6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

普通高中教科书数学必修第三册 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （第2课时） 第六章 计数原理 例4：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的 指定位置，问共有多少种不同的挂法? 分析 要完成的一件事是:“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”， 法一：可以分两步进行，第1步选出两幅画，第2步对选出的2幅画确定左右，然后应用分步乘法计数原理即可得解； 法二：可以分两步进行，第1步给左边选1幅，第2步在剩下的中给右边选1幅，然后应用分步乘法计数原理即可得解； 法三：可以分三类方案，第1类甲在左边，第2类乙在左边，第3类丙在左边，然后应用分类加法计数原理即可得解； 法四：由于数值不大，可以用树状图法罗列所有挂法. 典例讲解 例4：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的 指定位置，问共有多少种不同的挂法? 解析 法一：分步乘法计数原理 3×2 = 6 第1步：选出2幅画(3种：甲乙、甲丙、乙丙) 第2步：对2幅画确定左右(各2种挂法) 法二：分步乘法计数原理 3×2 = 6 第1步：选1幅挂左边(3种：甲、乙、丙) 第2步：选1幅挂右边(各2种选择) 典例讲解 例4：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的 指定位置，问共有多少种不同的挂法? 解析 法三：分类加法计数原理 2+2+2 = 6 第1类：甲在左(2种方法：甲乙、甲丙) 第2类：乙在左(2种方法：乙丙、乙甲) 第3类：丙在左(2种方法：丙甲、丙乙) 法四：树状图列举法，如右图 典例讲解 跟踪练习： 完成的事：50人中选择两人做班长和学习委员， 可以分两个步骤完成： 第1步，选班长，有50种不同选法； 第2步，选学习委员，有49种不同选法， 根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为 N=50×49=2450 解析 典例讲解 例5：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z， 后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名? 分析 要完成的一件事是“给一个程序模块命名”， 可以分三个步骤完成： 第1步，选首字符，首字符又可以分为两类； 第2步，选中间字符； 第3步，选最后一个字符． 典例讲解 例5：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z， 后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名? 解析 要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成： 第1步，选首字符，由加法原理，共有 7+6=13 种不同选法； 根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为 N=13×9×9=1053 第2步，选中间字符，有9种不同选法， 第3步，选最后一个字符，有9种不同选法， 典例讲解 思考 你能给出不同的解法吗？ 法二 要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分两类方案： 第1类，首字符为字母A~G中的一个，中间字符和最后一个字符都是从1~9中选，由乘法原理得，共有 6×9×9=486 种不同选法； 根据分类加法计数原理，共有不同选法种数为： N=486+567=1053 第2类，首字符为字母U~Z中的一个，中间字符和最后一个字符都是从1~9中选，由乘法原理得，共有 7×9×9=567 种不同选法； 思考探究 总结 两个计数原理的综合应用： 特点 有些较复杂的问题往往不单独考查某一个计数原理，而是两个计数原理都要考查. 分类中有分步 分步中有分类 先对问题进行“分类”处理，每一类的计数，还需要应用到分步乘法计数原理； 先对问题进行“分步”处理，每一步的计数，还需要应用到分类加法 计数原理． 模型 方法总结 跟踪练习：书架上有4本不同的计算机书，3本不同的文艺书，2本不同的体育 书，从书架上任取2种不同类型的书各1本,有多少种不同的取法？ 解析 要完成的一件事是“取2种不同类型的书”，可以分三类方案： 第1类，取计算机和文艺书各一本，由乘法原理得，有 4×3=12 种不同取法； 根据分类加法计数原理，共有不同取法种数为： N=12+8+3=23 第2类，取计算机和体育书各一本，由乘法原理得，有 4×2=8 种不同取法； 第3类，取文艺书和体育书各一本，由乘法原理得，有 3×2=6 种不同取法； 典例讲解 例6：电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也 是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两 种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符 进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机 中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成． (1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这 些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示? 典例讲解 分析 (1)要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”． 由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0，1两种选择 而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理 求解； (2)只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可． 典例讲解 解析 (1)用图6.1-3表示1个字节： 1个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是： 2×2×2×2×2×2×2×2=28=256 典例讲解 解析 (2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符只有256个，不够6763个，我们 考虑2个字节能够表示多少个字符． 第1步，前1个字节有256种不同的表示方法；第2步，后1个字节也有256种表示方法． 根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256×256=65536． 这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763． 因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示． 典例讲解 例7： 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据． 一般地，一个程序模块由许多子模块组成．图6.1-4是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径? 典例讲解 分析 整个模块的任意一条执行路径都分两步完成： 第1步是从开始执行到A点； 第2步是从A点执行到结束． 而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成； 第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成． 因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理． 典例讲解 解析 完成的事情：完成程序测试，分两步进行： 第1步：从开始执行到A点，由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为：18+45+28=91．即该步共有91种执行路径； 第2步：从A点执行到结束，同理，子模块4、子模块5中的子路径条数共为：38+43=81．即该步共有81种执行路径； 由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为： 91×81=7371． 典例讲解 追问 为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序 员设计一个测试方法，以减少测试次数吗? 分析 在实际测试中，如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间 的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常． 因此，整个测试可以分两类测试进行： 第一类测试：单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常；第二类测试：测试各个模块之间的信息交流是否正常； 两类测试完成，就完成了全部测试，由分类加法计数原理即可得解总的测试次数. 典例讲解 解析 完成的事情：完成程序测试，分两类测试进行： 第1类测试：单独测试5个模块，由分类加法计数原理，5个模块总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172． 第2类测试：测试各个模块之间的信息交流是否正常，同分两步进行，第1步先测试从开始执行到A点的3个子模块；第2步再测试从A点执行到结束的2个子模块，由分步乘法计数原理，共需要的测试次数为：3×2=6. 由分类加法计数原理，测试整个模块的次数共为： 172+6=178. 典例讲解 追问 显然，通过以上两种方案的测试，测试次数178与7371的差距是非 常大的，为什么呢？ 解析 通过两种测试方案中测试总次数的计算过程不难发现： 第1种测试方案：整体分步测试， 整体使用了分步乘法计数原理计算出总的测试次数； 第2种测试方案：整体分类测试， 整体使用了分类加法计数原理计算出总的测试次数； 典例讲解 例8： 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示． 其中，序号的编码规则为： (1)由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成； (2)最多只能有2个英文字母． 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 典例讲解 知识 车牌小知识：对于省和自治区，发牌机关通常是指其地级市的公共 交通管理部门，并用英文字母依次编码．例如，湖南省长沙市、株 洲市、湘潭市的发牌机关代号分别为A，B，C．直辖市的发牌机关 代号可备案后依次自行使用． 分析 由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数． 按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母． 以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类． 典例讲解 解析 完成的事情：编汽车号牌，由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母． 第1类：没有字母，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选１个，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为：10×10×10×10×10=100000． 典例讲解 解析 第2类：1个字母，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类： 第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为:24×10×10×10×10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张． 根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为： 240000×5=1200000. 典例讲解 解析 第3类：2个字母，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为 十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位． 当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为 24×24×10×10×10=576000 典例讲解 解析 同样，其余九个子类号牌也各有576000张．于是，这类号牌张数一共为： 576000×10=5760000. 综合(1)(2)(3)，根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为： 100000+1200000+5760000=7060000 典例讲解 总结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： （1） 要完成的“一件事”是什么； （2） 需要分类还是需要分步． 注意：(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，后用分 类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步 后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每 一步的方法数相乘，得到总数． 方法总结 思考 乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗? 有这种类似的关系. 实际上，分步乘法计数原理也可以看成是特定条件下的分类加法计数原理的简化. 典例讲解 题型一 “排数”问题 例题1 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 【详解】(1)三位数字的电话号码，首位可以是0数字也可以重复，每个位 置都有5种排法，根据分步乘法计数原理，可以排成电话号码总数共有： 5×5×5=125. (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法， 除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此共有 4×5×5=100. 能力提升 题型一 “排数”问题 例题1 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 【详解】(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3=12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3=18(种)排法．因而有12+18=30(种)排法. 能力提升 总结 “排数”问题，应把握的两个原则 (1) 明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一 般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优 先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解. (2) 要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位. 能力提升 题型二 选(抽)取与分配问题 例题2 高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有多少种？ 【法一】直接法 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： ① 四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； ② 有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共 有5×4×4=16(种)； 能力提升 【法一】直接法 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： ③有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4=96(种)； ④有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有：4×4×4×4=256(种)． 综上所述，由分类加法计数原理可得，不同的分配方案有：1+16+96+256=369(种)． 【法二】间接法：先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无班级去的情况，即：5×5×5×5－4×4×4×4=369(种)方案 能力提升 总结 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ① 直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理． 一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则 按分类进行． ② 间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合 条件的抽取方法数即可． 能力提升 题型三 涂色（种植）问题 例题3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 能力提升 【详解】完成涂色，分两类进行： 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法. 第1类：第2个、第3个小方格涂不同颜色，有4×3=12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可得，有 5×12×3=180(种)不同的涂法. 第2类：第2个、第3个小方格涂相同颜色，有4(种)不同的涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得，共有180+80=260(种)不同的涂法. 能力提升 总结 解决涂色（种植）问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析. (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法 计数原理分析. (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题. 能力提升 两个 计数原理 课堂小结 巩固作业 作业1：完成教材：第7页 练习1,2,3,4,5；第11页 练习1,2,3,4； 作业2：配套辅导资料对应的《两个计数原理综合应用》.  布置作业 某班级共有学生50人，现在需要选择班长和学习委员两名学生干部（1个人不能同时担任两个职务），则不同的选法共________种. $$