湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二下学期数学周测试题（四）

崇阳二中高二下学期数学周测试题（四） 一、单选题 1．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（    ）. A．， B．与均为的最大值 C． D． 3．已知函数，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 6．已知的一个极值点为2，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 8．已知函数为奇函数，当时，，则曲线的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数在区间上单调递减，则实数可以是（    ） A．0 B． C．1 D． 10．关于函数，下列判断正确的是（    ） A．函数的图像在点处的切线方程为 B．是函数的一个极值点 C．当时， D．当时，不等式的解集为 11．已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 三、填空题 12．若函数的导函数为．，且满足，则 ． 13．已知等差数列的前项和为，且，则数列的公差为 ． 14．已知函数在内单调递增，则的最小值为 ． 四、解答题 15．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形. (1)求证：平面； (2)若平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 17．记公差为的等差数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，证明：. 18．已知函数(). （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，记函数的最小值为，求证：. 19．己知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率． (3)过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得 恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《崇阳二中高二下学期数学周测试题（四）》参考答案 1．A 2．B 3．C 4．C. 5．D 6．B 7．D【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.设切点为，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），，此时点到直线距离. 8．C【详解】当时，，则，又为R上的奇函数，所以，则，所以，得，所以曲线的图象在点处的切线方程为，即. 9．ABD【详解】在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在区间上单调递增，所以的最小值为，所以的取值范围是. 10．ACD【详解】因为，所以，，所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；当时，，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，即；故C正确；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减； 由可得，解得：，故D正确； 11．BCD【详解】对于选项A：由已知条件可得，即得，所以离心率为：，故选项A错误.对于选项B：由椭圆方程可知，，以为直径的圆的圆心为，半径为2，圆的方程为，联立可得，所以，圆与椭圆的交点个数为4个，故椭圆上存在点使得，故选项B正确对于选项C：设，则,两式相减得，由直线与椭圆交于、两点，且点为线段MN的中点，可知又所以直线l的斜率为，所以直线方程为整理得：，故选项C正确.对于选项D：直线过椭圆的焦点，的周长为，故选项D正确.故选：BCD 12． 13．2【详解】 设数列的公差为，则由，可得，化简可得，解得．14.【详解】，所以问题转化为在内恒成立，即，设，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，因此，所以的最小值为， 15．(1) (2) (3) (4) 16．【详解】（1）因为 ，平面平面，所以平面，又平行四边形中，, 平面平面，所以平面，又,平面,所以平面平面，又平面，所以平面.（2）因为平面所以两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系.记平面的一个法向量为故， 取故， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．【详解】（1）依题意，，因此，，所以数列是等差数列. （2）由（1）知，则，所以. 18．.【详解】（1）的定义域为，，根据题意有，则，解得或；（2），①当时，∵，由得，解得，由得，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，②当时，∵，由得，解得，由得，解得，∴在上单调递增，在上单调递减， （3）证明：由（2）知，当时的最小值为，即，，令，得，当时，当时，则是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点， ∴，∴当时，恒成立. 19． 【详解】（1）依题意可知，解得，因此椭圆的方程为； （2）易知，设直线的方程为，；联立，整理可得，显然；因此，由可得，即，代入可得，即；因此，即，解得，因此直线的方程为，即其斜率为.（3）如下图：当过点的动直线斜率存在时，设直线方程为，，；联立，整理可得，显然； 因此，所以若存在点使得恒成立，可得，解得，当过点的动直线斜率不存在时，两个交点分别为椭圆的上下顶点，显然此时方向相反，满足题意； 综上可得，点的纵坐标的取值范围为，使得恒成立. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$