江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年高二下学期第一次检测数学试题

2024-2025学年度高二第二学期第一次检测数学2025.2 出题人:高二备课组审题人:高二备课组 一、单选是 1。抛物线方程为x=二y,则此抛物线的准线为() A,x=1 B.y=1 C.x=一1 D.y=-l 2.若函数y=(x)的图象如图所示,则函数y=∫()的导函数y=了()的图象可能是() 。 3.从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通,每个路口安排 一人,则不同的安排方法有() A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 4.如图,是某心形二次曲线C,则C的方程可能为() A.2+y2-y=l B.2+y2+y=1 c.2+y-州-1 D.2+y+以=l 5.已知等比数列{a,)的首项a>1,公比为g,记T=%马…a,(neN),则0<g<1"是“数 列口}为递减数列的() A,充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件 6在数列中,4==+片则等于() 人月 B.2-1 c 品 7.在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中,E,F,G分别是棱BC,BA,DD的中点,过FG作 试卷第1页,共4页 平面a,使得AB/la,则点A到平面a的距离是() A.27 B.67 c.10W17 D.4 17 17 17 1 8.已知函数() e,x>0 2-e,xso" 当xs(O,]时, f(x-2a+f(x+in2)s2,则a的最小值为() A.0 B.1 C.e D.c+1: 二、多选题 9.设等差数列{a}的公差为d,前m项和S,若%=16,3:>0,S,<0,则下列结论正确 的是() A.数列{a,}是递增数列 B.S=80 C.9d4 D。品:品,品,品2中最大的是 10.已知圆M(x+1+y+1=4,直线kx+y-2=0,P为直线1上的动点,过P点 作圆M的切线PM,PB,切点为A,B,则下列说法正确的是() A.当P,I)时,直线AB的方程为x+y=0B.四边形MAPB面积的最小值为4 C.线段AB的最小值为35D。当∠4PB>号时,点P模坐标取值范围是(-1,3) 11.在校长均为1的三棱柱ABC-ARG中,∠AAB=∠44C=∠B4C=60,点T满足 4亚=xAB+yAC+z石,其中xy,0,,则下列说法一定正确的有() A.当点T为三角形4BG的重心时,x+y+三=2 B.当x+y+=1时,4T的最小值为 3 C.当点T在平面BBCC内时,x+y+:的最大值为2 D.当x+y-1时。点r到从的面离的最小值为号 三、填空题 12,已知点A(L@,B(5,0),直线y=2x上不存在点M,使得∠AMB=90 ,则实数a的取 值范围是 13.点P在语数y=C的图象上,若满足到直线y=x+的距离为2的点P有且仅有3个, 试卷第2页,共4页 则实数a的值为 14.如图,某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥,杯深8cm,上口宣6cm,若以30cm/s的 匀速往杯中注水,当水深为4m时,语杯中水升高的瞬时变化率y= cm/s 四、解答愿 15.如图,在三棱柱ABC-4RG中,M,N分别是4B,BG上的 点,且A-2,N-2NC.设A丽= ,4C-6,4- (1)试用 ,b,表示向量M: (2)若∠B,4C=90 ,∠BM4=∠CAM=6094B=AC=A4=1,求N 的长 16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, 侧面PAD⊥底面4ABCD,PM-PD,点E为BC的中点, 4EB 为等边三角形。 (I)证明:PB⊥AE (2)点F在线段PD上且DF=2FP,若二面角FP-AC-D的大小 为45”,求直线AE与平面ACF所成角的正弦值 17.设数列{a,}的首项g为常数,且a=3”-2a,(n后N) 是否为等比数列,请说明理由: (2)S是数列{@。}的前n项的和,若{S,}是递增数列,求%的取值范围 试卷第3页,共4页 1这、已知双曲线C:号-舌-a>06>的渐近线方程为y三土,集有清近线的面真 为1,过点M(0,4)作直线AB(不与y轴重合)与双曲线C相交于A,B两点,过点A作直 线1:y=1的垂线B,B为垂足 ()求双曲线C的标准方程: (2)是否存在实数1,使得直线EB过定点P,若存在,求1的值及定点P的坐标:若不存在, 说明理由 19已知f儿)=”+40-5 ()当a=3时,求f(x)的单调区间: 2)诺f(x)有两个极值点x,,,证明:f(名)+代:)+,+名<0 试卷第4页,共4页高二第二学期第一次检测答案和评分标准数学2025.2 1.02.C 3.B4.A5.C6B7.D8.D 9.BCD 10.ABD 11.BCD 2(32l25140 15.(1)MN=MA+AC,+CN ……2分 号网+c+丽号孤+号4+c+-和列青丽+号+号c, 又，花-5，瓜=8，∴-+五+， 6分 (2)因为AB=AC=A4=1,同=同-月=1. ∠B4C=90,2a-i=0.∠B4=∠C4=60,a-c=6-c=29分 -a+26+2-+46+4e-466-4ac+5-g= 。…13分 16.(1)因为点E为BC的中点且△AEB为等边三角形 所以AB=BE=AE=EC,从而∠BAC=90,∠ABC=60, 取AD的中点O,则四边形ABEO为菱形，连接BO, 故AE⊥B0,2分 又PA=PD,且O为AD的中点，则PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD, 从而PO⊥AE② 4分 由①②得：AE⊥平面PBO,又PBC平面PBO,故PB⊥AE. 6分 (2)解法-：设OP=九，AB=1,作ON⊥AD交BC于N,由(1)已证PO⊥平面ABCD,从而ON,OD,OP 两两垂直，以点，O为坐标原点，分别以ON,OD,OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所 示 …7分 则A0,-1,0),C 设平面ACF的一个法向量为n=(名，y,z) 又死-亚别亚 5 AC=0得 由 2 元4F=0 4 今=5，则y=-4故-(-引 …9分 由PO⊥平面ABCD知m=(0,0,1)为平面ACD的一个法向量 4小10分 由二面角F-AC-D的大小为45知cos45 解得h=1 园 12分 4* 从而=(W5,-1,2)为平面4CF的一个法向量， 所以点E到平面ACF的距离为d 4 ……14分 从而直线AE与平面4CF所成角的正弦值为。巨 AE 4 15分 解法二：作FH∥OP交AD于H,作M⊥AC于M,连接FM,8分 由(1)已证OP⊥平面ABCD,故FH⊥平面ABCD, 又ACc平面ABCD,所以FH⊥AC, 又MH⊥AC,FH OMH=H,所以AC⊥平面FMH,AC⊥MF, 所以∠FMH为二面角F-AC-D的平面角，由题知 ∠FMH=45°10分 不妨设OC=OD=OA=CD=1,又AC⊥CD, 所以cD,且烟=m-号C0-号 3 所以AC=5,0P=班=lFM=FH=25 12分 3 设点E到平面4CF的更离为，则由心=c知Sad=8a阳=8a, 得4Cd=子AC-CD-FH,解得d=巨 …14分 4 从而直线E与平面4CF所成角的正弦值为。。2 AE 4 15分 17.(1)a4=3"-2a(neN), 3 3.a53”-2a-352(a3 4分 3二}为等比数列， 公比为-2 …6分 a 3时，a,多不为等比数列： 2)由0可得：6号=a号， 只霸a=aX2+号>0,6a≥2) 8分 当为数时，日头+号04子 -2>-23恒成立，又-23单减， 52” 3233 552- 4 …11分 当”为得数时，4--2 32:3”恒成立，又2单增， 2>0→a55-2 32323 4<5+522 …14分 、3 3 a2 15分 18。G)焦点到渐近线的距离不妨求(0，©)直线y=x的距离d= bo =b=1,.2分 √a2+b 渐近线方程y=±号=士5x,得a=5,所以双曲线方程为号-=1： 3 .4分 (2)假设存在实数t,使得直线EB过定点P, 设直线AB:y=c+4,A(,为)，B(:,为2)，则E(名，). [y=a+4 -='消y得(-r+86+13=0 联立y 则 8k 13 +场3取一3 8分 直线B:y-4=当任-，令x=0得 另=5+位+1=-色+4++1=五-与++ 为- 5- 52- …10分 又=-13 +名8歌-= 6+5 13.(19】 +1 …y,= 一+1 …13分 所以存在实数：一是他箱直线B过定直®) .17分 19.（)当a=3时，f=e“+4e-3x-5 f)=-e2+4e*-3=-(c-1)(e-3), 2分 则当c∈(0,1)U(3,+∞)，即x∈(-o,0小U(n3+∞)时，f"(x)<0, 当ee(色，3)，即x∈(0，lh3)时，f"(x)>0, 故f(x)的单调递减区间为(-∞，0)、（血3+o∞），单调递增区间为(0，n3):4分 (2)f()=-e产+4e-a,令t=e,即f(x)=2+4-a, 令t=e,12=e,则4、2是方程2-4/+a=0的两个正根， …6分 则△=(-4)}-4a=16-4a>0,即a<4,有5+42=4,5=a>0,即0<a<4,8分 则f)+f6)+5+名=+4e-西-5+4e-属-5++名 =2+)*46+5小-(a-@+n6)-10=-26+'-2站]+46+)小-(a-n4-l0 s-26-2a+16-(a-0ha-10=a-(a-liha-2, …10分 要证f(s)+f(名)+x+为<0，即证a-(a-l)ha-2<0(0<a<4), 令g树=-e-hx-20<x<纱，则g创=1-(ax+）n。 令间-士n0<x,则)=子士<0，则2倒在0利上单调道减。 又g0-十n1=1,g2)=h2<0, 被存在名)，使8)血%-0，即加， .12分 则当x∈(0，)时，g(x)>0.当x∈(，4)时，g(x)<0, 故g(x)在(0，)上单调递增g(x)在(：，4)上单调递减， 则g因5g6)=-k-n%-2=5-6-小x-2=x+3,4分 42,则》藏加50， 7朵