120（a＞0，b＞0），请求出的最小值． 【答案】130． 【解答】解：如图，取线段BD，使BD＝120，在BD上取一点C，设BC＝a，CD＝b，构造Rt△ABC，Rt△CDE，使∠ABD＝∠BDE＝90°，且AB＝20，DE＝30， 则BC+CD＝a+b＝120，AC，CE， 则AC+CE， ∴当点A，C，E三点共线时，AC+CE的值最小， 即的值最小，最小值等于AE的长， 过点A作AF⊥ED交ED延长线于点F， ∴四边形ABDF是长方形， ∴AF＝BD＝120，DF＝AB＝20， ∴AE130． ∴的最小值为130． 2．（10分）（2024秋•福山区期末）福山的月亮广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明往回收线8米，则此时风筝沿CD方向下降了多少米？ 【答案】（1）风筝的高度CE为21.7米； （2）此时风筝沿CD方向下降了12米． 【解答】解：（1）由题意，得：DE＝AB＝1.7米， 在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD＝20， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米）， 答：风筝的高度CE为21.7米； （2）设此时风筝下降到点M，由题意得， BM＝25﹣8＝17米， ∵BD＝8米， ∴（米）， ∴CM＝CD﹣DM＝20﹣8＝12（米）， ∴此时风筝沿CD方向下降了12米． 3．（10分）（2024秋•永新县期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即AA'＝BB'＝25m），消防车高4m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m（即A′M＝19m）高的A'处救人后，还要从24m（即B′M＝24m）高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？ 【答案】5m． 【解答】解：由题意可知，DM＝4m，AA'＝BB'＝25m，A'M＝19m，B′M＝24m，AD⊥B′M，点A、B、D三点共线， ∴A'D＝A'M﹣DM＝19﹣4＝15（m），B′D＝B′M﹣DM＝24﹣4＝20（m）， 在Rt△AA'D中，由勾股定理得：AD20（m）， 在Rt△BB'D中，由勾股定理得：BD15（m）， ∴AB＝AD﹣BD＝20﹣15＝5（m）． 答：这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为5m． 4．（10分）（2024秋•沙坪坝区校级期末）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m． （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 【答案】（1）从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为（7.510）m； （2）桥面的宽AB1.5m． 【解答】解：（1）由题意知：∠ABC＝90°，BC＝AB＝7.5m， ∴ACAB＝7.5（m）， ∵AE＝15.5m， ∴BE＝AE﹣AB＝8m， 由题意可知：四边形BEDF是矩形， ∴DF＝BE＝8m， 由题意知：DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝6m， ∴CD10（m）， ∴AC+CD＝（7.510）m， ∴从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为（7.510）m； （2）由（1）知DF＝BE＝12m，DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝（AB﹣1.5）m， ∵CD比BC长6.5m， ∴CD＝BC+6.5＝（AB+6.5）m， ∵CF2+DF2＝CD2， ∴（AB﹣1.5）2+122＝（AB+6.5）2， ∴AB＝1.5m， ∴桥面的宽AB1.5m． 5．（10分）（2024秋•叶县期末）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴， 由（1）可知，BC＝18m， ∴ ∴这块空地得面积为：． 6．（10分）（2024秋•二七区期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米． 已知A、B、C、D点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【答案】（1）7.5（米）； （2）能成功，理由见解析． 【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E， 则AE＝BD＝8米，AB＝CD＝1.5米，∠AEC＝90°， ∴CE6（米）， ∴CD＝CE+CD＝6+1.5＝7.5（米）； （2）能成功，理由如下： 假设能上升9m，如图所示，延长DC至点F，连接AF， 则CF＝9米， ∴EF＝CE+CF＝6+9＝15（米）． ∴AF17（米）， ∵AC＝10米，余线仅剩7.5米， ∴10+7.5＝17.5＞17， ∴能上升9m，即能成功． 7．（10分）（2024秋•嵩县期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港C受到台风影响．理由见解答部分； （2）台风影响该海港持续的时间为5.6小时． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED70（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为25km/h， ∴140÷25＝5.6（小时） 即台风影响该海港持续的时间为5.6小时． 8．（10分）（2024秋•龙岗区期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】（1）芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺； （2）见解析． 【解答】解：（1）设芦苇的长度x尺， 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12． 答：芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺； （2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴a2+b2＝（b+n）2， 解得． 9．（10分）（2024秋•城关区校级期末）综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|． 【知识应用】 （1）若点A（﹣1，1），B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 　3　； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5． 【问题解决】 （2）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣1），则d（E，F）＝ 　4　； （3）如图2，已知E（2，0），G（1，t），若d（E，G）＝3，则t的值为 　±2　； （4）如图3，已知E（2，0），H（0，2），点P是△EOH的边上一点，若，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：AB的长度为|﹣1﹣2|＝3． 故答案为：3． （2）①d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣1）|＝4． 故答案为：4． （3）∵E（2，0），G（1，t），d（E，G）＝3， ∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3， 解得：t＝±2． 故答案为：2或﹣2． （4）①点P在OE边上，可设点P的坐标为（x，0）， ∵． ∴丨x﹣2丨+0， ∴x＝2，或x＝2（都不符合题意）， ②点P在OH边上，可设点P的坐标为（0，y）， ∵． ∴丨2﹣0丨+丨y丨， ∴y2， ∴P（0，2）， ③点P在HE边上，可设点P的坐标为（m，﹣m+2）， ∵． ∴丨m﹣2丨+丨﹣m+2丨， m＝2， ∴P（2，） 所以符合条件的点P坐标为P（0，2），P（2，）． 10．（10分）（2024春•河东区期中）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示﹣1的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于AB，在l上取点C，使BC＝2，以点A为圆心，AC为半径作弧，求弧与数轴的交点D表示的数是多少． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时，踏板离地的垂直高度CF＝3m，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳AC的长． 【答案】（1）点D表示的数为； （2）秋千绳AC的长为5米． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，， ∴， 又∵AO＝1， ∴， ∴点D表示的数为； （2）∵BE＝1m，CF＝3m， ∴DB＝DE﹣BE＝3﹣1＝2（m）， 设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AD＝（x﹣2）m， 利用勾股定理可得42+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝5， 即秋千绳AC的长为5米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章《直角三角形》专项训练卷（一）勾股定理的应用 一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分） 1．（10分）（2024秋•栖霞市期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中形与数互相配合的重要性．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边AB（图形形式）长度为5，如图1；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边AB（图形形式）长度为，如图2． 利用数形结合的思想解决下面问题： 已知a+b＝120（a＞0，b＞0），请求出的最小值． 2．（10分）（2024秋•福山区期末）福山的月亮广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明往回收线8米，则此时风筝沿CD方向下降了多少米？ 3．（10分）（2024秋•永新县期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即AA'＝BB'＝25m），消防车高4m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m（即A′M＝19m）高的A'处救人后，还要从24m（即B′M＝24m）高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？ 4．（10分）（2024秋•沙坪坝区校级期末）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m． （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 5．（10分）（2024秋•叶县期末）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 6．（10分）（2024秋•二七区期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米． 已知A、B、C、D点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 7．（10分）（2024秋•嵩县期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 8．（10分）（2024秋•龙岗区期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 9．（10分）（2024秋•城关区校级期末）综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|． 【知识应用】 （1）若点A（﹣1，1），B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 　 　； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5． 【问题解决】 （2）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣1），则d（E，F）＝ 　 　； （3）如图2，已知E（2，0），G（1，t），若d（E，G）＝3，则t的值为 　 　； （4）如图3，已知E（2，0），H（0，2），点P是△EOH的边上一点，若，求点P的坐标． 10．（10分）（2024春•河东区期中）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示﹣1的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于AB，在l上取点C，使BC＝2，以点A为圆心，AC为半径作弧，求弧与数轴的交点D表示的数是多少． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时，踏板离地的垂直高度CF＝3m，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳AC的长． ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$