精品解析：上海市闵行区上海师范大学附属中学闵行分校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

上海师范大学附属中学闵行分校 高一数学 月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若角的终边经过点，则______． 2. 已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______. 3. 已知，则______. 4. 已知，且，则___________． 5. 方程 在 上的解为_____. 6. 已知，则______. 7. 已知．则______． 8. 已知，则________. 9. 已知，且，，则_______. 10 化简：______. 11. 已知，那么________ 12. 已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知函数，如果点是角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 若，则（ ） A. B. C. D. 15. （正弦）一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦，他是十五世纪西欧数学界的领导人物，今天我们所使用的符号：（正割），（余切），（余割），是经过了漫长的历史发展，直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若，则（ ） A. B. C. D. 或 16. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ） A B. C D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． （1）； （2）， 18. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 19. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 20. 在以原点为圆心的单位圆中，钝角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. （1）求的值和钝角的大小； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 21. 已知集合，，设函数. （1）当时，证明：函数常数函数； （2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合； （3）当为奇数时，写出函数是常数函数一个充分条件，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属中学闵行分校 高一数学 月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，． 故答案为： 2. 已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，扇形的弧长为， 所以扇形的周长为. 故答案为：6 3. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】将原式分母化为，再利用正弦余弦齐次式，弦化切后即可代入求解. 【详解】 ， 故答案为：. 4. 已知，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件与特殊角的正切值，可得答案. 【详解】因为，所以， ，所以． 故答案为：. 5. 方程 在 上的解为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，结合范围求解可得答案. 【详解】因为，所以， 所以,即， 因为，所以. 故答案为： 6. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接运用二倍角余弦公式即可. 【详解】若，由二倍角的余弦公式可得，. 故答案为：. 7. 已知．则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式计算可得、，结合同角的商数关系计算即可求解. 【详解】， ， 两式相加得，两式相减得， 所以. 故答案为： 8. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的和角公式以及辅助角公式，整理化简等式，再利用诱导公式以及余弦的二倍角公式，可得答案. 【详解】因为，即， 所以. 故答案为： 9. 已知，且，，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】同时平方，根据同角三角函数的平方关系得到，再利用两角和的正弦公式的逆用求得，再根据的范围求得的值. 【详解】因为，，所以， 即， 所以， 由，得，则. 故答案：. 10. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式计算化简. 【详解】 . 故答案为： 11. 已知，那么________ 【答案】 【解析】 【分析】将利用诱导公式转变为的形式，然后根据函数解析式直接计算的值即为的值. 【详解】因为且， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用，着重考查了分析与转化的能力，难度较难. 12. 已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】先证得，结合条件得必为整数，分为钝角三角形与锐角三角形讨论求得的值 【详解】由， 得. 记，由条件得， 因为，所以必为整数. 如果为钝角三角形，则，则、均为锐角， 从而、为正整数()， 于是， 这时有，矛盾. 于是只能是锐角三角形，则. 又. 若，则，从而不能成立; 若，则，由，得; 若，则，由，得，与矛盾. 所以，即， 所以. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：解题关键是由推得必为整数，再结合求解. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知函数，如果点是角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，先求出角的正弦和余弦，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为点是角终边上一点， 所以，， 则. 故选：C 14. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系求出的值，再根据二倍角公式求出即可. 【详解】因为，所以. 又因为. 故选：B. 15. （正弦）一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦，他是十五世纪西欧数学界的领导人物，今天我们所使用的符号：（正割），（余切），（余割），是经过了漫长的历史发展，直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的关系可得，两边同时除以后，解方程可求的值，再检验即可得答案 . 【详解】由题意得， 即 即， 两边同时除以可得， 解得或， 当时，，不符合题意，所以. 故选:C. 16. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角速度列方程，求得两点重合的时刻的表达式，进而求得点的坐标，再根据三角函数的周期性求得正确答案. 【详解】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合， 则，即， 此时点， 即，， 当时，，故A正确； 当时，，即，故C正确； 当时，，即，故D正确； 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误. 故选：B 【点睛】关键点睛：追及问题的关键点在于时间，运动的时间相同，由此可建立等量关系式，从而可对问题进行求解.三角函数具有周期性，诱导公式可以将较大角的三角函数值转化为较小的角的三角函数值. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． （1）； （2）， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合. 【小问1详解】 如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于两点，则，， 故α的范围是． 【小问2详解】 如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于两点，则， 故α的范围是． 18. （1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 【答案】（1）（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ， . （2）由， 所以. （3）因为，且， 解得或（舍去）， 则. 19. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． （1）若，求扇形的弧长l； （2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积； （3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 设弓形面积为．由题知． ． 【小问3详解】 由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 20. 在以原点为圆心的单位圆中，钝角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. （1）求的值和钝角的大小； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用单位圆定义可得，再由三角函数定义计算可得； （2）利用诱导公式化简后代入计算可得结果； （3）由余弦函数定义可知，可知，结合整体代换以及诱导公式并计算可得结果. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 又因为钝角，所以点在第二象限，即， 所以； 易知，又， 因此可得 【小问2详解】 由（1）可知， 易知原式 【小问3详解】 由（1）中，利用三角函数定义可得； 又可得； 因为，所以， 因此； 所以 . 21. 已知集合，，设函数. （1）当时，证明：函数是常数函数； （2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合； （3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2），，， （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用题设定义和平方关系，即可证明结果； （2）根据题设，利用倍角公式及余弦的差角公式得到，再利用平方关系可得间的关系，再结合题设条件，即可求解； （3）根据条件，利用倍角公式及平方关系，得到，，再分奇和偶讨论，结合题设条件，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以是常数函数. 【小问2详解】 设，不妨令， 则 . 若函数是常数函数，则， 则， 得，所以， 得或，，所以或，， 同理或，，或，， 则①，又， 所以集合有，，，，共4个. 【小问3详解】 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则， 两式平方相加得，所以， 得，，所以，， ①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 ②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和 与组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是. 【点睛】方法点晴：“新定义问题”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $