8.3 简单几何体的表面积与体积讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3 简单几何体的表面积与体积 目录 知识点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 2 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的体积 2 知识点三：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 3 题型1：简单几何体的表面积 5 题型2：几何体的体积问题 6 题型3：组合体的面积或体积问题 8 题型4：球的切、接问题 11 题型5：表面积与体积的比值和最值问题 18 知识点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 1. 棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 (1) 棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长. (2) 棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成. (3) 棱台的侧面展开图由若干个梯形组成. 2. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和. (1) 棱柱的表面积：. (2) 棱锥的表面积：. (3) 棱台的表面积：. 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的体积 1. 棱柱的体积 (1) 棱柱的高：棱柱两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离. (2) 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 2. 棱锥的体积 (1) 棱锥的高:棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. (2) 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 3. 棱台的体积 (1) 棱台的高：棱台两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. (2) 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为，高是h，那么它的体积是． 4. 棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系 知识点三：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1. 圆柱的表面积和体积 (1) 圆柱的侧面积：. (2) 圆柱的表面积：. (3) 圆柱的体积：（为底面面积，为圆柱的高且） 2. 圆锥的表面积和体积 (1) 圆锥的侧面积：. (2) 圆锥的表面积：. (3) 圆锥的体积：（为底面面积，为圆柱的高且） 3. 圆台的表面积和体积 (1) 圆台的侧面积：. (2) 圆台的表面积:（分别为上、下底面面积） (3) 圆台的体积：（圆台的高） 4. 球的表面积和体积 (1) 球的表面积:. (2) 球的体积公式:. 推导过程： 祖暅（gèng）原理：“幂势既同，则积不容异”.即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.由祖暅原理，半球与圆柱体中间挖去一个圆锥所得几何体的体积相等. 所以. 所以， 所以. 题型1：简单几何体的表面积 【例1.1.】 如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【例1.2.】 在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 【例1.4.】 （多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【例1.5.】 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 【例1.6.】 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型2：几何体的体积问题 方法提炼 常见的求几何体体积的方法 (1) 公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解. (2) 等体积法：常用于求三棱锥的体积，. (3) 分割求和法：把几何体分割成若干个常规的几何体，然后进行体积计算. (4) 补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，不易计算的几何体还原成易于计算的几何体. 【例2.1.】 在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 如图，已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 【例2.6.】 如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（    ） A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5 【例2.7.】 在斜三棱柱中，，分别为侧棱，上的点，且知，过，，的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例2.8.】 在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 题型3：组合体的面积或体积问题 方法提炼 一般步骤： (1) 弄清几何体是由哪几种简单几何体组合而成，是拼接？挖去？还是截取？ (2) 分别求出各简单几何体的表面积和体积. (3) 计算结果，组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，其体积是各简单几何体的体积之和（若是挖去，则是体积之差）. 【例3.1.】 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（    ）（假设上、下底面圆是封闭的） A． B． C． D． 【例3.2.】 如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（    ）    A． B． C． D． 【例3.4.】 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 【例3.5.】 三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 题型4：球的切、接问题 方法提炼 与球有关的组合体问题一般涉及到内切球，外接球，棱切球. (1) 对于球与旋转体的组合，通常做它们的轴截面，利用旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系解题. (2) 对于球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图，利用多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系解题。 1. 正方体的切、接球 正方体的棱长为，球的半径为，若球为正方体的外接球，则；若球为正方体的内切球，则；若球与正方体的各棱相切，则. 如图，正四面体可以补形成正方体 2. 长方体的外接球 (1) 若长方体的共顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (2) 常见的可以补形成长方体的三棱锥： ①三条侧棱互相垂直的三棱锥（墙角模型） ②四个面均是直角三角形的三棱锥 ③对棱相等的三棱锥 ④有三个面为直角三角形的三棱锥 3. 其他三棱锥求外接球（双外心法） 解题思路： 和的外接圆圆心，分别记为和． 分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． 取的中点为，连接，则． 在四边形中，， 所以四点共圆，且为直径. 在中使用正弦定理，得， 在中使用余弦定理，有， 所以. 在中，，且（为三棱锥的外接球半径），.所以. 4. 直棱锥外接球 为的外心，小圆的半径，， 5. 共斜边的三棱锥求外接球 AC的中点为球心O，. 6. 正棱锥求外接球 正棱锥的顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上. （1） 正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径. （2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为，外接球半径 7. 侧棱相等的三棱锥和圆锥的外接球 ，解出． 8. 直三棱柱、圆柱的外接球 由对称性可知球心O的位置是圆柱上、下底面圆心连线的中点，下底面O2的半径为r，OO1＝（为圆柱的高），则． 9. 锥体内切球 求内切球半径的两种方法 (1) 等体积法：先将几何体（一般为棱锥）的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，如图所示，运用等体积法就有（，，…为几何体各表面的面积），于是就有，其中r为几何体内切球的半径，V为几何体的体积，S为几何体的表面积． (2) 平面化：通过找特殊截面（一般为球的截面刚好与几何体截面相切的截面），将立体几何问题转化为平面问题，从而通过求得某几何图形的内切圆半径，求出原问题中内切球的半径. 1　 在圆锥中，内切球半径等于其最大轴截面三角形的内切圆半径.设底面圆半径为，圆锥的高为，则利用等面积法可得内切球半径或（S、C为圆锥轴截面三角形的面积和周长）. 2　 对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径. 【注意】（1）三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球. （2）不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高与圆柱的底面半径满足，即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径. （2） 直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径等于底面三角形内切圆半径，又因为内切球到上下底面距离相等且都为，故仅有满足的直三棱柱有内切球，其中为直三棱柱的高. 【例4.1.】 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，垂直于底面BCD，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 . 【例4.6.】 已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（       ） A． B． C． D． 【例4.8.】 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.9.】 在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.10.】 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 【例4.11.】 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4.12.】 已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.13.】 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，底面，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.14.】 棱长为的正四面体的内切球半径为 ． 【例4.15.】 已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（    ） A． B． C． D． 【例4.16.】 已知一圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体（每条棱长都为的三棱锥），并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【例4.17.】 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ） A．球与圆柱的体积之比为 B．四面体CDEF的体积的取值范围为 C．平面DEF截得球的截面面积最小值为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 题型5：表面积与体积的比值和最值问题 【例5.1.】 如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是 ．（取3） 【例5.2.】 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 如图，半球底面圆的圆心为O（即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆，以圆面为底面向下挖去一个圆柱（圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x，体积为V. (1)求出体积V关于x的函数解析式，并指出定义域； (2)当x为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？ 附：，， ，（当且仅当时取等） ，（当且仅当时取等） 【例5.5.】 在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 简单几何体的表面积与体积 目录 知识点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 2 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的体积 2 知识点三：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 3 题型1：简单几何体的表面积 5 题型2：几何体的体积问题 9 题型3：组合体的面积或体积问题 16 题型4：球的切、接问题 21 题型5：表面积与体积的比值和最值问题 38 知识点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 1. 棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 (1) 棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长. (2) 棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成. (3) 棱台的侧面展开图由若干个梯形组成. 2. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和. (1) 棱柱的表面积：. (2) 棱锥的表面积：. (3) 棱台的表面积：. 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的体积 1. 棱柱的体积 (1) 棱柱的高：棱柱两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离. (2) 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 2. 棱锥的体积 (1) 棱锥的高:棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. (2) 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 3. 棱台的体积 (1) 棱台的高：棱台两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. (2) 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为，高是h，那么它的体积是． 4. 棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系 知识点三：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1. 圆柱的表面积和体积 (1) 圆柱的侧面积：. (2) 圆柱的表面积：. (3) 圆柱的体积：（为底面面积，为圆柱的高且） 2. 圆锥的表面积和体积 (1) 圆锥的侧面积：. (2) 圆锥的表面积：. (3) 圆锥的体积：（为底面面积，为圆柱的高且） 3. 圆台的表面积和体积 (1) 圆台的侧面积：. (2) 圆台的表面积:（分别为上、下底面面积） (3) 圆台的体积：（圆台的高） 4. 球的表面积和体积 (1) 球的表面积:. (2) 球的体积公式:. 推导过程： 祖暅（gèng）原理：“幂势既同，则积不容异”.即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.由祖暅原理，半球与圆柱体中间挖去一个圆锥所得几何体的体积相等. 所以. 所以， 所以. 题型1：简单几何体的表面积 【例1.1.】 如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 【例1.2.】 在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 所以， 所以. 故选：B 【例1.3.】 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，可得截面是边长为的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为， 所以其表面积为，故选B. 【例1.4.】 （多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【详解】解：依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以AC选项正确． 圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以D选项不正确． 故选：ABC 【例1.5.】 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，， ， 所以， 所以． 故选：B 【例1.6.】 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一： 连结交于，连结，则为的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以，则， 又，，所以，则， 又，，所以，则， 在中，， 则由余弦定理可得， 故，则， 故在中，， 所以， 又，所以， 所以的面积为. 法二： 连结交于，连结，则为的中点，如图， 因为底面为正方形，，所以， 在中，， 则由余弦定理可得，故， 所以，则， 不妨记， 因为，所以， 即， 则，整理得①， 又在中，，即，则②， 两式相加得，故， 故在中，， 所以， 又，所以， 所以的面积为. 故选：C. 题型2：几何体的体积问题 方法提炼 常见的求几何体体积的方法 (1) 公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解. (2) 等体积法：常用于求三棱锥的体积，. (3) 分割求和法：把几何体分割成若干个常规的几何体，然后进行体积计算. (4) 补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，不易计算的几何体还原成易于计算的几何体. 【例2.1.】 在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正三棱台中，已知，， 所以的面积为，的面积为， 设，分别是，的中心， 设，分别是，的中点， ，，三点共线，，，三点共线， ，， ，， ， 过作，垂足为，则， ， 三棱台的高为， 三棱台的体积为． 故选：C． 【例2.2.】 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则， 所以， 又， 则， 所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：C. 【例2.3.】 如图，已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，轴截面如图： 在等边三角形中，高， 因为圆柱的高是圆锥的高的，所以圆柱的高, 又且，所以是的中点，即， 于是该圆柱的底面半径为1，高为， 则体积为. 故选：C. 【例2.4.】 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为2，， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：D. 【例2.5.】 已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 【答案】 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 【例2.6.】 如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（    ） A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5 【答案】D 【详解】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V， 则， 因为E，F分别为AB，AC的中点，故, 结合题意可知几何体为棱台， 则， 故,故， 故选：D 【例2.7.】 在斜三棱柱中，，分别为侧棱，上的点，且知，过，，的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设三棱柱的体积为 侧棱和上各有一动点，满足， 四边形与四边形的面积相等. 故四棱锥的体积等于三棱锥的体积等于. 则四棱锥的体积等于. 故过，，三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为 故选：.    【例2.8.】 在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 题型3：组合体的面积或体积问题 方法提炼 一般步骤： (1) 弄清几何体是由哪几种简单几何体组合而成，是拼接？挖去？还是截取？ (2) 分别求出各简单几何体的表面积和体积. (3) 计算结果，组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，其体积是各简单几何体的体积之和（若是挖去，则是体积之差）. 【例3.1.】 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（    ）（假设上、下底面圆是封闭的） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，， 所以该青铜器的表面积. 故选：A. 【例3.2.】 如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出圆锥PO的轴截面，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形，如图， 矩形是等腰内接矩形，圆柱底面圆直径在圆锥底面圆直径上， 依题意，截面是边长为4的正三角形，所以， 因为是PO中点，则，，圆锥母线， 圆柱的侧面积，圆锥PO的表面积， 剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后， 圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等， 所以剩余几何体的表面积是. 故选：D. 【例3.3.】 如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的半径为，高为，母线长为， 则母线长为， 所以圆锥的侧面积是， 半球的面积， 由题意可得， 解得， 所以圆锥的体积为，半球的体积为， 所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为， 故选：B. 【例3.4.】 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（    ） A． B． C．27 D． 【答案】C 【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， . 所以 . 故选：C. 【例3.5.】 三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，组合体的体积为： ， 故选：A. 【例3.6.】 艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，因为正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，所以， 所以，则该正方体的棱长为． 易知三棱锥为正三棱锥，则． 易知两个几何体相交后公共部分形成的几何体体积为． 故选：B. 题型4：球的切、接问题 方法提炼 与球有关的组合体问题一般涉及到内切球，外接球，棱切球. (1) 对于球与旋转体的组合，通常做它们的轴截面，利用旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系解题. (2) 对于球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心（或“切点”“接点”）作出截面图，利用多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系解题。 1. 正方体的切、接球 正方体的棱长为，球的半径为，若球为正方体的外接球，则；若球为正方体的内切球，则；若球与正方体的各棱相切，则. 如图，正四面体可以补形成正方体 2. 长方体的外接球 (1) 若长方体的共顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (2) 常见的可以补形成长方体的三棱锥： ①三条侧棱互相垂直的三棱锥（墙角模型） ②四个面均是直角三角形的三棱锥 ③对棱相等的三棱锥 ④有三个面为直角三角形的三棱锥 3. 其他三棱锥求外接球（双外心法） 解题思路： 和的外接圆圆心，分别记为和． 分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． 取的中点为，连接，则． 在四边形中，， 所以四点共圆，且为直径. 在中使用正弦定理，得， 在中使用余弦定理，有， 所以. 在中，，且（为三棱锥的外接球半径），.所以. 4. 直棱锥外接球 为的外心，小圆的半径，， 5. 共斜边的三棱锥求外接球 AC的中点为球心O，. 6. 正棱锥求外接球 正棱锥的顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上. （1） 正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径. （2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为，外接球半径 7. 侧棱相等的三棱锥和圆锥的外接球 ，解出． 8. 直三棱柱、圆柱的外接球 由对称性可知球心O的位置是圆柱上、下底面圆心连线的中点，下底面O2的半径为r，OO1＝（为圆柱的高），则． 9. 锥体内切球 求内切球半径的两种方法 (1) 等体积法：先将几何体（一般为棱锥）的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，如图所示，运用等体积法就有（，，…为几何体各表面的面积），于是就有，其中r为几何体内切球的半径，V为几何体的体积，S为几何体的表面积． (2) 平面化：通过找特殊截面（一般为球的截面刚好与几何体截面相切的截面），将立体几何问题转化为平面问题，从而通过求得某几何图形的内切圆半径，求出原问题中内切球的半径. 1　 在圆锥中，内切球半径等于其最大轴截面三角形的内切圆半径.设底面圆半径为，圆锥的高为，则利用等面积法可得内切球半径或（S、C为圆锥轴截面三角形的面积和周长）. 2　 对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径. 【注意】（1）三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球. （2）不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高与圆柱的底面半径满足，即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径. （2） 直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径等于底面三角形内切圆半径，又因为内切球到上下底面距离相等且都为，故仅有满足的直三棱柱有内切球，其中为直三棱柱的高. 【例4.1.】 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即， 所以，这个球的表面积为. 故选：C. 【例4.2.】 已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正四面体的外接球半径为，则， 解得， 将正四面体放入正方体中，设正方体的棱长为，如下图所示： 则，所以，，故该正四面体的棱长为. 故选：C. 【例4.3.】 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 【例4.4.】 在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 【例4.5.】 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，垂直于底面BCD，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示， 设，即，由题意得， 在中，由余弦定理得 即 即，解得或（舍去）， 将三棱锥补成长方体如图2所示， 该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径， 所以外接球的体积. 故答案为： 【例4.6.】 已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中， 则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球， 所以外接球的直径， ∴该球的体积为. 故选：B 【例4.7.】 设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为， 所以，， 而，所以（于是是外接圆的半径），，即， 如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心， ， 所以外接球为． 于是球的表面积为． 故选：C． 【例4.8.】 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理：, 所以，所以外接圆半径为，即. 在直角三角形中，，，所以. 设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，， 解得：. 所以球的表面积为：. 故选：A 【例4.9.】 在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取正三角形的中心为，连接， 则三棱锥的外接球球心在上，连接. 在正三角形中，，所以. 在中，，所以. 设外接球的半径为， 由，，解得， 所以三棱锥的外接球表面积. 故选:C.    【例4.10.】 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，，， 因此，这两个圆锥的体积之和为. 故选：B. 【例4.11.】 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理，所以， 过A作，垂足为G，则，， 所以，所以，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：C 【例4.12.】 已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，设在底面的射影为，则为的交点. 因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且， 故，故. 由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为， 则，故，故， 故正四棱锥的外接球的表面积为， 故选：B. 【例4.13.】 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，底面，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在三棱锥中，底面，，， 所以. 在等腰中，，则，， 作的外接圆，令圆心为，连接交圆于点D，连接PD， 则，且 因此球O的半径， 所以球的表面积. 故选：A 【例4.14.】 棱长为的正四面体的内切球半径为 ． 【答案】 【详解】如图， 由正四面体性质可知：在底面投影为下底面中心，即平面， 连接并延长，交于，则， ，，即． 由等体积可得，， 即． 【例4.15.】 已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心， 由体积为得， 连接，平面，球心在上，， 取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点， 则点在上，且，， 球心到四棱锥顶点的距离为， 所以，，解得， 所以. 故选：A. 【例4.16.】 已知一圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体（每条棱长都为的三棱锥），并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【解析】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球， 设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图： 由已知AB＝SA＝SB＝ 所以三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心， 连接BP，则BP平分∠SBA，∴∠PBO＝30°； 所以tan30°＝，即， 即四面体的外接球的半径为． 另正四面体可以从正方体中截得，如图： 从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为， 而正四面体的四个顶点都在正方体上， 故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以， 所以． 即a的最大值为． 故选：B． 【例4.17.】 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ） A．球与圆柱的体积之比为 B．四面体CDEF的体积的取值范围为 C．平面DEF截得球的截面面积最小值为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 【答案】AD 【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确； 对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点， 四面体CDEF的体积，B错误； 对于C，过作于，如图，而，则， 又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则， 又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误； 对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接， 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立， 因此，， 则， 令，则，而，即， 因此，解得，所以的取值范围为，D正确. 故选：AD 题型5：表面积与体积的比值和最值问题 【例5.1.】 如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是 ．（取3） 【答案】 【分析】设圆柱的高为h，由酒杯内壁的表面积表示出h，可得，再结合体积公式列不等式求出，即可得答案. 【详解】设圆柱的高为h，则，故， 酒杯的体积为， 半球积分为，由题意可得， 则，又， 则，故， 而取3，故， 故答案为： 【例5.2.】 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 【例5.3.】 如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形， 则如图，水最少的临界情况为，水面为面， 水最多的临界情况为多面体，水面为， 因为， ， 所以，即. 故选：A. 【例5.4.】 如图，半球底面圆的圆心为O（即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆，以圆面为底面向下挖去一个圆柱（圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x，体积为V. (1)求出体积V关于x的函数解析式，并指出定义域； (2)当x为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？ 附：，， ，（当且仅当时取等） ，（当且仅当时取等） 【答案】(1)，定义域为 (2)当时，体积有最大值 【详解】（1）设正四棱柱的高为， 则，， ， ,定义域为， （2） 当，时取等， ∴当时，体积有最大值 【例5.5.】 在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【详解】由余弦定理可得, 故，所以， 当且仅当时取等号，故， 故面积的最大值为， ， 由于，所以点在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时最大为半径， 故， 由正弦定理可得：，为外接圆的半径， 设四面体外接球半径为,则,其中分别为球心和外接圆的圆心，故当时，此时最小， 故外接球的表面积为, 故答案为：,    ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$