5.2.3简单复合函数的导数-2024-2025学年第二学期高二数学同步课件（人教A版2019选必二）

5.2.3 简单复合函数的导数 第1页 课内导航 复合函数的概念 复合函数的导数 1 2 复合函数的导数的应用 书读百遍 其义自现 3 4 第1页 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 学习目标 第1页 同学们，大家有没有过网购的经历呢？我想大家一定都体会过这种感觉：即使我们很清楚自己买的是什么，但当真正拆开包装的那一刻，还是会充满无限的期待和喜悦，仿佛“拨开云雾见天日，守得云开见月明”。其实，在数学中，也有这样一种让我们充满期待的神奇存在，那就是我们今天要学习的复合函数。 导 语 第1页 一 复合函数的概念 第1页 函数y=ln(2x-1)是如何构成的？ 思考1 提示　y=ln(2x-1)，其中的2x-1“占据”了对数函数y=ln x中x的位置，f(x)=ln x，而f(2x-1)=ln(2x-1)，这里有代入、代换的思想，则函数y=ln(2x-1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y=(2x-1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思. 第页 第1页 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y= . f(g(x)) 内、外层函数通常为基本初等函数. 知识梳理 第页 第1页 7 题型一　复合函数概念的理解 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 √ √ √ 第页 第1页 二 复合函数的导数 第1页 如何求函数y=sin 2x的导数？ 思考2 提示　y=sin 2x=2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y'x=2cos2x-2sin2x=2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y=sin u，它的导数y'u=cos u，内层函数是幂函数的线性组合u=2x，它的导数是u'x=2，发现y'x=y'u·u'x. 第页 第1页 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x= ，即y对x的导数等于 . y'u·u'x 知识梳理 第页 第1页 注意： (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 知识梳理 第页 第1页 14 题型二　复合函数的导数 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 三 复合函数的导数的应用 第1页 题型三　复合函数的导数的应用 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 54 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 四 书读百遍 其义自现 第1页 f(g(x)) y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ √ √ 第页 第1页 第页 第1页 3x－2y＋1＝0 第页 第1页 y＝1 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 (3)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))； 【解析】　(3)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))由y＝cos u，u＝eq \f(π,4)－x复合而成． (4)y＝ln[sin(3x－1)]． 【解析】　(4)y＝ln[sin(3x－1)]由y＝ln u，u＝sin v，v＝3x－1复合而成． 例1　指出下列函数的复合关系： (1)y＝(2－x2)3；　　 【解析】 (1)y＝(2－x2)3由y＝u3，u＝2－x2复合而成． (2)y＝sin x2； 【解析】　(2)y＝sin x2由y＝sin u，u＝x2复合而成． (1)由y＝f(u)与u＝g(x)得复合函数y＝f(g(x))． (2)对于复合函数，中间变量应选择基本初等函数，因为基本初等函数存在求导公式，能直接求导．初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数，而基本初等函数只有六种：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数．现在我们不学习反三角函数，就只涉及五种基本初等函数． 思考题1　【多选题】下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝log2(2x＋1)　　 B．y＝2x2－eq \f(1,x) C．y＝2ln x D．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))) 【解析】　对于A，y＝log2(2x＋1)由y＝log2u，u＝2x＋1复合而成；对于C，y＝2ln x由y＝2u，u＝ln x复合而成；对于D，y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))由y＝cos u，u＝3x－eq \f(π,6)复合而成．故选ACD. 例2　求下列函数的导数： (1)y＝(－2x＋1)2；　　 【思路分析】　复合函数求导的关键是选择中间变量，必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏．此外，还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数． 【解析】　(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4. (2)y＝e2x－1； 【解析】　(2)设y＝eu，u＝2x－1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2·e2x－1. (3)y＝log2(2x＋1)； 【解析】　(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eq \f(2,uln 2)＝eq \f(2,（2x＋1）ln 2). (4)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))). 【解析】　(4)设y＝2sin u，u＝3x－eq \f(π,6)，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))). (1)求复合函数的导数的步骤： (2)求复合函数的导数的注意点： ①内、外层函数通常为基本初等函数． ②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 思考题2　求下列函数的导数： (1)y＝eq \f(1,\r(1－2x2))；　　　 【解析】　(1)设y＝ueq \s\up22(－\f(1,2))，u＝1－2x2， 则y′x＝y′u·u′x＝－eq \f(1,2)ueq \s\up22(－\f(3,2))·(－4x)＝－eq \f(1,2)(1－2x2)eq \s\up22(－\f(3,2))(－4x)＝2x(1－2x2)eq \s\up22(－\f(3,2)). (2)y＝esin x； 【解析】　(2)设y＝eu，u＝sin x，则y′＝(eu)′(sin x)′＝eucos x＝esin xcos x. (3)y＝5log2(3x＋1); 【解析】　(3)设y＝5log2u，u＝3x＋1，则y′＝5(log2u)′(3x＋1)′＝eq \f(15,uln 2)＝eq \f(15,（3x＋1）ln 2). (4)y＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 【解析】　(4)方法一：设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋eq \f(π,3)，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝(u2)′·(sin v)′·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′＝2u·cos v·2＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))·2＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))). 方法二：∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))， ∴y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))))′·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))))′ ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))))′ ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′ ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))). 方法三：∵y＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))))， ∴y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))))′＝0＋eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)))′ ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))). 例3　(1)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18 h时的导数，并解释它的实际意义． 【解析】　设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝eq \f(π,12)t＋eq \f(5π,6)， 所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))， 将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq \f(π,4)cos eq \f(7π,3)＝eq \f(π,8)(m/h)． s′(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为eq \f(π,8) m/h. (2)求曲线y＝eq \f(1,\r(x2－3x))在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))处的切线方程． 【思路分析】　将函数变形为y＝(x2－3x)eq \s\up22(－\f(1,2))，将其看作是由函数y＝ueq \s\up22(－\f(1,2))，u＝x2－3x复合而成的． 【解析】　∵y＝eq \f(1,\r(x2－3x))＝(x2－3x)eq \s\up22(－\f(1,2))，∴y′＝－eq \f(1,2)(x2－3x)eq \s\up22(－\f(3,2))·(x2－3x)′＝－eq \f(1,2)(x2－3xeq \s\up22(－\f(3,2))·(2x－3)．∴曲线y＝eq \f(1,\r(x2－3x))在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))处的切线的斜率为y′|x＝4＝－eq \f(1,2)(42－3×4)eq \s\up22(－\f(3,2))×(2×4－3)＝－eq \f(5,16).∴曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))处的切线方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,16)(x－4)，即5x＋16y－28＝0. 本例(2)不要将函数y＝eq \f(1,\r(x2－3x))看作是由y＝eq \f(1,u)，u＝eq \r(v)，v＝x2－3x三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了． 思考题3　(1)若可导函数f(x)满足f′(3)＝9，则f(3x2)在x＝1处的导数值为________． 【解析】　∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)，∴f(3x2)在x＝1处的导数值为6×1×f′(3)＝54. (2)求证：双曲线C1：x2－y2＝5与椭圆C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交点处的切线互相垂直． 【证明】　易知双曲线和椭圆在第一象限交点处的切线的斜率均存在．设双曲线C1在交点处的切线的斜率为k1，椭圆C2在交点处的切线的斜率为k2.联立两曲线的方程，求得它们在第一象限的交点为(3，2)． C1在第一象限的部分对应的函数解析式为y＝eq \r(x2－5)，　 于是有y′＝[(x2－5)eq \s\up22(\f(1,2))]′＝eq \f(（x2－5）′,2\r(x2－5))＝eq \f(x,\r(x2－5))， ∴k1＝y′|x＝3＝eq \f(3,2). C2在第一象限的部分对应的函数解析式为y＝eq \r(8－\f(4,9)x2).∴y′＝eq \f(－\f(8,9)x,2\r(8－\f(4,9)x2))＝－eq \f(2x,3\r(18－x2)). ∴k2＝y′|x＝3＝－eq \f(2,3). ∵k1·k2＝－1，∴两切线互相垂直. 要点1　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝__________． 要点2　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于____________________________． 如何证明复合函数的求导法则？ 答：复合函数的求导法则也是利用导数的概念推导出来的． 证明：设x的变化量为Δx，则对应的u，y的变化量分别为Δu，Δy，当Δx→0时，Δu→0.∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δy,Δu)·eq \f(Δu,Δx)，且eq \o(lim,\s\up22(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δu)＝eq \o(lim,\s\up22(　),\s\do14(Δu→0)) eq \f(Δy,Δu)， ∴eq \o(lim,\s\up22(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\up22(　),\s\do14(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Δy,Δu)·\f(Δu,Δx)))＝eq \o(lim,\s\up22(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δu)·eq \o(lim,\s\up22(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δu,Δx)＝eq \o(lim,\s\up22(　),\s\do14(Δu→0)) eq \f(Δy,Δu)·eq \o(lim,\s\up22(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δu,Δx)， 即y′x＝y′u·u′x. 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(sin x＋cos x)′＝cos x＋sin x B．(xln x)′＝eq \f(1,x) C．(e2x)′＝e2x D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq \f(1－x,ex) 解析　(sin x＋cos x)′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x，A错误； (xln x)′＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，B错误； (e2x)′＝2e2x，C错误； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq \f(x′ex－x（ex）′,（ex）2)＝eq \f(1－x,ex)，D正确．故选D. 2．已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝(　　) A．－4　　　　　　　　　　 B．－2 C．2 D．4 解析　由题得y′＝(x＋1)ex－a，所以y′|x＝a＝a＋1＝3，解得a＝2， 所以f(x)＝xex－2，可得f(2)＝2×e2－2＝2， 所以切点为(2，2)，将(2，2)代入切线方程得b＝－4， 所以a＋b＝－2.故选B. 3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的导数为(　　) A．y′＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)) B．y′＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)) C．y′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)) D．y′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) 解析　因为函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))可看作由y＝sin u，u＝eq \f(π,4)－x复合而成，且yu′＝(sin u)′＝cos u，ux′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))′＝－1，所以函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的导数为y′＝yu′ux′＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)). 4．【多选题】下列函数求导正确的是(　　) A．若f(x)＝eq \f(2,\r(3x＋1))，则f′(x)＝－3(3x＋1)eq \s\up22(－\f(3,2)) B．若f(x)＝(1－2x)3，则f′(x)＝－6(1－2x)2 C．若f(x)＝log2(2x＋1)，则f′(x)＝eq \f(2,2x＋1) D．若f(x)＝cos eq \f(x,3)，则f′(x)＝－eq \f(1,3)sin eq \f(x,3) 解析　对于A，因为y＝eq \f(2,\r(3x＋1))＝2(3x＋1)eq \s\up22(－\f(1,2))，所以f′(x)＝[2(3x＋1)eq \s\up22(－\f(1,2))]′＝－3(3x＋1)eq \s\up22(－\f(3,2))，故正确；对于B，因为f(x)＝(1－2x)3，所以f′(x)＝[(1－2x)3]′＝－6(1－2x)2，故正确；对于C，因为f(x)＝log2(2x＋1)，所以f′(x)＝[log2(2x＋1)]′＝eq \f(2,（2x＋1）ln 2)，故错误；对于D，因为f(x)＝cos eq \f(x,3)，所以f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(x,3)))′＝－eq \f(1,3)sin eq \f(x,3)，故正确． 5．(1)曲线f(x)＝eq \r(3x2＋1)在点(1，2)处的切线方程为_____________． 解析　(1)f′(x)＝eq \f(1,2)·eq \f(1,\r(3x2＋1))·6x＝eq \f(3x,\r(3x2＋1))， 则曲线在点(1，2)处的切线的斜率k＝f′(1)＝eq \f(3,\r(3＋1))＝eq \f(3,2)，则对应的切线方程为y－2＝eq \f(3,2)(x－1)，即3x－2y＋1＝0. (2)y＝eq \f(1,\r(1－x2))的水平切线方程是________． 解析　(2)y′＝x(1－x2)eq \s\up22(－\f(3,2))，令y′＝0，得x＝0，∴y＝1. 则y＝eq \f(1,\r(1－x2))的水平切线方程为y＝1. $$